第三章离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参.doc

第三章 离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考
3.1 图P3.1所示的序列是周期为4的周期性序列。请确定其傅里叶级数的系数。

解：

3.2 （1）设为实周期序列，证明的傅里叶级数是共轭对称的，即。
（2）证明当为实偶函数时，也是实偶函数。
证明：（1）

（2）因为实函数，故由（1）知有
或
又因为偶函数，即，所以有

3.3 图P3.3所示的是一个实数周期信号。利用DFS的特性及3.2题的结果，不直接计算其傅里叶级数的系数，确定以下式子是否正确。
（1），对于所有的k；
（2），对于所有的k；
（3）；
（4），对所有的k是实函数。

解：（1）正确。因为一个周期为N＝10的周期序列，故也是一个周期为N＝10的周期序列。
（2）不正确。因为一个实数周期序列，由例3.2中的（1）知，是共轭对称的，即应有，这里不一定是实数序列。
（3）正确。因为在一个周期内正取样值的个数与负取样值的个数相等，所以有
（4）不正确。根据周期序列的移位性质，＝对应与周期序列，如图P3.3_1所示，它不是实偶序列。由题3.2中的（2）知道，不是实偶序列。

3.4 设，，求，并作图表示和。
解：

和的图形如图3.4_1所示：

3.5 在图P3.5中表示了两个周期序列和，两者的周期都为6，计算这两个序列的周期卷积，并图表示。

解：图P3.5_1所示的是计算这两个序列的周期卷积的过程，可以看出，是延时1的结果，即。

3.5 计算下列序列的N点DFT：
(1)
(2)
(3)
(4)
解：（1）
（2）
（3）
（4）

3.7 图P3.7表示的是一个有限长序列,画出和的图形。
（1）
（2）

解：和的图形如图P3.7_1所示：

3.8 图P3.8表示一个4点序列。
（1）绘出与的线性卷积结果的图形。
（2）绘出与的4点循环卷积结果的图形。
（3）绘出与的8点循环卷积结果的图形，并将结果与（1）比较，说明线性卷积与循环卷积之间的关系。

解：（1）图P3.8_1（1）所示的是与的线性卷积结果的图形。
（2）图P3.8_1（2）所示的与的4点循环卷积结果的图形。
（3）图P3.8_1（3）所示的与的8点循环卷积结果的图形。
可以看出，与的8点循环卷积结果的图形与（1）中与的线性卷积结果的图形相同。

3.9 是一个长度为N的序列，试证明。
证明：因为是由周期性重复得到的周期序列，故可表示为
取r＝1，上式即为。
3.10 已知序列。现在对其Z变换在单位圆上进行N等分取样，取值为，求有限长序列的IDFT。
解：在z平面的单位圆上的N个等角点上，对z变换进行取样，将导致相应时间序列的周期延拓，延拓周期为N，即所求有限长序列的IDFT为

3.11 若长为N的有限长序列是矩阵序列。
（1）求，并画出及其-零点分布图。
（2）求频谱，并画出幅度的函数曲线。
（3）求的DFT的闭式表示，并与对照。
解：（1）

极点：；零点：
图P3.11_1(1)是极-零点分布图。
（2）

图P3.11_1(2)所示的是频谱幅度的函数曲线。
（3）
可见，等于在N个等隔频率点上的取样值。

3.12 在图P3.12中画出了有限长序列，试画出序列的略图。

解：

3.13 有限长序列的离散傅里叶变换相当与其Z变换在单位圆上的取样。例如10点序列的离散傅里叶变换相当与在单位圆10个等分点上的取样，如图P3.13（a）所示。为求出图P3.13（b）所示圆周上的等间隔取样，即在各点上的取样，试指出如何修改，才能得到序列，使其傅里叶变换相当于上述Z变换的取样。

解：
由上式得到
3.14 如果一台通用计算机计算一次复数乘法需要100，计算一次复数加法需要20，现在用它来计算N＝1024点的DFT，问直接计算DFT和用FFT计算DFT各需要多少时间？
解：直接计算DFT：
复数乘法：
复数加法：
总计需要时间：
用FFT计算DFT：
复数乘法：
复数加法：
总计需要时间：
3.15 仿照本教材中的图3.15，画出通过计算两个8点DFT的办法来完成一个16点DFT计算的流程图。
解：图P3.15_1所示的是用两个8点DFT来计算一个16点DFT的流程图。

3.16 设，现对进行频谱分析。画出FFT的流程图，FFT算法任选。并计算出每级蝶形运算的结果。
解：图P3.16_1所示的为时间轴选8点FFT的流程图和每级蝶形运算的结果。

3.17 根据本教材中图3.27所示的流程图，研究基2频率抽选FFT算法。设N为2的任意整数幂，但不等于8。为了给数据全部加上标号，假设数组中的数据被存在依次排列的复数寄存器中，这些寄存器的编号从0到N－1，而数组的编号为0到。具有最初数据的数组是第0列，蝶形的第一级输出是第1列，依次类推。下列问题均与第m列的计算有关，这里1≤m≤，答案应通过m和N表示。
（1）要计算多少个蝶形?每个蝶形有多少次复数乘法和复数加法运算？整个流程图需要多少次复数加法和复数乘法运算？
（2）由第（m－1）列到m列，包含的的幂是什么？
（3）蝶形的两个复数输入点的地址之间的间隔是多少？
（4）利用同样系数的各蝶形的数据地址间隔是什么？注意这种算法的蝶形计算的系数相乘是置于蝶形的输出端的。
解：（1）级，每级个蝶形，共个蝶形。每个蝶形有1次复数乘法和2次复数加法运算，故整个流程图需要次复数加法和次复数乘法运算；
（2）由第m-1列到m列，包含的的幂是；
（3）蝶形的两个复数输入点的地址之间的间隔是；
（4）利用同样系数的各蝶形的数据地址间隔是。
3.18 使用FFT对一模拟信号作谱分析，已知：①频率分辨率F≤5Hz；②信号最高频率。试
确定下列参数：
（1）最小记录长度；
（2）取样点的最大时间间隔T；
（3）一个记录长度中的最少点数。
解：（1），最小记录长度；
（2），取样点的最大时间间隔为；
（3）一个记录长度中的最少点数为。
3.19 已知信号和FIR数字滤波器的单位取样响应分别为

（1）使用基2 FFT算法计算与的线性卷积，写出计算步骤。
（2）用C语言编写程序，并上机计算。
解：（1）计算步骤：
①在序列尾部补零将延长成为16点的序列；
②用基－2 FFT算法分别计算和的16点DFT，得到和；
③计算序列的乘积；
④用基－2 FFT算法计算的16点IDFT，便得到和的线性卷积。
（2）
3.20 已知两个实序列和的离散傅里叶变换分别为和。设复序列为其离散傅里叶变换为。令分别表示的实部的奇数部分，实数的偶数部分，虚数的奇数部分和虚数的偶数部分。试用来表示和。
解：因，
故
类似有
因此可以用表示
①
另一方面，由于，故有 ②
但因和都是实序列，故和的实部都是偶对称序列，虚部都是奇对称序列，因此应将①式整理成下列形式
③
对照式②和式③，便可得到
和
3.21 线性调频Z变换算法的一个用途是使频谱的谐振峰变尖。一般说来，如果在z平面内靠近极点的一条圆周线上计算序列的Z变换，则可以观察到谐振。在应用线性调频Z变换算法或计算离散傅里叶变换时，被分析的序列必须是有限长的，否则必须先将序列截断。截断序列的变换只能有零点（除z=0或z=∞外），而原始序列的变换却有极点。本题的目的是要证明，在有限长序列的变换中仍可以看到谐振型响应。
（1）令，画出它的Z变换的极－零点略图。
（2）令即等于从N点以后截断的。画出的Z变换的极－零点略图。
（3）画出随变化的略图。并在你的图中画出N增加时对的影响。
解：（1）
极－零点略图如图3.21_1（1）所示；
（2）
零点：；极点：z=0（N-1阶）。极－零点略图
如图3.21_1（2）所示；
（3）
如图3.21_1（3）所示为随变化的略图，当N增加时，的谐振峰变尖，同时增高。

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