推导椭圆周长初等公式.doc

如何推导椭圆周长初等公式
四川省美姑县中学 周钰承

★ 关键词：函数模型，椭圆周长。
★ 内容提要：如何推导出一个简单而又精确椭圆周长公式？利用信息技术，搜集准确的数据；建立恰当的函数模型并求解；对函数模型进行检验、评价和应用。
有一个困惑笔者多年的现象：一些小学生常常追问老师，椭圆周长是怎样计算的？而到了高中，他们已经学习了椭圆的方程式，却再也没有一个学生问到这个问题。是多年的应试教育，吞噬了他们的求知欲吗？兴趣是最好的老师，当前的信息技术足以让高中学生重回小学时代。利用信息技术构建函数解决实际问题，通常需要三个步骤：搜集数据代表；构建函数模型并求解；检验、评价与应用。
第一步，搜集数据代表。
椭圆的标准方程是。其中表示椭圆的长半轴长及短半轴长。在因特网搜索“椭圆周长”，可以很快找到椭圆积分的表达式。但由于该公式中的被积函数的原函数不是初等函数，所以迄今为止，尚没有准确的椭圆周长的初等函数公式。打开不同的网页，我们可以找到椭圆周长著名的项名达公式：
（1）
其中e为离心率。根据（1）式，可写出计算椭圆周长C的计算机程序，并得到表1：
Private Sub Form_Click ( )
a = 1 :’ 长半轴长度。a、b可根据实际问题改为其它值
b = 0.15 :’ 短半轴长度，应不大于a，否则两者互换
e = sqr(1-b*b/a/a) :’ 椭圆离心率
k0 = 0.25*e^2 :’ （1）式括号中的第二项
s = 1-k0 :’ （1）式括号中的前二项
for I = 2 to 1000000 :’ 级数算到百万项，一般计算机只需几秒钟
k = k0*(2*I-1)^2/(2*I)^2*(2*I-3)/(2*I-1)*e*e :’ (1) 式括号中的某一项
s = s – k :’ 将各项累加到 s 中去，最终就得到 (1) 式括号中的值
k0 = k :’ 为计算下一项，将前一项结果赋给 k0
next I :’ 循环
print 2*3.1415926535*a*s :’ 打印或显示计算结果
End Sub

椭圆周长
1
0.00
4.0000000000…
1
0.01
4.0010983297…
1
0.10
4.0639741801…
1
0.25
4.2892108875…
1
0.50
4.8442241100…
1
0.75
5.5258730400…
1
0.90
5.9731604325…
1
0.99
6.2518088479…
1
1.00
6.2831853070…
表1
第二步，构建函数模型并求解。

项名达公式虽然易于设计程序，但不利于函数建模。另一个级数公式更容易被高中学生理解：
……] （2）
其中。
如果利用这个公式来计算椭圆周长，当与的值比较接近时，只需要级数前两项就可以达到相当高的准确率，但当与的取值相差较大时，即使是用到级数第十项，误差还相当大。我们可以根据这个级数公式，构建一个新的函数模型。
在公式（2）中，设：
…………………………（3）
则（2）变形为：
…………………………………………………（4）
我们改造函数模型，考虑到函数（3）具有三个重要特征：1.各项均含有因式；2.当时，，椭圆周长趋近于圆周长，此时；3.当时，，椭圆周长趋近两倍长轴长，即，此时。因此，我们构建函数模型：
…………………………………………………………（5）
（5）式中是自变量，，，为待定系数。为了使函数（5）拟合函数（3），我们取表1中最具有代表性的数据。用b=0.25,b=0.50,b=0.75那三行数据，把三个点的坐标：
，，
依次代入函数（5），得到三个关于的一次方程。我们可以设计一个算法，或者用计算器解这个一次方程组，得到的比例关系。为了帮助记忆和增加公式的美感，我们将它们近似地化为最简整数比为：
。
把上述值依次代入函数（5）、（4），得：，再把代入并化简得到椭圆周长近似公式：
，……………………………………（6）
第三步，检验、评价与应用。

笔者取3.141592654验证这个公式，得到表2。表2中“误差”的计算方法是用函数值与椭圆周长真值的差，除以椭圆周长真值所得的商。

公式（6）C
椭圆周长真值
误差
1
0.00
3.992440664
4.0000000000…
-0.0019
1
0.01
3.995390384
4.0010983297…
-0.0014
1
0.10
4.063151007
4.0639741801…
-0.00020
1
0.25
4.289158624
4.2892108875…
-0.000012
1
0.50
4.844223672
4.8442241100…
-0.00000009
1
0.75
5.525873040
5.5258730400…
-0.0000000001
1
0.90
5.973160433
5.9731604325…
-0.0000000000
1
0.99
6.251808848
6.2518088479…
-0.0000000000
1
1.00
6.283185307
6.2831853070…
0.00000000000
表2
接下来处理表2中特别是当时的误差。根据椭圆标准周长公式（2）的函数模型，我们只需要在函数（6）表达式乘上（1+）即可。由时，，椭圆周长趋近两倍长轴的长，即，容易求得；我们取时的椭圆周长真值进行运算，解指数方程，取对数求，并取为最接近的整数得：，于是公式（6）转化为更精确的椭圆周长公式（7）：
……………（7）
值得注意的是，通常情况下我们用公式（6）即可。因为的椭圆在生活与工程中实为罕见；并且，当时，这部分的值非常小，没有计算的必要。公式（7）计算椭圆周长的误差一般低于百万分之一，见表3：

公式（7）C
椭圆周长真值
误差
1
0.00
4.000000000
4.0000000000…
0.0000000000
1
0.01
4.001461330
4.0010983297…
+0.000090
1
0.10
4.063997174
4.0639741801…
+0.0000057
1
0.25
4.289188087
4.2892108875…
-0.0000053
1
0.50
4.844223724
4.8442241100…
-0.00000008
1
0.75
5.525873040
5.5258730400…
-0.0000000001
1
0.90
5.973160433
5.9731604325…
-0.0000000000
1
0.99
6.251808848
6.2518088479…
-0.0000000000
1
1.00
6.283185307
6.2831853070…
0.00000000000
表3
例1． 如图，椭圆长半轴是3，短半轴是2，计算阴影部分的面积和弧AB的长(保留)。

椭圆面积公式是一个标准公式。我们可以用截面斜截一个圆柱，然后割补圆柱，使底面变为椭圆，由于底面积乘高是一个不变量，根据这个不变量列出等式，只需要初中九年级的三角形相似的比例性质就可以解出这个公式。
阴影部分面积是四分之一椭圆面积减去一个三角形面积，弧AB的长度是椭圆周长的四分之一。故：
面积：
因为，可用公式（6）。，得：

。
若取3.141592654，则用计算器可以求得AB弧长为：3.966359892，这个数误差约为十亿分之一。
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