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宋爱国第二讲线性规划初步

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第二讲 线性规划初步
乐清中学 宋爱国
一．线性规划发展史
1．“线性规划之父”
George Bernard Dantzig 乔治·伯纳德 ·丹茨格
（生于1914年11月8日，于2005年5月13日逝世.享年91岁.)
　　1947年，33岁的美国数学家George Bernard Dantzig （丹茨格）提出了解决一种最优化问题的单纯形法，该方法奠定了线性规划的基础，使得经济学、环境科学、统计学应用等学科获得了迅速发展。Dantzig也因而被誉为“线性规划之父”。
　　Dantzig在运筹学建树极高，获得了包括“冯诺伊曼理论奖”在内的诸多奖项.他在Linear programming and extensions一书中研究了线性编程模型，为计算机语言的发展做出了不可磨灭的贡献。
　　Dantzig的父亲是大学数学教授，曾在法国师从著名的科学家Henri Poincare。但是Dantzig直到上初中时，对数学仍不感兴趣，甚至在初中三年级时,代数成绩还不及格。对于这样的结果，Dantzig非常内疚，他感到愧对自己的数学家父亲,于是发奋努力，很快就发现其实数学并不难,逐渐地建立了自信。上高中时Dantzig对父亲的数学题库非常着迷，他解决了所有的题目。Dantzig曾经这样回忆自己的父亲：“在我还是个中学生时，他就让我做几千道几何题……解决这些问题的大脑训练是父亲给我的最好礼物。这些几何题，在发展我分析能力的过程中，起了最最重要的作用。”
　　在伯克利大学攻读统计学博士学位期间，“二战”爆发了，Dantzig作为文职人员参加了空军。1946年,Dantzig返回伯克利并取得博士学位。
　　Dantzig师从著名的统计学家Jerzy Neyman (奈曼，1894~1981) 教授，在他们之间，发生过一个非常具有传奇色彩的故事。一天，Dantzig因故迟到了,看到黑板上写着两道题目，以为是老师留的课外作业，就抄了下来。在做的过程中,Dantzig感到有点困难，最后用了好几天时间才完成，为此他还特意向Neyman教授道歉.几周后的一个周末清晨，Dantzig被一阵急促的敲门声吵醒，Neyman教授一进门就激动地说：“我刚为你的论文写好一篇序言，你看一下，我要立即寄出去发表。”Dantzig过了要一阵子才明白Neyman教授的意思:原来那是两道统计学中著名的未解决问题，他竟然当成课外作业解决了！
　　后来谈到这件事时，Dantzig感慨道：如果自己预先知道这两道是统计学领域中一直悬而未决的难题，根本就不会有信心和勇气去思考，也不可能解决它们.
Dantzig的故事告诉我们：一个人的潜能是难以预料的，成功的障碍往往来自于心理上的畏难情绪；一定要相信自己，保持积极的态度。
2．Л·В·康托罗维奇
苏联经济学家。苏联科学院院士。1975年诺贝尔经济学奖金获得者。成为“社会主义 国家中迄今唯一获得诺贝尔奖金的经济学家”。是最优计划理论的创始人。1912年生。1930年毕业于列宁格勒大学物理数学系.1935年获数学博士学位.1945~1960年任苏联科学院数学研究所列宁格勒分所高级研究员、研究部主任。1964年被选为苏联科学院院士。他还担任过苏联科学院西伯利亚总分院数学研究所副所长,苏联国家科学技术委员会委员,国民经济最优核算法委员会主席等职。1949年获斯大林奖金，1965年获列宁奖金.因提出资源最大限度分配理论，1975年与美籍荷兰学者T。C.库普曼斯一起获得诺贝尔经济学奖金。
　　康托罗维奇的主要贡献是把线性规划用于经济管理，创立了最优计划理论。对有效利用资源和提高企业经济效益起了重大作用。他还提出经济效果的概念和衡量经济效果的统一指标体系，作为经济决策的定量依据，来选择最合理的社会生产结构。主要著作有《生产组织与计划的数学方法》（1939）、《资源最优利用的经济计算》(1959)、《最优计划的动态模型》（1964）等.
3．库普曼斯于1910年8月28日生于荷兰，自幼刻若读书，在中学时代,他就立志成为科学家，决心为造福人类做出贡献。 线性规划经济分析法的创立者
1933年，库普曼斯以优异成绩毕业于乌德勒支大学的数理系.次年，库普曼写出了关于量子力学的论文，获得了硕士学位。从此，开始了他的科学院生涯。然而,不知是西方开始严峻的社会经济问题，还是因为他博览群书受到了什么新启示的问题，还是因为他博览群书受到了什么新启示的缘故，他认为如果能用自己学到的科学知识去解决一些社会经济问题，要比研究量子力学更能直接改善人们当前生活状况。这样，他就不知不觉地越也了自己原来探讨的学科—-物理，而进入了经济科学领域。无论是经济理论还是经济实践，对于年轻的库变曼斯来就都是陌生的，他必须从头学起.首先，他阅读了大量的经济理论专著，继而又根据自己的特长钻研发数理统计学，于1936年获得了荷兰莱顿大学的数理统计学博博士学位.为了进一步增长经济学领域的知识,他不仅从书本上学习，而且特别重视从实际经济工作中学习。库普曼斯于 1938年至1940年担任日内瓦国际联盟财政秘书，这一职务就是他从实践中学习经济知识的最好开端。但是，第二次世界大战的爆发打乱了他的计划，于是，他在1940年离开荷兰移居美国，在普林斯顿大学研究会研究经济并兼任纽约大学商学院特邀教师。1941年，库普曼斯转任宾夕法尼亚互助人寿保险公司经济员，此后又在英国航运协会任统计员。当他取得了丰富的经验之后，于1944年返回学术界，在芝加哥大学柯尔斯委员会从事经济研究工作.1946年，他任芝加哥大学经济学副教授,1948年升为教授并兼任柯尔斯委员会主任.1955年，他到耶鲁大学任教，此后又受聘于哈佛大学。文档为个人收集整理，来源于网络文档为个人收集整理，来源于网络
第一篇为《资源的分配和价格制度》。
　　第二篇文章为《经济知识的构成》。
　　第三篇文章是讨论经济学的工具与经济学问题之间的关系。
　　他谈到在经济学中应用了大量数学上的定理，证明定理的方法及统计推断方法。应用数学至少有两方面，一是以经济文章改写成数学论文形式，二是以不同的数学定理 及观念引入经济学。他评价了计量经济学的了展，认为统计假设检查及估计理论已相当成熟,统计推断理论也非常有用。此种方法已被功地大量应用于计量经济学。
　　由于库普曼斯对现代经济计量学的创立做出的贡献，1975年，他和康托罗维奇同时获得诺贝尔经济学奖.
　　库普曼斯1966年获比利时天主卢万大学经济学名誉博士；1975年获美国西南大学数理名誉博士，1976年,获费城大学名誉博士。他还是美国科学院，国际统计学会\美国管理研究学会荷兰皇家科学院成员。
4．数学奇才、计算机之父——冯•诺依曼
约翰·冯·诺依曼 （ John Von Nouma,1903－1957）,美藉匈牙利人,1903年12月28日生于匈牙利的布达佩斯，父亲是一个银行家,家境富裕，十分注意对 孩子的教育．冯·诺依曼从小聪颖过人,兴趣广泛，读书过目不忘．据说他6岁时就能用古希腊语同父亲闲谈，一生掌握了七种语言．最擅德语,可在他用德语思考种种设想时,又能以阅读的速度译成英语．他对读过的书籍和论文．能很快一句不差地将内容复述出来,而且若干年之后,仍可如此．
1911年一1921年，冯·诺依曼在布达佩斯的卢瑟伦中学读书期间，就崭露头角而深受老师的器重．在费克特老师的个别指导下并合作发表了第一篇数学论文，此时冯·诺依曼还不到18岁．1921年一1923年在苏黎世大学学习．很快又在1926年以优异的成绩获得了布达佩斯大学数学博士学位，此时冯·诺依曼年仅22岁．1927年一1929年冯·诺依曼相继在柏林大学和汉堡大学担任数学讲师。1930年接受了普林斯顿大学客座教授的职位，西渡美国．1931年成为该校终身教授．1933年转到该校的高级研究所，成为最初六位教授之一，并在那里工作了一生． 冯·诺依曼是普林斯顿大学、宾夕法尼亚大学、哈佛大学、伊斯坦堡大学、马里兰大学、哥伦比亚大学和慕尼黑高等技术学院等校的荣誉博士．他是美国国家科学院、秘鲁国立自然科学院和意大利国立林且学院等院的院土． 1954年他任美国原子能委员会委员；1951年至1953年任美国数学会主席．
1954年夏，冯·诺依曼被使现患有癌症，1957年2月8日，在华盛顿去世，终年54岁．冯·诺依曼于1937年获美国数学会的波策奖；1947年获美国总统的功勋奖章、美国海军优秀公民服务奖；1956年获美国总统的自由奖章和
爱因斯坦纪念奖以及费米奖．
二．线性规划问题及其数学模型
1．问题的提出：
在生产管理的经营活动中,通常需要对“有限的资源”寻求“最佳”的利用或分配方式.有限资源：劳动力、原材料、设备或资金等，最佳:有一个标准或目标,使利润达到最大或成本达到最小。
有限资源的合理配置有两类问题
　(1）如何合理的使用有限的资源，使生产经营的效益达到最大；
（2)在生产或经营的任务确定的条件下，合理的组织生产，安排经营活动，使所消耗的资源数最少。

2．线性规划的一般数学模型：
例1。1 如图所示，如何截取x使铁皮所围成的容积最大？
x
a

例1。2 某企业计划生产甲、乙两种产品。这些产品分别要在A、B、C、D、四种不同的设备上加工.按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加工所需要的台时如下表所示，企业决策者应如何安排生产计划，使企业总的利润最大？
设备产品
A
B
C
D
利润(元）
甲
2
1
4
0
2
乙
2
2
0
4
3
有 效 台 时
12
8
16
12

数学模型由三个要素构成
决策变量 Decision variables
目标函数 Objective function
约束条件 Constraints
其特征是：
（1)问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值；
（2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。
3. 线性规划数学模型的一般形式
目标函数：
约束条件：

三．线性规划的图解法
例2．某制药厂生产甲、乙两种药品，生产这两种药品要消耗某种维生素。生产每吨药品所需要的维生素量，所占用的设备时间，以及该厂每周可提供的资源总量如下表所示：

每吨产品的消耗
每周资源总量
甲
乙
维生素（公斤)
30
20
160
设备（台班）
5
1
15

已知该厂生产每吨甲、乙药品的利润分别为5万元和2万元.但根据市场需求调查的结果，甲药品每周的产量不应超过4吨.问该厂应如何安排两种药品的产量才能使每周获得的利润最大？
分析:定义x1为生产甲种药品的计划产量数,x2为生产乙种药品的计划产量数。 数学模型为 s.t.
（subject to）

四．学生练习：

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