高考数学一轮复习《学案与测评》课件：第9单元 立体几何.pdf

第九单元立体几何知识体系立体几何空间向量与立体几何点、线、面之间的位置关系立体几何中的向量方法立体几何初步-平行;中心;畏影 段影直观图和三视图的画法直线与平面平行的判定与性质 平面与平面平行的判定与性质第一节空间几何体的结构及其三视图和直观图基础梳理1.多面体有两个面.其余各面都是：一一并且每相邻两个四边 形的公共边都.一,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.(2)有一个面是.一其余各面都是.、的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥.(3)用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥,底面和截面之间的这部分 多面体叫做一2.旋转(1)以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的一所围 成的旋转体叫做以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转 形成的面所围成的旋转体体叫做以半圆的直径所在的直线为旋转轴,将半圆旋转一周形成的旋转 体叫做.，简称一3.三视图和直观图(1)三视图是从一个几何体的.一.三个不同的方向看这个几何体,描绘出的图形，分别称为.一三视图的排列顺序：先画.俯视图放在正视图的,一侧视 图放在正视图的,.三视图的三大原则：二.一.一(4)水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法：在已知图形中，取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点0,画直观图时,把它们画成对应的.，两轴相交于0,，且使.、一,用它们确定的平面表示.已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中，分别画成平行于.的线段.已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中，.平行于y轴的线段,在直观图中.典例分析题型一空间几何体的结构特征【例1】根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称.由八个面围成,其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形；一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180。形成的封闭曲面所围成的图形；一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体.分析 要判断几何体的类型，从各类几何体的结构特征入手，以柱、锥、台的定义为依据，把复杂的几何体分割成几个简单的几何体.解（1）如图1所示,该几何体满足有两个面平行,其余六个面都是矩 形，可使每相邻两个面的公共边都互相平行,故该几何体是正六棱柱.如图2所示，等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯 形，每个直角梯形旋转180。形成半个圆台，故该几何体为圆台.如图3所示，由梯形A BCD的顶点A引A O 1 CD于0点，将直角梯形分为 一个直角三角形A OD和矩形A OCB,绕CD旋转一周形成一个组合体,该组 合体由一个圆锥和一个圆柱组成.图1图2图3学后反思 对于不规则的平面图形绕轴旋转问题,要对原平面图形作 适当的分割，再根据圆柱、圆锥、圆台的结构特征进行判断.举一反三1.如图所示，直角梯形A BCD中，A BBC,绕着CD所在直线I旋转，试画出立体图并指出几何体的结构特征.解析：如图所示，过A、B分另4作4Oi_LCD/aJ _CD,垂足分别 为a、则RMCO2 绕I旋转一周所形成的面围成的几何 体是圆锥，直角梯形。/5。2绕I旋转一周所形成的面围成 的几何体是圆台，RgD Oi蝮|旋转一周所形成的面围成 的几何体是圆锥.综上可知，旋转所得的几何体下面是一 个圆锥，上面是一个圆台挖去了一个以圆台上底面为底 面的圆锥.C题型二基本概念与性质【例2】下列三个命题，其中正确的有（）用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.A.0个B.1个C.2个D.3个分析 利用棱台的定义和特殊几何体加以说明.解 中的平面不一定平行于底面，故错；如图，四条侧棱不一定交于一点，故错，答案选A.学后反思 在开始学习立体几何时，要学会观察、分析并记住一些特殊的物 体或图形，以便于我们做题.反例推证是一种重要的数学方法，望大家熟练 掌握.举一反三2.下面是关于四棱柱的四个命题：若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱;若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；若四棱柱的四条对向线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱.其中，真命题的编号是.解析：对于，平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故 假;对于，两截面的交线平行于侧棱，且垂直于底面，故真;对于，作正四棱柱 的两个平行菱形截面，可得满足条件的斜四棱柱，如图1,故假;对于，四棱柱一 个对角面的两条对角线恰为四棱柱的对角线，故对角面为矩形,于是侧棱垂直于 底面的一对角线，同样侧棱也垂直于底面的另一对角线，故侧棱垂直于底面，故 真，如图2.答案:图2图1题型三柱、锥、台中的计算问题【例3】正四棱台的高是17 cm,两底面边长分别是4 cm和16 cm,求棱台的 侧棱长和斜高.分析 求棱台的侧棱长和斜高的关键是找到相关的直角梯形，然后构 造直角三角形，解决问题.解如图所示，设棱台的两底面的中心分别是a、0,4G和BC的中点分别 是&和E,连接Q。田、O0、OB、OE、0E,则四边形和。耳。1 都是直角梯形.AXBX=4 cm,A B=16 cm,.0品=2 cm,0E=8 cm,OXBX=2 72 cm,0B=8V2 cm,B1B=J o。?+（a-O再丫=19 cm,EE=doQ2+（oE-O E）2=5 屈棱台的侧棱长为19 cm,斜高为5711cm.学后反思(1)把空间问题转化为平面问题去解是解决立体几何问题 的常用方法.(2)找出相关的直角梯形，构造直角三角形是解题的关键，正棱台中 许多元素都可以在直角梯形中求出.举一反三3.一个底面半径和高都是R的圆柱中,挖去一个以圆柱上底面为底，下底 面中心为顶点的圆锥居到如图所示的几何体,如果用一个与圆柱下底面 距离等于I并且平行于底面的平面去截它,求所得截面的面积.解析：轴截面如图所示:被平行于下底面的平面所截得的圆柱的截面圆的半径0。=R,设圆锥的截面 圆的半径0Q为X.V0A=A B=R,0A B是等腰直角三角形.又 CD/0A,则 CD=BC,A 0 xD=A C,即 x=L截面面积S=%R2 =乃（R2 _p）.题型四三视图与直观图例4 螺栓是由棱柱和圆柱构成的组合体，如下图，画出它的三视图.分析 螺栓是棱柱、圆柱组合而成的，按照画三视图 的三大原则“长对正，高平齐，宽相等”画出.解 该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，正视图反映正 六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆 柱侧面，俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆（中心重 合）.它的三视图如下图：-A B C_D口 to正视图 侧视图俯视图学后反思（1）在绘制三视图时，若相邻两物体的表面相交，表面的交线 是它们的分界线,在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出,例如上 图中，表示上面圆柱与下面棱柱的分界线是正视图中的线段A B、侧视图 中的线段CD以及俯视图中的圆.（2）看些几何体的正视图和侧视图会因观察角度的不同而不同，因此,要注意几何体中所给出的观察角度.举一反三4.（2008广东）将正三棱柱截去三个角（如图1所示,A、B、C分别是 GHI三边的中点）得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧 视图为（）解析 由正三棱柱的性质得，侧面A ED _L底面EFD，则侧视图必为直 角梯形,且线段BE在梯形内部.答案A【例5】(12分)用斜二测法画出水平放置的等腰梯形的直观图.分析 画水平放置的直观图应遵循以下原则：(1)坐标系中 Nx，0，yz=45;(2)横线相等，即A，B，=A B,Cz D，=CD;竖线是原来的L即O E，=10E.2 2画法(1)如图1,取A B所在直线为x轴,A B中点0为原点，建立直角坐标系，.3，画对应的坐标系X，0，yz，使Nx，0，yz=45.5，以0，为中点在X，轴上取A，B，=A B,在y，轴上取0，E，=1)E,以W 为中点画C，D，II X，轴，并使C，D，=CD.10,2连接B，C，、D，A，所得的四边形A，B，Cz D，就是水平放置的等腰梯形A BCD的直观图，如图2.12，学后反思在原图形中要建立适当的直角坐标系，一般取图形中的某 一横线为x轴，对称轴为y轴，或取两垂直的直线为坐标轴，原点可建 在图形的某一顶点或对称中心、中点等.坐标系建得不同，但画法规 则不变，关键是画出平面图形中相对应的顶点.举一反三一组是（5.如图建立坐标系，得到的正三角形A BC的直观图不是全等三角形的解析：按照斜二测画法的作图规则，对四个选项逐一验证,可知只有选项C符 合题意.答案：C易错警示【例】画出如图1所示零件的三视图.错解 图1的零件可看做是一个半圆柱、一个柱体、一个圆柱的组合,其三视图如图2.-正视图 侧视图oj 二俯视图图1 图2错解分析 错误原因是图中各视图都没有画出中间的柱体和圆柱的 交线，画图时应画出其交线.正解|正视图侧视图俯视图考点演练10.多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的.如图所示，正方体的 一个顶点A在平面。内，其余顶点在。的同侧,正方体上与顶点A相邻的三个 顶点到。的距离分别为1,2和4.P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到 平面。的距离可能是：3;4;5;6;7.以上结论正确的为.（写出所有正确结论的编号）解析：设底面四点分别为A、B、C、D,连接A CBD,且A CnBD=O,B、C、D、O在平面a上的射影分别为,21+2 3B、C、D、K,则 OK=.2 2当点P在点C的位置时，CC,=2 OK=3,所以正确,同理可得、也是正确的.答案：11.圆台的两底面半径分别为5 cm和10 cm,高为8 cm,有一个过圆 台两母线的截面，且上、下底面中心到截面与两底面交线的距离分 别为3 cm和6 cm,求截面面积.解析 如图所示截面A BCD,取A B中点F,CD中点E,连接OF,EF,03,0A,则O.EFO为直角梯形，A BCD为等腰梯形，EF为梯形A BCD的高,在直角梯形GM O中，EF=Joo；+（O尸-=9（cm）,在中，DeNoDOE=4同理，六二二8（cm）,S梯形s=；x 2 x（4+8）x 9=12 m（c 加之）(cm),12,有一块扇形铁皮。A B,ZA OB=6 0,OA=72 cm,要剪下来一个扇环形 A BCD作圆台形容器的侧面，并在余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆 形，使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面，如图)，试求.(1)A D应取多长?(2)容器的容积.解析:(1)如图，设圆台上、下底面半径分别为r、R,A D=x,贝4OD=72-x.R=12,r=6,x=36,A D=36 cm.A B=2 R=J180由题意得CD=271r=180、，OD=72 x=3R,(2)圆台的高h =x2-R-r)2=6后/.V=；h(R2+Rr+r2=1x6a/35x(122+12x6+62)=504A/35c m3.第二节 空间几何体的表面积与体积基础梳理1.柱体、锥体、台体的侧面积，就是_;表面积是_，即侧面积与底面积之和.2.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的，它的表面积就是 的面积.3.圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积S圆柱侧=-柱=、/；s圆锥侧=s锥=,;s圆台侧二、，台二4.柱、锥、台体的体积4方体=，/方体=L=S/z，=；Sh嚏=4s，+S+a/)7z这是柱体、锥体、台体统一计算公式，特别地，圆柱、圆锥、圆台 还可以分别写成柱=，嗫锥=，/台二5.球的体积及球的表面积设球的半径为R，L=S球二典例分析题型一几何体的表面积问题【例1】已知一个正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm,且其侧 面积等于两底面面积之和,求棱台的高.分析要求正棱台的高，首先要画出正棱台的高，使其包含在某一个特征直角梯形中，转化为平面问题，由已知条件列出方程，求解所需的几何元素.解 如图所示，正三棱台A BC-中，0、。1分别为两底面中心，D、A分别为BC和A G中点，则。力棱台的斜高.设 4A=2 0,A B=30,则 OD=5G,OQi=竽,由S侧=S上+S下，气（20+30）x3xDDi=（202+302）D D 1=1363在直角梯形 OQ D D中9Q=JdD；（。QQJ2=46 棱台的高为4百cm.学后反思(1)求解有关多面体表面积的问题,关键是找到其特征几何图 形，解决旋转体的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图.(2)借助于平面几何知识,利用已知条件求得所需几何要素.举一反三1.一个球内有相距9cm的两个平行截面，面积分另4为49。疗和400加打？,试求球的爰面积.解析：(1)当球心在两个截面同侧时，如图1所示.设OD=x,由题意知万口，肛.,.CA=7 cm,同理可得BD=2 0 cm.设球半径为R,则依题意得：(CD+OD)2+CA2=R2=OD2+BD29即(9+x)2+72=x2+2()2,解得x=15 cm,R=2 5 cm,故S球=4R?=2 500(cm2).图1(2)当球心在两个截面之间时，如图2所示，设OD=x cm,则0c=(9-x)cm.由题意得万口，肛CA=7 cm,/.CA=7 cm,同理可得BD=2 0 cm.设球半径为R,则依题意知 x2+202=(9-x)2+72=R29即X?+400=(9 x)2+49,此方程无正数解.故此种情况不可能,综上可知,球的表面积为2 500cn?.图2【例2】直平行六面体的底面为菱形，过不相邻两条侧棱的截面面积分别 为Q i、Q 2,求它的侧面积.分析 要求此棱柱的侧面积，只要求它的底面边长与高即可.解 设直平行六面体底面边长为a,侧棱长为I,如图，则s侧=4a，因过A】A、GC与BB、A乎勺截面都为矩形，从而Q i=A。贝u A C=2,BD=与，D/j B，C 中，A D，=DZ W=W C=CA,但它不是平行 四边形，所以也错.学后反思 平面性质的三个公理及其推论是论证线面关系的依据,在判断过程中要注意反例和图形的应用.举一反三1.给出下列命题：如果平面a与平面6相交,那么它们只有有限个公共点；经过空间任意三点的平面有且只有一个；如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合为一个平面;不平行的两直线必相交.其中正确命题的序号为_解析 由公理3知，错；由公理2知，错；对；不平行的两直线可能 异面，故错.答案题型二证明三点共线【例2已知4A BC的三个顶点都不在平面a内，它的三边A B、BC、A C延长后分别交平面。于点P、Q、R.求证:P、Q、R三点在同一条直线上.分析 要证明P、Q、R三点共线，只需证明这三点都在 A BC所在的平面和平面a的交线上即可.证明由已知条件易知，平面a与平面A BC相交.设交线为/,即/=a n面A BC.,/PC A B,PC 面A BC.又PC A BD a,.PC a,即P为平面a与面A BC的公共点，/.PC/.同理可证,点R和Q也在交线/上.故P、Q、R三点共线于/.学后反思 证明多点共线的方法是：以公理3为依据，先找出两个平面的 交线，再证明各个点都是这两个面的公共点，即在交线上，则多点共线.或者，先证明过其中两点的直线是这两个平面的交线，然后证明第三个 点也在交线上.同理，其他的点都在交线上，即多点共线.举一反三2.如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形A BCD（四条线段首尾相接,且连接点不在同一平面内,所组成的空间图形叫空间四边形）各边A B、A D、CB、CD上的点，且直线EF和GH交于点P,如图所示.求证：点B、D、P在同一条直线上.证明由于直线EF和GH交于点P,P C EF,又EFU平面A BD,/.PC平面A BD.同理，PC平面CBD.P在平面A BD与平面CBD的交线BD上，即B、D、P三点在同一条直线上.题型三 证明点线共面【例3】求证：两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.分析 由题知，四条直线两两相交且不共点，故有两种情况：一种是三条交 于一点，另一种是任何三条都不共点，故分两种情况证明.要证明四线共面，先根据公理2的推论证两条直线共面，然后再证第三条直 线在这个平面内，同理第四条直线也在这个平面内，故四线共面.证明 如图，设直线a,b,c相交于点0,直线d和 a,b,c分别相交于A,B,C三点，直线d和点0确定平面a,由0 C平面a,A 平面a,0 直线a,A C直线a,知直线 a u平面a,同理bu平面a,c u平面a,故直线 a,b,c,d共面于a.如图，设直线a,b,c,d两两相交,且任何三线不共点,交点分别是M,N,P,Q,R,G,由直线a D b=M,知直线a和b 确定平面a.由a D c=N,b PI c=Q,知点N、Q都在平面a 内，故cu a.同理可证du a,故直线a,b,c,d共面于a.由(1)、(2)可知，两两相交且不共点的四条直线必在同一平面内.学后反思证多线共面的方法：(1)以公理、推论为依据先证两直线共面，然后再由公理1证第三条也 在这个平面内.同理其他直线都在这个平面内.(2)先由部分直线确定平面，再由其他直线确定平面，然后证明这些平 面重合.举一反三3.在正方体A BCD-4A G2中，E是A B的中点，F是Z4的中点.求证:E、F、2、C四点共面.证明如图，连接同民EF,.,E是A B的中点,F是441的中点，A EF AXB.皿.EF II CD.故E、F、D、C四点共面.题型四证明三线共点【例5】（12分）已知四面体A-BCD中，E、F分别是A B、A D的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且些=2=2.求证:直线EG、FH、A C相交于 GC H C同一点P分析 先证E、F、G、H四点共面，再证EG、FH交于一点，然后证明这 一点在A C上.证明,、F分别是A B、A D的中点,/.EF II BD且EF=BD.2Z2nH 1又.2；=竺=2,GH II BD且GH=7 BDGC H C 3/.EF II GH且EFGH,.4四边形EFHG是梯形，其两腰所在直线必相交,设两腰EG、FH的延长线相交于一点P,.6，.EG U平面A BC,FH U平面A CD,P 6平面A BC,P 平面A CD.8，又,平面A BCD平面A CD=A C,.，.P C A C,.10z故直线EG、FH、A C相交于同一点P.12z学后反思 证明三线共点的方法:首先证明其中的两条直线交于一点，然后证明第三条直线是经过这两条直线的两个平面的交线；由公理3可 知，两个平面的公共点必在这两个平面的交线上，即三条直线交于一点.举一反三4.（2010曲靖模拟）已知：如图所示的空间四边形A BCD,E、F分别是A B、A D的中点，G、H分别是BC、CD上的点,求证：（1）EF、G、H四点共面；（2）三直线FH、EG、A C共点.解析：（1）如图，连接EF、GH.1 1 BD,GH/-BD,EF/GH,-2=3故EF与GH共面，即E、F、G、H四点共面.（2）EFGH,但EFWGH,故EFHG是梯形.如图，设FH与EG交于。点，则 O e FHc 平面 D A C,0 e EGU 平面 BA C,J O （平面 D A CCI 平面 BA C）=A C,即直线A C过。点，故三直线FH、EG、A C共点.11且CG=-CB,CH二一CD.33易错警示【例】过已知直线a夕!一4、P,与直线a上的四个 点A、B、C、D分别画四条直线.求证:这四条直线在同一平面内.错解P、A、B三点不共线，P、A、B共面，即PA、PB、A B共面,同理，PB、PC、BC共面；PC、PD、CD共面.A、B、C、D均在直线a上,/.PA.PB、PC、PD四条直线在同一平面内.错解分析 错解在证明了四条直线分别在三个平面（平面PA B、平面PBC、平 面PCD）内后，通过A、B、C、D均在a上，而认为三个平面重合在同一个平面内,这种方法是错误的.错误在于没有根据地用一条直线来保证三个平面重合.正解 过直线a及点P作一平面a,.A、B、C、D均在a上，.A、B、C、D均在 a 内.直线PA、PB、PC、PD上各有两点在a内，,由公理1可知，直线PA、PB、PC、PD均在平面a内，即四直线共面.10.G.H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH、MN是异面直线的图形有.（填上所有正确答案的序号）解析：对于（1）,连接GM,显然四边形GMNH是平行四边形；对于（3）,连接GM,易知GMHN,故（1）、（3）中GH与MN共面；（2）、（4）中GH与MN是异面的.答案：（2）（4）11.设 A BCD的各边和对角线所在的直线与平面。依次相交 于A 1、Bp Cp D p Ep耳,求证:A 1、Bp CDE耳六点在同 一条直线上.解析：如图，设 A BCD所在的平面为团VA ep,Bep,A A B 禺又A A B,，又,.A 0,.A在平面。与平面B的交线上,FDBECX A设交线为I,则A L同理可证,BCP DP EP耳都在直线|上，/.AP BP CP DP EP耳六点在同一条直线上.12.已知直线a II b II c,直线/n a=A,/n b=B,In c=C.求证：a、b、c、/共面.证明 如图，,/a II b,/.a.b可以确定一个平面a.又./PI a=A,/fl b=B,A a,B b,A a,B a,A BU a;又A C/,B C/,./u a.另一方面，:b II c,J.b、c可以确定一个平面0.同理可证，/u|3.平面a、0均经过直线b、/,且b和/是两条相交直线，它们确定 的平面是唯一的，平面a与0是同一个平面，:.a、b、c、/共面.第四节 直线、平面平行的判定及其性质基础梳理1.平行直线(1)定义：不相交的两条直线叫做平行线.公理4:平行于 的两条直线互相平行.线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,_.的平面和这个平面相交,那么这条直线就和_平行.(4)面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的_平行.线面垂直砌i质定理:如果两条直线垂直于，那么这两条直线平行.2.直线与平面平行定义:直线a和平面a、，叫做直线与平面平行.线面平行的判定定理:飞乐 的一条直线和 i的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.面面平行的性质：如果两平面互相平行,那么一个平面内的平行于另一个平面.-3.平面与平面平行(1)定义:如果两个平面：，那么这两个平面叫做平行平面.(2)面面平行的判定定理:如果一个平面内有 印行于另一个平面，那么这两个平面平行.判定定理的推论:如果一个平面内的 分别平行于另一个平面内的,则这两个平面平行.(4)线面垂直的性质：如果两平面垂直于_,则这两个平面平行.平行公理:如果两平面平行于,则这两个平面平行.典例分析题型一线线平行【例1】已知四边形A BCD是空间四边形，E、F、G、H分别是边A B、BC、CD、D A的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.分析 若证四边形是平行四边形，只需证一组对边平行且相等或两 组对边分别平行即可.证明如图，连接BD.EH是4A BD的中位线,1/.EH II BD,EH=t BD.乙又FG是4CBD的中位线,1FG II BD,FG=BD FG II EH,且FG=EH,四边形EFGH是平行四边形.学后反思 若证明四边形EFGH是平行四边形，可有两条途径：一是 证明两组对边分别平行,二是证明一组对边平行且相等.举一反三1.已知E、4分别是正方体A BCD-45GA的棱A D、4A的中点.求 证：NBEC=N4&G.证明如图，连接明.,/，分别为4。1”0的中点，/.A.EJJAE.四边海&E4为平行四边形,/.AAIJEyE_B.:.ExE/_/BxB四边形片跖4是平行四边形，.EB II EB.同理4q/EC.又.NG4A与N CEB方向相同,.NG 耳片=ZCEB.题型二 线面平行【例21如图，正方体A BCD T百GA中，侧面对角线ABX,BCX上分别有两点E,F,且=CF.求证：EF II平面A BCD.分析 要证EF/平面A BCD,方法有两种：一是利用线面平行的判定定理，即在平 面A BCD内确定EF的平行线;二是利用面 面平行的性质定理，即过EF作与平面 A BCD平行的平面.证明 方法一：过E作EMLA B于M,过F作FN1BC于N,连接MN（如图），则EM IIBB,FN II BB EM II FN.AB=BC,BE=CF.A E=BF,EMAE BFAE FN BBXBXBCBCCXEM FN/.-二-,v CBB CC 1.EM=FN,四边形EMNF是平行四边形，.EF II MN.又EF U平面A BCD,MN u平面A BCD,/.EF II 平面A BCD.方法二:连接BF,并延长交BC的延长线于点P,连接A P（如图）.”.M gs PFB,ByF CyF；g，ae=g厂，AE=BF,:.=-,BF EA.,.%=空,斯/4尸 EA FP又,/EF.平面A BCD,A P u平面A BCD,/.EF II 平面A BCD.方法三：过点E作EH1BB于点H,连接FH（如图）,则EH II A B,BtE _ BXHqBE=CiF,BtE _ CXFBHC FBC,1.FH/BC.EH n FH=H,.平面EFH”平面A BCD.EFU平面EFH,EF II平面A BCD.学后反思 判断或证明线面平行的常用方法有：利用线面平行的定义(无公共点)；利用线面平行的判定定理(a(Z a,bu a,a/b=a II a);利用面面平行的性质定理(a II|3,a ca=a II 0);(4)利用面面平行的性质(a/0,a(Za,a(Z 0,a ana/|3).举一反三2.(2 010无锡调研)如图所示，在正三棱柱A RG-A BC中，点D是BC的中点,求证:A C平面A BD解析：如图，连接A 1J设Ad与4月交于E,连接D E.丁点D是BC的中点，点E是Ad的中点，,.D EA C.A iCN平面 A BD,D EU平面A BD,J A(平面 A BD.题型三 面面平行【例3】如图，正方体A BCD-4及。自的棱长为L求证:平面ABC II平面分析要证明平面AB。”平面4G。,根据面 面平行的判定定理或推论，只要证明A C平 面4G。，ABJI平面4G。，且A C n/4=A即可.证明方法一:A4/BBAAX=BB BBCCAAJJCCXBB、=CC、n四边形44CC为平行四边形=AC/A、4C U 平面A CD A C(Z 平面 A Cp/C/平面 A iGD同理A B/平面A GD A C n A B】=An平面A BC平面A Cp方法二：易知A A和确定一个CQ平面A C1，于是,平面Age平面A Q=A C平面A G c平面A C=A C 平面A G/平面A CnA/。4G 平面 A B、4G 2平面A BC =同理A Q/平面A B A C u 平面A B/J 4G n A】D=4=平面A B】。/平面A G。学后反思 证明平面与平面相互平行,一般利用面面平行的判定定理或 其推论，将面面平行转化为线面平行或线线平行来证明.具体方法有：面面平行的定义；面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另 一个平面，那么这两个平面平行；利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.3.如图，设A B、CD为夹在两个平行平面。、0之间的线段且直线A B、CD为异面直线，M、P分别为A B、CD的中点._7求证：MPcl Z T f/解析：过A作A ECD交。于E,连接ED.qB,ACED.取A E的中点N,连接NP、MN,则 NPED,MNBE.VMNA NP=N,J LBE.ED ua,平面MNP。.又MP u平面MNP,MPcl题型四平行问题的探究【例4】长方体A BCD-A RCD；点P&BB（不与B、B重合），PA CI BA二MPCCI BC=N,求证：MN平面A C.分析 要证明MN平面A C,只要证明MN平行于平面A C内的一条直线即可,而这条直线应与MN共面，由于A C与MN共面，只要证明A CMN即可.证明如图，连接A C,A C,3CfA BCD-A BCD，为长方体，A A C A V 7A CU平面A CB,A Cu平面ACb,力出，A C 平的VCB.吟GJ跳又平面PA C过A C且与平面BA，C交于MN,MNA C.A b M N.设CM:MA=A：1,则 CM:CA=A:(1+入),A M:A C=1：(1+A),CA Im则 MN=A B口CA 1+ZAM nAC 1+Z于是生=MN口 Q2 mnE _ .l 刈 1其中当人=1时，S口 达到最大值一mnsin渣攵当点M位于A C中点时,1 4 为面积最大，最大面积为一mnsin。4第五节 直线、平面垂直的判定及其性质基础梳理1.直线与平面垂直定义:如果直线/与平面a内的，都垂直,我们就说直线/与平面a互相垂直.这条直线叫做 忑不平面叫做直线的垂面，交点叫做.垂线上任意一点到垂足间的线段,叫做这个点到这个平面的?线段的长度叫做，(2)性质:如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的 线垂直.判定定理:如果一条直线与平面内的：垂直,则这条直线与这个平面垂直.(4)推论:如果在两条平行直线中，,那么另一条也 垂直于这个平面.性质定理:如果两条直线;，那么这两条直线平行.2.平面与平面垂直(1)定义:一般地，两个平面相交,如果它们所成的二面角是，就称这两个平面互相垂直.判定定理:如果一个平面过另一个平面的,则这两个平面 互相垂直.性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内 的直线垂直于另一个平面.典例分析题型一线线垂直【例1】如图，a n|3=CD,EA 1 a,垂足为 A,EBI 0,垂足为B,求证：CD _LA B.分析 要证CD 1 A B,只需证CD 1平面A BE即可.证明 a n 0=CD,.CD Ua,CD U|3.又.EA 1 a,CD Ua,EA 1CD,同理EB_LCD.,/EA 1CD,EB1 CD,EA n EB=E,.=CD J,平面EA BA BU平面EA B,/.A BI CD.学后反思 证明空间中两直线互相垂直，通常先观察两直线是否共 面.若两直线共面，则一般用平面几何知识即可证出，如勾股定理、等腰三角形的性质等.若两直线异面，则转化为线面垂直进行证明.举一反三1.（2010淮安模拟）如图，在三棱柱BCE-A D F中，四边形A BCD是正 方形，D FJ _平面A BCD,N是A C的中点，G是D F上的一点.求证：GNA C.BA解析：如图，连接D N,四边形A BCD是正方形，N是A C的中点 A D NXA C.D FJ _平面A BCD,A Cu平面A BCD,A D FA C.又 D NCI D FnD,A CJ _平面D NF.OGNu 平面 D NF,A GN A C.题型二 线面垂直【例2】如图，P为 A BC所在平面外一点，PA 1平面 A BC,ZA BC=90,A E1PB于E,A F J _PC于F.求证：BC1平面PA B;(2)A E1 平面PBC;PC_L平面A EF.分析 要证明线面垂直，只要证明这条直线与这个平面内的两条相交直 线垂直即可.证明(1)PA1平面ABC与A1BC A B1BC=BC1 平面PA B.PA n A B=A J(2)A E 平面PA B,由知A E1BC A E1PB=A E1 平面 PBC.PBnBC=Bj(3)PC 平面PBC,由(2)知PC1A E PC1A F=PC1 平面 A EF.A EA A F=A)学后反思 本题的证明过程是很有代表性的，即证明线面垂直,可先证 线线垂直，而已知的线线垂直又可以产生有利于题目的线线垂直,在线 线垂直和线面垂直的相互转化中，平面在其中起着至关重要的作用，由 于线线垂直是相互的，应充分考虑线和线各自所在平面的特征，以顺利 实现证明所需要的转化.举一反三2.如图所示，P是 A BC所在平面外一点，且PA J.平面 A BC,若0、Q分别是4A BC和A PBC的垂心，求证:OQ 1 平面PBC.证明 如图，连接A 0并延长交BC于E,连接PE.PA 1 平面 A BC,BC U平面 A BC,/.PA I BC.又()是A A BC的垂心，.BCJ _A E.PA D A E=A,BC1 平面PA E,/.BCIPE,PE必过Q点，/.OQ fi/PA E,/.0Q 1BC.连接BO并延长交A C于F.PA _L平面A BC,BFcz平面A BC,/.PA 1BF.又()是A A BC的垂心,.BF J _A C,BF1平面PA C.PCCZ-PA C,/.BF1PC.连接BQ并延长交PC于M,连接MF.Q为 A PBC的垂心，/.PCI BM.,/BMnBF=B,PC1平面BFM OQU平面BFM,/.0Q 1PC.PCnBC=C,.OQ_L平面PBC.题型三 面面垂直【例3】如图所示，在斜三棱柱48G-A BC中，底面是等腰三角形，A B=A C,侧面刃CC，底面A BC.若D是BC的中点，求证:A D icq;过侧面BBCXC的对角线BC1的平面交侧棱于M,GBaBi若A M=MA.,求证:截面，侧面分析（1）要证明A D J.CG,只要证明A D垂直于CG所在的平面阴G。即可.显然由A D J _BC和面面垂直的性质定理即可得证.(2)要证明截面MBCJ侧面BBXCXC,只要证明截面VBG经过侧面BBgC 的一条垂线即可.C _D_ n证明.A B=A C,D是BC的中点，.A D _LBC r.底面A BC1侧面gGC/.A D _L侧面，.A D _LCG./(2)延长用4与BM的延长线交于点N,连接GN.G仔AM=MA MAj-BB,=2 N.NA】=AB，/4G,.4G=ABi,:,NG=CB.底面J-侧面BBCC,.GN 1侧面BBC。.截面GNB1侧面BBCC,即截面MBC J _侧面BBGC.学后反思 本题中平面A BC，平面防CC的应用是关键，一般地，有两个平 面垂直时要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.举一反三3.如图，已知平面PA B，平面A BC,平面PA C，平面A BC,A E，平面PBC,E 为垂足.(1)求证:PA _L平面A BC;(2,当E为 PBC的垂心时,求证:A BC是直角三角形.B解析：（1）如图,在平面A BC内取一点D,作D FJ _A C交A C于F,平面PA CJ _平面A BC,且交线为A C,D FJ _平面PA C,又 PA u平面 PA C,，D F J _ PA.作D GJ _A B于G,同理可证D GJ _PA,又D G、D F都在平面A BC内，PA J _平面A BC.(2)如图，连接BE并延长交PC于H,E是 PBC的垂心,J PC BE.又A EJ _平面PBC,A EJ _PC,又BECI A E=E,PCJ _面A BE,A PCX A B.又 PA X 平面 A BC,J PA A B,又PA CI PC=P,J A B J _ 平面 PA C,A B J _ A C,即 A BC是直角三角形.题型四垂直问题的探究【例4】(12分)在四棱锥P-A BCD中，底面A BCD是矩形，A B=2,BC=a,又侧棱PA J _ 底面 A BCD.(1)当a为何值时,BD J.平面PA C?试证明你的结论；(2)当a=4时,求证:BC边上存在一点M,使得PMJ _D M;若在BC边上至少存在一点M,使PM 1 D M,求a的取值范围.分析(1)本题第 问是寻求BD 1平面PA C的条件，即BD垂直于平面PA C 内两相交直线，易知BD J _PA,问题归结为a为何值时,BD J _ A C,从而知A BCD为 正方形