高考数学一轮复习专题 专题44 平面向量复习课件.pdf

平面向量复习课件一、向量的概念既有大小又有方向的量叫向量。(1)零向量：长度为0的向量，记作小(2)单位向量：长度为1个单位长度的向量.(3)平行向量：方向相同或相反的非零向量.也 叫共线向量(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量.二、向量的表示向量的表示几何表示：有向线段字母表示：2、万等坐标表示：（x,y）（1）Q=X，+J=（X,）A。i X(2)若力(范 y则。4=(x,y)三、向量的运算（一）向量的加法1、作图三角形法则：ab+bc=aE平行四边形法则:2、坐标运算：设=（工1，乃）乃=（12，j2）贝!I a+b=（Xj+x2,必+必）三、向量的运算3.加法运算率交换律：a+b=b+a(2)结合律：(M)+c=a(b+c)J如图，已知a：b,用向量加法的三角形法则 作附珏.2.如图，已知底、工 作出乔F.用向量加法的平行四边形法则AB向量的和仍然是向4操*窕，研与a 4 1.由例1知，说行不共E,那么名的大小和方竺怎样呢?研的关余：J C线时，有忆+同 _-a-i-ABC-a-b-=C A B_ _ _ b a+b0时，与)同向 当4 3c)3(3五+4b 2c)e(5)已知 3(宣+五)+2(%2a)-4(x+a K)=0,求文(1)-12a(2)Sb(3)-a+Sb-2c(4)13a 5五-4b例2如图，已知而=4屈，DE=4BC,试判断同与靠是 否共线.解：因为屈=而+丽=4(AB+BC)所以同与屈共线.4AB+4BC=4AC,2a B D例3如图,A,B,C是平面内三个点，且A与B不重合，P是 平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数入，使得PC=APA+(1-A)PB ABP C证明：如题干图，因为向量反与向量证 共线，根据向 量共线定理可知配=2BA.即配一闻=入(诃_闻)，pc=APA+PB-2PB,PC=APA+(1-2)PB.2.如图，在AABC中，AN=|NC,P是BN上的一点,若AP二mAB+AC,则实数m的值为（D）A.2_ B.A C.2_ D.入11 11 n n/M-分析：由已知AABC中，AN=-NC,P是BN上的一点，设BP二入BN后，我们易将AP蓑示为（1-入）研 寓 的形式，根据平面向量的基本定理我们易构造关于人,m的方程组，解方程组后即可得到m的值.1.在 AABC 中，A/%AC=B 且 BD=2DC,则也等于（D）A.+|K B.|a?+3 3 3 3c.d.|-r+|r3 3 J。2.若AP=|PS,AB=XBP,则实数入的值是（D）4 3 3 4A.t B.-C.-De-t。4 4 D三、向量的运算4、平面向量基本定理如果瑟是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量Z有且只有一对实数4 4使-a=4g+425、平面向量基本定理的推论设与徵您是同一平面内两个不共线的向量(1)如果21。1+22。2=%1。1+%2。2，则丸 1=%1，22=%2.(2)如果2(1)平面向量基本定理如果弓，4,是同一平面内两个不共线向量，腐那么对于这一平面的任意向量凡有旦荐在一对实数，4,-使 4=4,+2e2辘，R面内口摩表示成：a=Ze+22 e2称它为向量的分解._L 1.乙 乙当盛松上相懿啮尸淼为向量的正交分解.如果瓦,耳是同一平面内的两个不共线向量，那么 对这一平面内的任一向量1有且只有一对实数4,4，使2=4耳+丸2巨2说明：不共线的向量耳，多叫做这一平面内所有向量 的一组基底;(2)基底不唯一；,遂2不共线(3)任一向量4都可以沿两个不共线的方向R,己的 方向)分解成两个向量(4瓦,4瓦)和的形式；例3.已知ei和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是（C）A.ei和ei+e2 B.ei-2e2和e2-2eiC.e2e2和4e22ei D.ei+e2和e2【解题探究】判断两个向量能否作为基底的条件是什么?看这两个向量是否共线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底.练习.已知ei与e2不共线，a=ei+2e2,b=Aei+e2,且a与b是一组基底，则实数人的取值范围是【解析】当ab时，设a=mb,则有ei+2e2=m（入ei+e2）,BPei+2e2=m 入 ei+me2,fl=rri?i 1 1所以t，解得入二B即当入时，ab.2=m 2 2i 1又a与b是一组基底，所以a与b不共线，所以入万.答案：（-8,）U（W，+8）2 2例5如图，在。ABCD中，E,F分别是BC,DC的中点，荏=3,而=区用A,U表示不和加.艇建I为包口些CD中，E,F分别是BC,DC的中点,且4B=3,4D=b.所以，前=而=5斤=於=-；乏所以,BF=BC+CF=b-af同理可得，万片=DC-EC=AB-AD=a-b.已知 瓦l=cN5=d，试用C,d表示 融和而【解析】设丽=打厮=卜由M,N分别为DC,BC的中点，得在 4ABN和 4ADM 中，a+5b=d,b+-a=c.I 27?x 2-,Ma=-(2d-c).X 2-,#b=-(2c-d)._2 _,2所以融=a(2d-c),通(左-d).三、向量的运算向量的夹角:两个非零向量和6，作。4 二 BOBb 95!iJ AAOB=0(0 O b B A-QB b。A三、向量的运算(四)向量的数量积1、平面向量数量积的定义：a-b=a-b c osO2、数量积的几何意义：等于a的长度|与B在a方向上的投影|cos。的乘积.3、数量积的坐标运算 a-b=xxx2+,1,24、运算律：(1)a-b=b.a(2)(2a)-b=A=三、向量的运算平面向量的数量积ab的性质：e-a=a-e=|a|cos0ab=ab=Oa,b同向ab=|a|b|反向时a,b=-|a|b|a2=a-a=|a|2()COS0=湍四、向量垂直的判定(1)J_ 芯 Oa-b=0(2)=，其中=(&必)，1=(%)-五、向量平行的判定(共线向量的判定)(1)o 6=(w 0)六、向量的长度(1)a-a=a 2,(2)设 q=(x,y),则(3)必),4a2a=次+/m则AB=-x2)2+(yt-y2)2七、向量的夹角a-b+，Vo例4已知单位向量1,的夹角为60,求向量-.a=ex+e2,b=%2q 的夹角.解：由单位向量属W的夹角为60,得O 1=cos 60=一,2所以 a-b-ex+e2)-(e2-2eJ=ei-el-e1-e2+e2-e232=2 +1=2又 a=6+6 2 2=ex+2q 6+4=3,一 2 32-2,一 2b.2 一 2=4 q-4e1-e2+e2=3,所以 a=b=a/3.设与b的夹角为e,由可得cos 9=3-_a-b _ 2 _ 1a b a/3 x 百 2又0八%,所以e4.即向量2与尚夹角为与.2.ABC中，赢.阮o,阮.衣o,则该三角形为（C）A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不能确定【解析】由跖氏0知NABC为锐角；由玩X60知,NACB为钝角3.在AABC中,M是线段BC的中点,AM=3,BC=10,则靠后=T6.4.若同=1,=2,且五，4反向,则云提一25.已知Z与用勺夹角为120。,|=4,|加=2,求:|+B 3-4刃|.解：|a+B|=J(a+3)2=Jj+2Z,B+片=+2x 4x 2x(-$+2?=2 V3.3a-4b|=小国-的=5(3不一2(3)(45)+(4行=J9x l6-24x 4x 2x(-1)+16x 4=4719.6.已知同3,网三，V见充=120,求庆 解：K=a|5|cos=5X4Xcosl20=10.|a|=3,网=6,=all b,a与五的夹角是60。时，分别求二K屈I并寸，万方=土18；aJ_ 60,76=0；“与方的夹角是60 时，方后9.巩固练习1 ei,e2不共线，a=ei-2e2，b=3e_4ez,a与b是否共线。解:v 1/3-2/(-4)二丹与13不共线。2.（2014江西高考）已知单位向量ep e2的夹角为a,且cosa=；,若向量a=3e1一 2g,贝1 a=3JL 乙3.已知同=3,b=59且力=12,求在方向上的正射影的数量及在方向上的正射影的数量。一解：因为 cos 0=-|回 5所以葩方向上的正射影的数量是 八 G行 12 a cosu=-W 5在方向上的正射影的数量是4.已知直线，i：3x+4y-12=0和，2：7x+y-28=0,求直线。和的夹 角.解:任取直线。和，2的方向向量4)m=设向量加与夹角为仇因为加二加ncos dAOB-OBOC=OB（dA-OC）=QdBCA=QOBlAC.同理0B14CC故点0是4BC的垂心.B（.An Ar7aABC41,PJAP=2=+尸 NO,IH kIJ则射线/P一定经过（A）A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心CB8、已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上 的动点，则法瓦的值为，瓦皮的最大 值为 O解 DECB=DE DA=DEDA c osO=DE-c osODA,因此法无二|茂|2=1.又建.发二|法|而|cosi=I法|cosa,A E BD C而|cos”就是向量。月在。边上的射影.9、已知a=(3,-2)b=(-2,l)c=(7,-4),用a、b表示c。解：c=m a+n b(7,-4 尸m(3,-2)+n(-2,l)r 3m-2n=7,r m=l,I-2m+n=-4:n=-2.