浅谈圆锥曲线的性质及应用本科毕业论文.doc

毕 业 论 文

题 目：
浅谈圆锥曲线的性质及应用
学 院：
数学与信息科学学院
专 业：
信息与计算科学
班 级：
2011级1班
姓 名：
张朝若
学 号：
20110502033
指导教师：
唐加冕

2015
年
5
月
18
日

浅谈圆锥曲线的性质及应用
【摘要】圆锥曲线作为平面解析几何的重点.首先要进行研究的是它的分类，并对椭圆，双曲线 ，抛物线的性质以及应用进行总结与归纳，根据已经学过的平面解析几何的知识，运用数形结合的思想，对它们的性质包括基本性质与推广性质进行一系列的总结与证明，根据性质对它在解题过程中的应用以及实际生活中有关圆锥曲线应用的探究与说明.
【关键词】圆锥曲线；性质；推广；应用

Introduction to the properties and application of the conic sections
【Abstract】The conic sections is as the focus of flat analytic geometry .This article first introduce the conic sections in the classification analytic geometry. It summarizes the three types included ellipse,hyperbolic,parabola of a degenerate conic sections of the nature and application. Flat analytic geometry knowledge and combining ideas are made use of.The conic sections of the basic nature and promotional nature of the review and verification are summarized and proved. And put it in our daily lives and in the solution of the application of the application of a brief explanation.
【Key Words】The conic sections；Nature；Promote；Application

目 录
1引言 1
2 圆锥曲线的分类与性质 1
2.1 圆锥曲线的分类 1
2.2 圆锥曲线的性质 3
2.2.1 椭圆的性质 3
2.2.2 双曲线的性质 4
2.2.3 抛物线的性质 5
3 圆锥曲线的应用 6
3.1 直线与圆锥曲线位置关系 6
3.2 根据圆锥曲线的性质解决圆锥曲线的最值问题 10
3.3 数学问题在圆锥曲线中的推广 13
4 圆锥曲线在生活中的应用 16
5 结论 17
参考文献: 17
致谢 18
1
I

石家庄学院毕业论文
1引言
圆锥曲线作为高中数学中的重点与难点同样在解析几何当中占据了不可替代的地位，然而作为几何问题，我们却用代数的方法去研究它，它完美地将代数方法融入几何学中，圆锥曲线的性质以及应用成为研究者青睐的研究课题之一.
圆锥曲线可分为圆，椭圆，双曲线，抛物线，它们都是由平面截圆锥形成的，因此它们之间有很多共同的性质，研究它们之间的共同点跟不同点，有利于加强知识间的横向联系，拓宽学习思路，加深对于圆锥曲线定义的理解，圆锥曲线由于计算比较繁琐，会引起有些学生的不耐烦，因此对其性质以及应用进行较深入的研究和探索有着比较重要的意义，通过研究该课题提高学生解决相关问题的综合能力.
圆锥曲线上至空间宇宙，下到实际生活中的应用，无时无刻不与我们有着千丝万缕的关系，我们赖以生存的地球就是在椭圆轨迹上围绕着太阳运转，人造卫星同样也是按照这样的原理运转，电作为现代文明的产物，也与我们的圆锥曲线割舍不开，发电厂的冷却塔就是利用双曲线的性质工作的，我国赵县的赵州桥历经千年而不倒，利用的就是抛物线的原理，因此，圆锥曲线涉及到生活的各个方面.
同样圆锥曲线在微观世界也有着割舍不断的联系，原子我们都再熟悉不过，围绕其周围环绕的电子，做的运动轨迹便近似与椭圆的形状，因此可见无论我们熟悉的宏观世界还是肉眼不可见的微观世界，都与圆锥曲线有着千丝万缕的关系.于是对其性质及应用的探究显得尤为重要.
本文通过学习圆锥曲线的分类以及基本性质，进而探究它的衍生的性质以及在解题和生活中的应用.
2 圆锥曲线的分类与性质
2.1 圆锥曲线的分类
在平面直角坐标系中，设二次曲线的方程为

记，

则我们称为二次曲线的不变量，是二次曲线的半不变量.
根据不变量得到二次曲线的分类：
1 椭圆型：
⑴ 椭圆
⑵ 虚椭圆（无轨迹） ，
⑶ 一点 ，
2 双曲型：
⑷ 双曲线 ，
⑸ 一对相交直线 ，
3 抛物型：
⑹ 抛物线 ，
⑺ 一对平行直线 ，，
⑻ 一对虚平行直线（无轨迹） ，，
⑼ 一对重合直线
当二次曲线为退化时，二次方程的图像表现为直线或一点.根据二次曲线的分类可以得知，曲线的类型取决于的符号，二次曲线是否退化则取决于是否为.所以，圆锥曲线可以分为椭圆，双曲线，抛物线三类.
2.2 圆锥曲线的性质
2.2.1 椭圆的性质
定义2.2.1 平面内到两个定点、的距离的和等于常数()的动点的轨迹叫做椭圆. 即： .[1]

定义

图形

方程

焦点

范围

对称性
关于轴、轴成轴对称；关于原点成中心对称
顶点坐标

焦点坐标

离心率

表2.1椭圆的性质
定理2.2.1与长轴垂直的过焦点的弦被称为椭圆的通径，设为,.
定理2.2.2椭圆上的一点处的切线方程是.
定理2.2.3设为弦的两个端点，则
.
.

2.2.2 双曲线的性质
定义2.2.2平面上到两个不重合定点的距离的差的绝对值等于定长的点轨迹叫做双曲线.两个定点叫做双曲线焦点，焦点间距离叫做焦距.[1]
定理2.2.4在圆锥曲线中唯一存在渐近线的只有双曲线，渐近线和双曲线无限接近但永不相交，当焦点在轴上时，渐近线方程是和;当焦点在轴上时，渐近线方程是和.
定理2.2.5实轴和虚轴相等的等轴双曲线的离心率等于，并且它的两条渐近线互相垂直.
定理2.2.6设点为双曲线上任意一点，则其焦半径为的长各为，.
定义

图形

方程

范围

对称性
关于轴，轴，原点对称
焦点

离心率

渐近线

表2.2双曲线的性质
2.2.3 抛物线的性质
定义2.2.3平面上到一个定点与到一条定直线（定点不在定直线上）距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点叫做抛物线的焦点.定直线叫做抛物线的准线.[1]
定理2.2.7抛物线上任意一点的焦半径的长
.
定理2.2.8抛物线的倾斜角为的焦点弦的长为.
定理2.2.9 是抛物线的任意一个焦点弦，为焦点，则.
标准方程

图形

顶点

焦点

对称轴
轴
轴
准线

离心率

焦准距

通径长

的焦点半径

表2.3抛物线的性质
3 圆锥曲线的应用
3.1 直线与圆锥曲线位置关系
例3.1 椭圆：离心率，椭圆的右焦点为，点,所在直线的斜率为，其中为坐标原点．
(1)椭圆的方程；
(2)设椭圆跟过点的动直线相交于两点，当△的面积达到最大时，求的方程．
解：(1)设，由已知可得，，得.
又，所以，.
故的方程为.
(2)当轴时不满足题意，
故可设:，.
将代入中得，
当，即时，
故，
从而.
点到直线的距离.
△的面积

.
设，则,
，当且仅当，即时等号成立，满足，
当的面积最大时，，的方程或.
例3.2 如图所示,双曲线：的右焦点为，点分别是双曲线两条渐近线上的点，平行于轴，与垂直，与平行(为坐标原点)．

图3.1双曲线跟直线相交图
(1)求双曲线的方程；
(2)是过双曲线一动点(其中)一直线，是直线与交点，是直线与交点.证明：无论双曲线上的动点如何移动，恒为定值，并求此定值的值．
解：(1)设，，.
根据题意，直线的方程是，直线的方程是，. 又因直线的方程是.
则，.
又，，可得，则双曲线的方程.
(2)由(1)知，直线的方程为，即
直线的方程是，直线与的交点，直线与直线的交点，则

又)是上一点，，
代入上式得，，为定值．
例3.3 如图，抛物线：和：，是过原点的直线与抛物线，的交点，是过原点的直线与抛物线，的交点.

图3.2两抛物线与直线相交图
(1)证明：∥;
(2)过作直线(异于，)与抛物线分别交于两点，设△与△的面积分别是与，求的值．
解：(1)证明：设直线的方程是，
则根据 可得
根据可得
同理可得，.
，
.
故，∥.
(2) 由(1)知∥，同理可得∥，∥，△∽△，则
.
又由(1)知，，.
3.2 根据圆锥曲线的性质解决圆锥曲线的最值问题
例3.4如图所示，分别为椭圆：的左、右焦点，分别是双曲线的左、右焦点，分别为椭圆，双曲线的离心率.其中，，是坐标系的原点.
(1)求的方程；
(2)过作椭圆的不于轴垂直的弦，是的中点．当直线与抛物线相交于两点时，求这个四边形面积的最小值．
解： (1)，，即，，则，于是，故的方程分别为.

图3.3双曲线，椭圆与直线相交图
(2)由于不垂直于轴，且过点，则设直线的方程是，由可得.
此方程的.设，则为方程的两个实根，则.
所以，则的中点为，直线的斜率是，的方程是，即.
由可得，则，且，，从而.设点到直线的距离是，则点到直线的距离也是，因此.点在直线的异侧，因此，，从而.
又，.
四边形的面积即.
而，所以只有当时，才能取最小值2.
综上所述，四边形面积的最小值是2.
例3.5 如图所示，在平面直角坐标系中，点到抛物线准线距离是.，抛物线上的定点为，线段是由抛物线上的任意两个动点组成，且线段被直线平分.
(1) 求的值.
(2) 求面积的最大值.

图3.4抛物线C与直线相交
解：由题意知.
设则线段的中点是

则可得到直线的方程是
由

设点到直线的距离是则
设的面积为 由
令
令
故面积的最大值是
3.3 数学问题在圆锥曲线中的推广
例3.6：如图所示，△的内切有心圆锥曲线，其中（）.、、分别是圆锥曲线与线段、、切点，分别为，的交点，分为位于延长线上，则.

图3.5△ABC内切圆锥曲线图
证明：设点的坐标是，点坐标是，
则，过点的切线方程：
…………………①
由题意可知过点的两切线方程：
………②
切点弦的方程：…………………③
由图像可知直线方程：…………………④
联立③④得点坐标
则直线方……………⑤
联立①⑤得交点的横坐标
设点的横坐标为、，的中点横坐标为，
联立①②得的一元二次方程：
由韦达定理得
即
点与线段中点横坐标相等，而且同在切线方程①上，则其纵坐标同样相等，则两点即为同一点，因此就是线段的中点，.
在有心圆锥曲线（）中，
当时，表示圆；
当时，表示椭圆；
当、异号时，表示双曲线.
本题对圆、椭圆、双曲线做了相应的证明.
例3.7：如图所示，△的内切抛物线为，线段与抛物线的切点分别是，过点作∥轴，点为与交点，为直线与线段的交点，证明：.

图3.6△ABC内切抛物线图
证明：设点坐标，点坐标，
则，过点的切线方程是： ………①
由题意可知过点的两切线方程：…②
切点弦的方程：………③
联立 可得点坐标：，
因此得直线方程： ………④
联立①④得点的横坐标：

设点的横坐标是、，的中点横坐标即，
联立①②得到关于的一元二次方程：
由韦达定理得
即
点跟线段的中点的横坐标相等，且都在切线方程①上，因此它们的纵坐标也相等，于是这两点为同一点，因此是线段的中点，则.
上述两个例题为证明与三角形内切圆与旁切圆问题的方法.
通过以上的分析，我们可以利用圆锥曲线的性质，数形结合，舍而不求，韦达定理，以及直线与圆锥曲线位置关系有效解决圆锥曲线中遇到的问题，灵活掌握这些，方可用最高的效率，最小的计算量，达到解题目的.
4 圆锥曲线在生活中的应用
随着新课改的逐步推广，越来越多的以实际生产生活为大背景的圆锥曲线的问题，作为教材的例题，并且越来越受到高考命题专家的青睐.通过椭圆，双曲线，抛物线的知识我们可以有效解决生活中许多与之相关的问题.以下通过实际生活中的例子来说明圆锥曲线应用.
油罐车的横截面被设计为椭圆形，既节约了罐体材料，又满足容积尽可能大的要求，圆柱形的容器，同等容积情况下，表面积最小，罐体受力均匀，保证了罐体的稳定性；薄壳结构类建筑的椭圆状穹顶（如天津奥体中心体育场）.
美伊战争中，美军用的“回旋镖”反狙击手系统的原理便是利用双曲线的知识，根据回弹发出的超声波被传感器接受，将接受到超声波的传感器当作双曲线的焦点，则声源必定在这个双曲线上，以此计算出声源在传感器的哪个角度，哪个方位，以及距离远近，因此达到搜索狙击手的目的.
火电厂以及核电站的冷却塔同样也是利用双曲线的性质制造的，中部直径较小，底部跟上部直径较大，这样的设计使得蒸汽最大限度地留在塔内，从而提高冷却回收率，从而实现节约能源的效果.
追寻历史的足迹，看到我们河北著名的赵州桥，定会惊叹在当时条件下，我国古人就有如此的智慧，其实它的结构就是利用抛物线的知识，使得其用料精简，但结构却异常稳定，坚固.1400多年的时间，十次水灾，八次战乱，以及大大小小数不清的地震，足以证明一切.
聚光式太阳灶的镜面设计，就源于抛物线的灵感，根据旋转抛物面的聚光原理，将投射来的平行光集中反射到定点位置，形成聚光，使其聚焦到一个焦面，用于实用，达到加热的目的.
圆锥曲线在生活中的应用可以说涉及到方方面面，各个领域，上至军事，电力，国家层面，下到与日常生活息息相关的物品，因此研究圆锥曲线的性质，以便更多更好的服务于我们的社会.
5 结论
本文通过圆锥曲线的定义入手，对圆锥曲线的分类，即椭圆，双曲线，抛物线，对其定义以及基本性质作了简单概括的介绍与总结，并对圆锥曲线在实际生活中的应用举例进行了说明，以及解题过程中的典型类型用例题进行详解.通过圆锥曲线在生活以及解题中的应用及拓展，有助于初学者系统掌握知识点，开阔思路，培养逻辑推断的能力，进而熟悉掌握并运用定义，性质，感受到数学的魅力所在，证明数学来源生活，并服务于生活，从而服务世界，造福人类
参考文献:
[1]刘连璞.平面解析几何方法与研究[M].北京大学出版社，1999.
[2]李铭祺.高中几何学习指导[M].西安：陕西人民教育出版社，1987：125-126.
[3]郑崇友.几何学引论（第二版）[M].高等教育出版社，2005.
[4]张留杰.圆锥曲线的一个性质的证明与推广[J].数学通讯，2003（15）：25-27.
[5]潘德党.圆锥曲线的一个性质及应用[J].数学教学研究，2007，（3）：25-26.
[6]黄继创.圆锥曲线的一个几何性质[J].数学通讯，2006，（6）：94-95.

致谢
大学四年的时光，匆匆而过，论文作为大学生涯里最后一次作业，也是最富有难度的作业，历经三个多月的时间，终于顺利完成.在论文撰写期间，要特别感谢我的导师唐加冕老师的悉心指导与督促.论文写作过程中，遇到了好多大大小小各种各样的问题，有些是关于论文格式方面的，有些是关于论文专业知识方面的，唐老师都对其不厌其烦的作了修改与订正，这才使得论文能在最短的时间内取得好的效果.唐老师对待工作一丝不苟的作风，秉承严谨求实的态度，不仅帮助我顺利完成了论文，更教会了我做人的道理，使我终生受益.相信经过四年母校的培养以及老师的谆谆教诲，我一定可以成功转入职场，并迅速成长起来.
最后，再一次感谢母校对于我大学四年的培养，以及所有在毕业论文中帮助过我的良师益友和同学们.

17