换元思想在微积分中的应用.doc

换元思想在微积分中的应用

———————————————————————————————— 作者：
———————————————————————————————— 日期：

2

个人收集整理 勿做商业用途
换元思想在微积分中的应用

高杨
数学与信息学院 数学与应用数学专业07级9班 指导老师：郭潇

摘要：高等数学是高等院校许多专业开设的一门重要的基础课程，而微积分是高等数学的基础,学习好这部分知识对后继课程的学习格外重要.那么怎样来学好它呢？除了对概念的深刻理解,再者就要多做相关的习题.在微积分的学习中，学习者要经常面对大量的计算.如果找不到合适的方法，会让学习者无所适从，掌握了解题方法对深刻理解微积分起到事半功倍的作用.其实数学解题的方法很多，需要我们慢慢的学习和积累。本文结合教学实际，列举出一些具体问题，单独对“换元”这一方法，对微积分相关问题加以讨论，或许能开拓学习者的解题思路,来解决实例问题。
关键词:换元；高等数学；微积分;极限；微分；积分

Thought substitution of calculus

Gao Yang
Mathematics and Information Science Mathematics and Applied Mathematics Grade 07 Instructor:Guo Xiao

Abstract：Many professional institutions of higher learning higher mathematics is the creation of an important basic courses, and calculus is the foundation of higher mathematics, study and knowledge of this part of the subsequent courses is particularly important. So how to learn it？ Excepting deep understanding of concepts, we should do more necessary prectice. In the calculus of learning， learners should always face a lot of calculations。 If you can not find a suitable way, you will not know how to master the problem—solving methods on a deep understanding of calculus play a multiplier role。 In fact， a lot of mathematical problem-solving approach, we need to learn and accumulate slowly。 This combination of teaching practice， a number of specific issues listed separately on the "substitution” This method， discussed issues related to calculus， may be able to develop the learner’s problem—solving ideas to solve the instance of the problem。本文为互联网收集，请勿用作商业用途文档为个人收集整理，来源于网络
Key words： Substitution； Higher Mathematics； Calculus;Limit;Differential；Integral

微积分主要包括了极限、微分和积分，所以研究换元思想在微积分中应用，我们应该分别从这几个方面来研究。

一、换元思想在极限中应用
极限是高等数学的基本概念，求解极限的方法灵活多样。其中，洛必达法则和等价无穷小代换因具有广泛的适用范围而倍受重视.而换元的基本思想是指通过变量代换，使原问题化繁为简、化难为易,发生有利的转化，从而达到解题的目的。下面举例谈谈换元法在求极限过程中的妙用.
例1 求下列函数的极限
（1）,(2）。
（1)解设t=+1
则=
=
=
=
=10
=0
（2)解设t=
则 =
=
=
=
例2 求。
解． 令t = arc sin x， 则 x = sin t， 于是原式 = 。
例3 求
解． 令 t = ex- 1， 则x = ln（1+t） ． 于是原式 = ．

二、换元方法在微分中的应用
在求解微分的过程中，如果能根据问题的特点，灵活巧妙地结合换元法解题，就可以给解题带来方便，达到事半功倍的效果。下面谈谈换元思想在微分中的应用。
例4 求函数的微分。
解：由=的积分公式知先设
则
以上类推，再令
而=
所以=

三、换元思想在积分中应用
换元思想在积分中的应用是微积分学习中的重点内容，它能使解题思路更加清晰，使计算更加简单。而积分主要包括不定积分和定积分.下面谈谈换元思想在积分中的应用。
1。不定积分的第一换元法¾¾凑微分
先看一个例子：
例5 求 .
解. 因（1 + x2 ）¢ = 2 x，与被积函数的分子只差常数倍数2，如果将分子补成2 x , 即可将原式变形：
原式 = 　（ 令u = 1 + x2 )
= 。 （ 代回u = 1 + x2 ）
注。 此例解法的关键是凑了微分d(1 + x2 ）．一般地有
第一换元公式 （ 凑微分 ）：
凑微分 换元 u = j (x） 积分 代回 u = j (x)
∫f ［j (x)] j¢ （x)d x =∫f[j (x)]dj (x） =∫f（u）du = F(u）+C = F[j （x）］+C
其中函数u = j (x）是可导的, 且F（u）是f(u)的一个原函数．
从上述公式可看出凑微分法的步骤:
凑微分¾¾® 换元 ¾¾® 积分 ¾¾®再换元
j¢ （x)dx= dj （x） u=j(x） 得F(u)+C 得F［j （x）］+C
注. 凑微分法的过程实质上是复合函数求导的连锁法则的逆过程.因在F¢ （u）= f(u）的前提下,上述公式右端经求导即得：
[F［j （x)］+C］¢ = F¢ [j （x)］ j¢ (x) = f [j （x)］j¢ (x) .
这就验证了公式的正确性．
例6 求∫( ax + b ） mdx , ( m≠-1 , a≠0 ） 。
解. 原式 = ( 凑微分d（ ax + b ） )
= ( 换元u = ax + b ）
= （ 积分 )
= 。 （ 代回u = ax + b )
例7 求 .
解。 原式 = （ 凑微分d(-x3）= -3 x2 dx ）
= = = （ 换元u = -x3 ) .
注. 在熟练掌握凑微分法之后,中间换元u=j (x) 可省略不写， 显得计算过程更简练, 但要做到心中有数．
例8 求∫tan x dx　.
解。 原式 =
= -ln ｜cos x｜ + C 。
同理可得 ∫cot x dx = ln ｜sin x｜ + C .
例9 求 （ a ≠ 0 ） 。
解。 原式 = = .
例10 求 ( a > 0 ） 。
解. 原式 == .
例11 求 。
解。 原式==
。
例12 ∫sec x dx .
解。 原式 = ( 换元u = sin x ）
=
=
= ( 代回u = sin x )
=
== ln |sec x + tan x | + C 。
2。不定积分第二换元法.
第一换元法公式的核心是∫f ［j (x)] j¢ （x)d x =∫f（u）du 。从公式的左边演算到右边,就是凑微分换元： u=j(x） .如果我们从公式的右边演算到左边，就成为换元的另一种形式，称为第二换元法.即若u=j（x）是单调可导函数,那么有公式
换元 u = j （x) 积分 代回 x = j—1 （u)
∫f(u)du = ∫f [j (x)］ j¢ （x)d x = F (x)+C = F(j—1(u）)+C
第二换元法常用于被积函数含有根式的情况。
例13 求 ，
解。 令 ( 此处 j (t) = t2 )． 于是
原式 = =
= （ 代回t =j-1 （x）= ） 。
注. 你能看到，换元 = t的目的在于将被积函数中的无理式转换成有理式, 然后积分．
第二换元法除处理形似上例这种根式以外，还常处理含有根式，， （ a > 0 )的被积函数的积分．
被积函数含根式
换元方法
运用的三角公式

x = a sec t
sec2 t - 1= tan2 t

x = a tan t
tan2 t +1 = sec2 t

x = a sin t
1 - sin2 t = cos2 t
例14 求 ( a 〉 0 ) .
解. 令x = a sec t, 则 dx = a sec t tan t dt ， 于是
原式 = =∫sec t dt = ln ｜sec t + tan t ｜ + C 1 。
到此需将t代回原积分变量x，用到反函数t = arc sec，但这种做法较繁．下面介绍一种直观的便于实施的图解法：

图2。1
作直角三角形，其一锐角为t及三边a，x，满足：sec t = .由此，
原式 = ln ｜ sec t + tan t｜ + C 1
=
= .
注．C 1是任意常数, - ln a是常数， 由此C = C 1 - ln a仍是任意常数．
例15 求 ( a 〉 0 ) 。
解。 令x = a tan t，则 dx = a sec2 t dt ，于是
原式 = =∫sec t dt = ln ｜ sec t + tan t ｜ + C 1 。

图2.2
图解换元得
原式 = ln | sec t + tan t｜ + C 1
=
。
公式： （ a 〉 0 ).
例16 求 ( a > 0 ) 。
解。 令x = a sin t，则 dx = a cos t dt ，于是
原式 =
= = + C .

图2.3
图解换元得：
原式 = + C = + C 。
3。定积分换元法
　定理。 设函数f (x）在区间[a， b］上连续,且函数x =φ(t）满足：
(1） 在区间［α， β]上有连续导数φ/(t）；
（2） 当t在［α,β］上从α变到β时，φ(t)单调地从a变到b；
（3） φ（α） = a，φ（β） = b ；
则
应用上述定理计算定积分时，最重要的一点是注意积分上下限的对应关系．即下限a对应着下限α, 上限b对应着上限β，不管它们的大小关系如何． 定积分与不定积分的换元差别在于：不定积分的结果是函数,积分变量( 自变量 ）应回代到原变量；而定积分的结果是数值，就不必回代成原变量后再代入原来的上下限,只要按新变量的对应上下限代入计算即可．我们看下面的例子，以说明两个换元过程的差别．
例17 不定积分
；
定积分
=.
例18 求
解一。 原式 = (凑微分d（x2)， 积分变量未改, 上下限也不改)
= = 。
解二. 原式 = （凑微分d（x2）， 积分变量未改， 上下限也不改）
= (换元, 积分变量改了, 上下限也要改)
= = 。
从上例的两种解法，你要看清上下限的改变是与积分变量的改变同步且对应的．
四、换元思想在微分方程中的应用
换元思想在微分方程中也有着充分体现，解题时必须根据问题的特点，灵活应用，这样能给解题带来方便。下面主要讨论在微分方程得求解为题，可以体会到换元思想的妙用.
例19 求微分方程满足初始条件的特解
解：方程可以化成

令则,带入方程得

分离变量得
两边积分

即
通解是
带入初始条件知
最后特解为
由上可见,换元法在高等数学的教学中有着广泛的应用。因此,在数学学习时，特别是解数学问题时，要有意识地训练运用换元法的技能，有效提高解题的应变能力与思维能力,从而增强学生学习数学的兴趣。通过上述的例题，我们发现换元这一方法贯穿微积分教学的整个过程，只要在极限、微分、积分中巧妙地运用换元的方法,可以轻易地解决一些计算问题.只要我们善于和应用换元的方法，将在高等数学的后继学习中获益匪浅。

参考文献：
[1］黎诣远，李林曙.经济数学基础［M］.高等教育出版社，2005。
［2］柳重堪.高等数学[M］.中央广播电视大学出版社，2005。
[3］ 休斯﹒哈雷特。微积分［M].高等教育出版社，1997.
[4］高汝熹。高等数学微积分［M].武汉大学出版社，2000.
[5]邓鹏。高等数学方法论［M]。四川教育出版社,2003。
[6］ Patrick M.Fitzpatrick。Adbanced Calculus A Course in Mathematical Analysis[M]。机械工业出版社，2003。

致谢
在我毕业论文开题、调查、研究和撰写过程中，郭潇老师给予了我耐心、细致和全面的帮助表示最真诚的感谢。

13