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微积分初步学习辅导（四）
——导数与微分部分
典 型 例 题
例1 求下列函数的导数或微分：
(1)设，求.
(2)设，求
(3)设，求.
分析 这三个函数都是由基本初等函数经过四则运算得到的初等函数，求导或求微分时，需要用到导数基本公式和导数的四则运算法则.对于(1)先用导数的加法法则，再用导数基本公式；对于(2)，可以先用导数除法法则，再用基本公式；但注意到(2)中函数的特点，先将函数进行整理，，则可用导数的加法法则求导，得到函数的导数后再乘以，得到函数的微分；对于(3)用导数除法法则，再用基本公式.
解 (1)
=
=
=
(2)因为
所以，
于是 .
(3)因为
=
=
所以=
在运用导数的四则运算法则应注意：
① 在求导或求微分运算中，一般是先用法则，再用基本公式；
② 把根式写成幂次的形式，这样便于使用公式且减少出错；
③ 解题时应先观察函数，看看能否对函数进行变形或化简，在运算中尽可能的避免使用导数的除法法则. 如例1中的(2)小题，将变形为后再求导数，这种解法比直接用除法法则求解要简便且不易出错.
④导数的乘法和除法法则与极限相应的法则不同，运算也相对复杂得多，计算时要细心.
例2 求下列函数的导数或微分：

(1) 设，求.
(2) 设，求.
(3) 设，求.
分析 采用复合函数求导法则，所设的中间变量应是基本初等函数或基本初等函数的四则运算.求导时，依照函数的复合层次由最外层起，向内一层层地对中间变量求导，直至对自变量求导为止.
解 (1)设，利用复合函数求导法则，有

代回还原得

在基本掌握复合函数求导法则后，也可以不写出中间变量，如下解法：

(2)设，利用复合函数求导法则，有

代回还原得

或着

(3)设，利用复合函数求导法则和导数的四则运算法则有，

代回还原得

或着

例3求下列方程所确定的隐函数的导数或微分：
(1)，求；
(2) ，求.
分析 隐函数的特点是：因变量y与自变量x的对应关系是隐藏在方程中的.因此，在求导数时，不要忘记y是x的函数，在对y的函数求导后切记再乘以y对x的导数.
依隐函数求导数的步骤求导.
解(1)[方法1] 由导数得到微分.
方程两边对自变量x求导，视y为中间变量，有

即
整理方程，解出，得

=
[方法2] 方程两边对变量求微分，这时变量y和x的地位是相同的，即不再将y看作x的函数.

=
(2)方程两边对自变量x求导，视y为中间变量，有

于是
整理方程解出，得
.
例4 求由曲线在点的切线方程.
分析 如果函数可导，函数曲线在点处的切线方程为

因此求曲线在某点处的切线方程，必须知道两点：①曲线在点处的导数；②切点.
此题中，切点已知，只需对隐函数方程求导数，求出.
解 方程两边对求导，得

解出，得

于是，在点的切线方程为

即
请注意：求曲线的切线方程是导数概念的一个重要应用，一般地，在题目中只给出切线方程的两个要点中的一个，另一个是要根据已知条件求出来的.再则，如果已知条件中只给了切点的横坐标，那么纵坐标可以通过得到.
例5 求函数的二阶导数.
分析 函数的二阶导数为函数一阶导数的导数.(如果仍然可导).
解 因为
所以 .
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