1、习题课
一、 积分不等式：
1． 利用积分关于被积函数地单调性证明积分不等式：
例1、 证明不等式 .
证： 注意在区间 [ 0 , 1 ]上有 , ……
例2、 证明不等式 .
证：考虑函数, .
易见对任何, 在区间 上和均单调, 因此可积,且有 , 注意到 , 就有 . 而
,
.
因此有 .
取, .
在区间仿以上讨论, 有. 而
,
.
综上 , 有不等式.
2、某些不等式地积分推广:
原理: 设函数和在
2、区间 上可积. 为区间 地等分分
法, . 若对任何和, 均有
, 即得.
令, 注意到函数和在区间 上可积, 即得积分不等式
.
倘若函数和连续 , 还可由
.
例3、 证明 Schwarz 不等式
( 亦称为 Cauchy–Буняковский不等式 ):
设函数和在区间 上连续 ( 其实只要可积就可 ). 则有不等式
.
证法一： ( 由Cauchy 不等式 Schwarz 不等式 . Cauchy 不等式参阅
[
3、1] 上册P4 Ex 第10题 : 设和为两组实数, 则有
. )
设为区间 地等分分法. 由Cauchy 不等式 , 有
,
两端同乘以, 有
,
令, 注意到函数、和在区间 上地可积性
以及函数地连续性,就有积分不等式
.
证法二 ： （ 用判别式法 ） 对任何实数,有 ,
, 即
对任何实数成立.
即上述关于地二次不等式地解集为全体实数, 于是就有
,
4、即 .
例4、 且 . 证明不等式
.
证： 取 . 对函数 和应用Schwarz 不等式, 即得所证 .
例5、 设函数在区间 [ 0 , 1 ]上可积 . 试证明有不等式
.
证： 先用Jensen不等式法证明不等式 : 对 , 有不等式
. ( 参阅上学期期末考试题第21题 )
设为区间 地等分分法. 由上述不等式 , 有
.
令, 注意到函数和在区间 [ 0 , 1 ]上地可积性以及函数 和地
5、连续性,就有积分不等式
.
仿该例, 可得到均值不等式、用Jensen不等式法证明地某些不等式地积分形式 .例
如[1]P334—335 Ex 2,6,8.
二、 面积函数地导数 :
例6、 求 和
例7、 求和
例8、 求 .
例9、 设 时函数连续且 . 求. (= )
例10、 设函数连续且 . 求和 .
解： 令 . 两端求导, = .
例11、 设. =. 试证明 :
=.
证： =,
=.
6、 例12、 设函数在区间上连续且>0. .
试证明: 函数在区间内严格递增.
证： = , 而
.
>0 , 在内 ,又连续 ,
, 在区间内>0 . 因此在区间内
严格递增.
三、含有变限积分地未定型极限:
例13、 求极限 . ( 2 )
四、 定积分地计算 :
例 14、 计算积分 .
例15、 计算积分= .
解： 时, = ;
时, = ;
时, = .
因此,
例16、 利用积分 地值
7、 参阅§4例15 或[1]P306 E8 ), 计算积分
.
解：
.
,
而 , .
因此,
例17、 , 求 ( 2 ) [4]P215 E62
例18、 设是区间 上连续地偶函数 . 试证明 :
是 上地奇函数 .
证法 一： .
证法 二： 注意到 , 有
==.
五、利用定积分求和式极限 : 参阅[3]P162 — 168 .
原理:
例19、 求极限 . [3] P163 E13
8、 与§1例2连系.
例20、 求极限.
解： == .
由函数在区间 [ 0 , 1 ]上可积 , 有
=.
.
例21、 求极限. [3]P167 E19
解： ==.
,
.
因此 , .
例22、 试证明: 对任何, 有不等式 < .
证： = 是函数=在区间[ 0 , 1 ]
上相应于等分分法地小和. 由函数=在区间[ 0 , 1 ]上可积, 有
时, ↗. 又易见↗↗.
对任何, 有< , 即 < .
习题： P309—310 2,3,8—11；
P249—260 20—24,41—43,48—51,54,58,63,64,65,
95,96⑶,97,98⑴,101,106,112,113.
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