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实验 (三) 项目名称：利用MATLAB分析连续系统及离散系统的复频域特性

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广东技术师范学院实验报告

实验 （三） 项目名称：利用MATLAB分析连续系统及离散系统的复频域特性
一． 实验目的
1.掌握 Laplace 变换的意义、基本性质及应用。
2.掌握拉普拉斯变换的三维可视化表示。
3.理解系统函数的零、极点分布（极、零图）决定系统时间原函数的特性。
4.掌握系统冲激响应.
5. H(z)部分分式展开的MATLAB实现
6. H（z)的零极点与系统特性的MATLAB计算

二． 实验原理
1．Laplace 变换和逆变换定义为
（ 4 – 1 )
在 Matlab 中实现 Laplace 变换有两个途径：直接调用指令 laplace 和ilaplace 进行；根据定义式 （ 4 – 1 ），利用积分指令 int 实现.相较而言，直接利用 laplace 和 ilaplace 指令实现机器变换要简洁一些。
调用格式：
L=laplace（F）
F=ilaplace（L)

2．实现拉普拉斯曲面图及其可视化的步骤如下：
a．定义两个向量x和y来确定绘制曲面图的复平面横座标和纵座标的范围。
b．调用meshgrid函数产生包含绘制曲面图的s平面区域所有等间隔取样点的复矩阵。
c．计算复矩阵s定义的各样点处信号拉氏变换F（s）的函数值,并调用abs函数求其模。
d．调用mesh函数绘出其幅度曲面图。

3．在连续系统的复频域分析中，系统函数起着十分重要的作用，它包含了连续系统的固有特性。通过系统函数可以对系统的稳定性、时域特性、系统频率响应等系统特性进行分析。
若连续系统的系统函数的零极点已知，系统函数便可确定下来，即系统函数H（s）的零极点分布完全决定了系统的特性。系统函数的零点和极点位置可以用matlab的多项式求根函数roots()来求得。用roots(）函数求得系统函数H（s）的零极点后,就可以用plot命令在复平面上绘制出系统函数的零极点图。

4．系统冲激响应h(t)的时域特性完全由系统函数H(s）的极点位置决定,H(s)的每一个极点将决定h(t）的一项时间函数。显然，H（s）的极点位置不同，h（t）的时域特性也完全不同。
用函数residue(）求出H（s）部分分式展开的系数后，便可根据其极点位置分布情况直接求出H(s)的拉普拉斯反变换h（t）.且利用绘制连续时间系统冲激响应曲线的matlab函数impulse(）,将系统冲激响应h（t）的时域波形绘制出来。

5．利用tf(）函数、pole(）函数、zero（)函数和pzmap()函数，能方便地求出系统函数的零极点，并绘出其零极点分布图。
调用格式：
sys=tf（b,a) %b为系统函数分子多项式系数构成的行向量；a为分母多项式系数构成的行向量；sys为系统函数对象。
p=pole（sys）； %输出参量p为返回包含系统函数所有极点位置的列向量。
z=zero(sys)；
pzmap（sys）;％用于绘制系统函数零极点分布图和计算系统函数的零极点位置

6．部分分式展开的MATLAB实现
[r，p,k］=residuez（num，den）
num，den分别为X（z)分子多项式和分母多项式的系数向量。
r为部分分式的系数，p为极点，k为多项式的系数.若为真分式，则k为零.

7．H（z）的零极点与系统特性的MATLAB计算
利用tf2zp函数计算H（z）的零极点，调用形式为
[z,p,k]=tf2zp（b,a)
b和a分别为H（z)分子多项式和分母多项式的系数向量.
返回值z为零点、p为极点、 k为增益常数。
H（z)零极点分布图可用zplane函数画出，调用形式为
zplane（b,a）

三． 实验内容
1． 试用MATLAB求函数的拉普拉斯变换，绘出其零极点分布图。
syms t;
F=exp（-1*t）+exp(-2＊t);
L=laplace(F）
求得L =1/（1+s)+1/(s+2）;
即L=（2s+3)/（2+s^2+3＊s）;
b=［0 2 3］；
a=[1 3 2]；
sys=tf（b，a）
p=pole（sys）
z=zero(sys)
Subplot（221）
Pzmap(sys)

2． 使用Matlab绘出下列信号拉普拉斯变换的三维曲面图.
a.
b.
a:syms t;
F=exp(-1＊t)*cos（pi/2)；
L=laplace（F)
求得L =4967757600021511/81129638414606681695789005144064/（1+s）；
x=—1：0。1：0.5; ％定义绘制曲面图的横坐标范围
y=—5：0。1：5; ％定义绘制曲面图的纵坐标范围
[x,y]=meshgrid(x，y)；
s=x+i＊y; %产生绘制曲面图范围的复矩阵
F=abs(4967757600021511./81129638414606681695789005144064./（1+s））； ％求单边指数信号的拉普拉斯变换幅度值
mesh（x,y,F)； ％绘制拉普拉斯变换幅度曲面图
surf(x，y,F）
colormap（hsv）; %绘图修饰
title(’单边指数信号拉普拉斯变换幅度曲面图’）；
％设置文本标题
xlabel（'实轴’) %设置横坐标标题
ylabel(’虚轴') %设置纵坐标标题

b: syms t;
F=2*sin(2＊t-pi/4）;
L=laplace（F）
求得：L =-1/4*2^(1/2)*s/(1/4*s^2+1）+1/2*2^(1/2)/（1/4＊s^2+1)；
x=—1:0.1:0.5; %定义绘制曲面图的横坐标范围
y=—5：0.1：5； ％定义绘制曲面图的纵坐标范围
［x，y]=meshgrid（x,y)；
s=x+i＊y； %产生绘制曲面图范围的复矩阵
F=abs（—1。/4*2。^（1。/2)＊s。/(1./4*s.^2+1)+1。/2＊2.^（1./2）./（1。/4＊s.^2+1）)；
%求单边指数信号的拉普拉斯变换幅度值
mesh（x，y，F）； ％绘制拉普拉斯变换幅度曲面图
surf（x，y，F)
colormap（hsv); ％绘图修饰
title（’单边指数信号拉普拉斯变换幅度曲面图')；
％设置文本标题
xlabel(’实轴’) ％设置横坐标标题
ylabel（'虚轴') ％设置纵坐标标题

3．已知系统函数如下，试用Matlab绘出其零极点分布图，求出冲激响应，并判断系统是否稳定。

b=[1 0 1];
a=[1 2 —3 3 3 2];
sys=tf(b，a）
p=pole(sys)
z=zero(sys)
Subplot（221）
Pzmap(sys）
Subplot（222）
Impulse(b,a）

该系统不稳定
4．利用Matlab的residuez函数求下式的部分分式展开及对应的h［k］。

Ø num = ［2 16 44 56 32];
den = [3 3 —15 18 -12］;
［r，p,k］ = residuez(num,den）
figure(1)；stem（h)
xlabel（’k’)
title('Impulse Respone’）
［H，w]=freqz（num,den）;
求得:
r =

-0.0177
9。4914
—3。0702 + 2.3398i
-3.0702 — 2.3398i

p =

—3。2361
1。2361
0.5000 + 0。8660i
0。5000 — 0。8660i

k =

—2。6667

5．试画出系统的零极点分布图,求其单位冲激响应h[k]和频率响应H（ejΩ） .
b =[2 16 44 56 32］；a =［3 3 -15 18 —12];
figure(1);zplane(b,a);
num=[2 16 44 56 32]；
den=［3 3 —15 18 —12];
h=impz(num，den);
figure(2）；stem(h)
xlabel(’k'）
title（’Impulse Respone')
[H，w］=freqz（num，den）;
figure（3);plot(w/pi，abs(H)）
xlabel（'Frequency \omega’)
title('Magnitude Respone’)

四．实验总结