第二章随机变量极其分布.doc

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第二章、随机变量极其分布

一、选择题：

1．设X的概率密度与分布函数分别为与，则下列选项正确是 ( B )
A． B．
C． D．
2．设随机变量X的密度函数为,则使P（X 〉 a）= P（X < a）成立，a为 （ A ）
A． B．
C． D．
3．如果随机变量X的概率密度为，则X的可能的取值区间为 ( A ）
A． B．
C． D．
4．设随机变量X的概率分布为 k=1,2，…， b>0， 则λ为 （C ）
A．任意正数 B．λ = b + 1
C． D．
5．设 是X的概率函数，则λ,c一定满足（ B ）
A．λ 〉 0 B．c 〉 0
C．cλ > 0 D．c 〉 0 且λ > 0
6．若y = 是连续随机变量X的概率密度，则有 （ C ）
A．f （x）的定义域为[0，1] B．f （x）的值域为［0，1]
C．f (x)非负 D．f （x）在上连续
7．设分别是随机变量与的分布函数,为使是某有随机变量X的分布函数，则应有 （ B ）
A．a = 3/5 ， b = 2/5 B．a = 3/5 , b = -2/5
C．a = 1/2， c = 1/2 D．a = 1/3， b = —1/3
8．设随机变量X服从正态分布X~N（0，1） Y=2X—1，则Y~ （ B )
A．N(0，1) B．N(-1,4）
C．N(—1，1） D．N（—1，3）
9．已知随机变量X服从正态分布N（2,22)且Y=aX+b服从标准正态分布，则 （ C ）
A．a = 2 , b = -2 B．a = —2 , b = -1
C．a = 1/2 , b = -1 D．a = 1/2 ， b = 1
10．若X~N(1，1）密度函数与分布函数分别为与 ，则 ( B )
A． B．
C． D．
11．设，则随的增大，概率 （ C ）
A．单调增加 B．单调减少
C．保持不变 D．增减不定
12．如果,而 ,则P（X1.5）= （ D ）
A． B．
C． D．
13．设随机变量，且，则c= （B ）
A．0 B．
C． D．/
14．设随机变量X的概率密度为是X的分布函数，则对任意实数有 （ B ）
A． B．
C． D．
15．设随机变量X的分布函数为，则的分布函数为 （ D ）
A． B．
C． D．
16．设随机变量X的分布函数为为 （D ）
A． B．0
C． D．
17．设分别是随机变量、的分布函数，若为某一随机变量的分布函数，则 ( A )
A．= 0.5，b = 0。5 B．= 0.3,b = 0.6
C．= 1。5,b = 0.5 D．= 0.5，b = 1.5
18．设 ,且EX=3， P=1/7，则 = （ C ）
A．7 B．14
C．21 D．49
19．如果是连续随机变量的分布函数,则下列各项不成立的是 ( D )
A．在整个实轴上连续 B．在整个实轴上有界
C．是非负函数 D．严格单调增加
20．若随机变量X的 概率密度为 则c 为 （ B ）
A．任意实数 B．正数
C．1 D．任何非零实数

21．若两个随机变量X与Y相互独立同分布，且P｛X = —1｝ = P｛Y = -1｝=P{X = 1}= P｛Y = -1}=1/2，则下列各式成立的是 （ A )
A．P{X = Y｝ = 1/2 B．P｛X = Y} = 1
C．P{X + Y = 0} = 1/4 D．P{X Y = 1} = 1/4
22．设X，Y是两个相互独立的随机变量，分布函数分别为与，则Z = max (X，Y）的分布函数为 (C ）
A． B．
C． D．
23．设X，Y是两个相互独立的随机变量，分布函数分别为与,则Z = min （X，Y）的分布函数为 （ D ）
A． B．
C． D．

24．设X，Y是两个随机变量，且，，则= （ B ）
A． B．
C． D．
25．若随机变量（X,Y）的概率密度为 ，则X与Y的随机变量 ( C ）
A．独立同分布 B．独立不同分布
C．不独立同分布 D．不独立也不同分布
26．若随机变量（X,Y）的概率密度为 ,则X与Y的随机变量 （ A ）
A．独立同分布 B．独立不同分布
C．不独立同分布 D．不独立也不同分布
27．若随机变量（X，Y）的概率密度为 ，则X与Y的随机变量 （ B ）
A．独立同分布 B．独立不同分布
C．不独立同分布 D．不独立也不同分布
28．若X与Y独立且都在[0，1]上服从均匀分布,则服从均匀分别的随机变量是
A．（X ，Y） B．X + Y
C．X2 D．X - Y
70．若X与Y独立同分布，U = X + Y,V = X – Y，则U与V必有 （ A ）
A．相互独立 B．不相互独立
C．相关系数为0 D．相关系数不为0
29．设随机变量（X，Y）的可能取值为（0，0）、（-1,1）、（—1,2)与(1，0相应的概率分别为，，，，则c的值为 （ B ）
A．2 B．3
C．4 D．5
30．若X与Y独立，且，，,,则以下正确的是 （ A ）
A． B．
C．P{X = Y｝=0 D．均不正确

二、填空题:

1。 已知， 其中〉 0， 则C = 。
2. 如果随机变量X的可能取值充满区间 ,则可以成为X的概率密度.
3。如果随机变量X的概率密度为 ，
则 。
4。 如果随机变量X的概率密度为，则X的分布函数为 .
5. 如果随机变量X的概率分布为,则为 。
6. 若随机变量X的分布函数为,则A = 。
B = 。
7。 若随机变量X的概率密度为 ,则C = 。
8. 若 ，其中，则 .
9。 若随机变量X的分布函数为 ,则A = .
10。 若随机变量X的分布函数为 ，则X的概率密度为 .
11。 若随机变量X的概率密度为 ,则X的分布函数为 .
12。 若随机变量X的概率密度为 ，则事件= 。
13。 若随机变量X的概率密度为 ,则C = .
14。 若随机变量X在[0，1］上服从均匀分布，Y = 2X +1 的概率密度为 。
15. 若随机变量X的概率密度为 ，则系数A = .
16。 若随机变量X的概率密度为，则事件= 。
17. 若随机变量X的概率密度为，则X的分布函数为 。
18. 设随机变量X ～ B（4，0.1）, Y = X2 , 则P｛Y>1｝ = .
19. 设随机变量X ～ B（2,P）, Y ~ B (3， P ) ，且，则= 。
20。 若随机变量在(1,6）上服从均匀分布，则方程有实根的概率是 .
21. 设随机变量X与Y相互独立且同分布，P｛X = —1} = P｛Y = -1｝= P｛X = 1}= P｛Y = 1｝ = 1/2，则P｛X = Y｝ = 。
22. 设随机变量X与Y相互独立且同分布，P｛X = -1} = P｛Y = —1}= P{X = 1}= P｛Y = 1} = 1/2，则P{X +Y = 0｝ = .
23. 设随机变量X与Y相互独立且同分布，P｛X = -1} = P｛Y = -1｝= P｛X = 1｝= P{Y = 1｝ = 1/2，则P｛X 〉 Y｝ = .
24。 设随机变量X与Y相互独立且同分布，P{X = —1} = P{Y = —1｝= P｛X = 1}= P{Y = 1｝ = 1/2，则P｛X Y ｝ = .
25。 设随机变量X与Y相互独立且,则= 。
26. 若随机变量（X，Y)的联合概率密度为 ，则随机变量X的边缘分布密度为= 。
27。 若随机变量(X，Y）的联合概率密度为 ,则随机变量Y的边缘分布密度为= 。
28。 若随机变量X与Y独立，其概率密度分别为
,则(X、Y）的联合概率密度为 = 。
29。 若随机变量(X，Y)的联合概率密度为 ,则C = .
30。 若随机变量（X，Y)的联合概率密度为 ，则C = .
31. 若随机变量（X，Y）的联合概率密度为 ，则X的边缘概率密度为= 。
32. 若随机变量（X，Y）的联合概率密度为 ,则Y的边缘概率密度为= 。
33. 若随机变量(X,Y）的联合概率密度为 ，则= 。
34。 若随机变量（X，Y）的联合分布函数为,则系数A、B、C分别为 = 。
35。 若随机变量(X,Y）的联合分布函数为，则随机变量X的边缘分布函数为= 。
36。 若随机变量(X,Y）的联合分布函数为,则随机变量Y的边缘分布函数为= 。
37。 若随机变量（X，Y)的联合分布函数为,则随机变量（X，Y）的联合概率密度为= 。
38. 若随机变量（X，Y）在以（0,1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形区域D上服从均匀分布,则随机变量（X,Y)的联合概率密度为= 。

三、判断题：

1。 若是随机变量X的概率密度，则有.
2. 若是随机变量X的概率密度，则.
3。 若是随机变量X的概率密度，则。
4. 若是随机变量X的概率密度，则。
5。 若是连续变量X的概率密度，则连续。
6。 若是连续变量X的分布函数，则。
7。 若是连续变量X的分布函数，则。
8. 若是连续变量X的分布函数，则。
9。 若是连续变量X的分布函数，则。
0。 若是连续变量X的分布函数，则是单调不减函数。
11。 若X是连续型随机变量，则对任意实数有。
12。 若对存在实数，使，则X是连续型随机变量。
13. 若随机变量X的概率函数为 ，则。
14。 若随机变量X的概率函数为 ,则。
15. 若X是离散随机变量，则X的分布函数处处不连续。
16. 若X是连续随机变量，则X的分布函数是连续的。
17。 若是可连续随机变量的密度函数，则一定有界。
18. 若是可连续随机变量的分布函数，则一定有界。
19. 若与分别是随机变量X的概率密度与分布函数，则。
20. 若与分别是随机变量X的概率密度与分布函数，则。
21。 若是（X,Y）的联合分布函数，与分别是X与Y的边缘分布函数，则.
22. 若是（X，Y）的联合分布函数，与分别是X与Y的边缘分布函数，且，则X与Y独立.
23. 若（X，Y)的联合概率函数与边缘概率函数之间存在关系式， ,则X与Y独立.
24. 若随机变量X与Y独立,则， 。
25. 若是二维连续随机变量（X，Y）的分布函数，则是连续的.
26. 若是二维连续随机变量（X，Y）的密度函数，则一定连续。
27. 若是二维连续随机变量（X，Y)的分布函数,则是非负有界函数.
28。 若是二维连续随机变量（X,Y）的密度函数，则是非负有界函数。
29. 若（X,Y）是二维均匀分布，则边缘分布X也是均匀分布。
30。 若（X，Y）是二维正态分布,则X的边缘分布也是正态分布.
31. 若X与Y独立，且X与Y均服从均匀分布，则X+Y也服从均匀分布。
32. 若X与Y独立，且X与Y均服从正态分布，则X+Y也服从正态分布。
33。 若X与Y独立，且X与Y均服从二项分布，则X+Y也服从二项分布。
34。 若X与Y独立，且X与Y均服从泊凇分布,则X+Y也服从泊凇分布.
35。 若和分别是X与Y的分布函数，则可以作为某个随机变量的分布函数.
36。 若和分别是X与Y的密度函数，则可以作为某个随机变量的密度函数.
37。 若和分别是X与Y的分布函数，则可以作为某个随机变量的分布函数.
38. 若和分别是X与Y的密度函数，则可以作为某个随机变量的密度函数。
39。 若和分别是X与Y的分布函数，且X与Y独立，则是X+Y的分布函数。
40. 若和分别是X与Y的密度函数且X与Y独立，则的密度函数.

四、计算题：

1．设连续随机变量X的概率密度为，,求:（1）常数A的值；（2）X落在区间[0,1］内的概率；（3）随机变量X的分布函数。
2．若随机变量X在区间[0,2]上服从均匀分布，求：（1)X的概率密度；（2）X的分布函数.
3．设随机变量X的概率密度为 ，
求：（1)系数A；（2）X落在区间内的概率；(3)X的分布函数.
4．设随机变量X的概率密度为，,求:（1)系数A；（2）X落在区间(0,1）内的概率；（3）X的分布函数。
5．设随机变量X在上服从均匀分布，即概率密度为，
求：（1）随机变函数的概率密度；（2）X的分布函数.
6．设随机变量X的概率密度为 ，
求：（1）X的分布函数.（2)的概率密度.
7．设连续随机变量X的分布函数，
求：（1)系数A及B；（2）X落在区间（—1,1）内的概率；(3）X的概率密度。
8．设随机变量X的分布函数为
求：（1)系数A及B;（2）X落在区间（0，1）内的概率；(3）X的概率密度。
9．设随机变量X的分布函数为
求：（1）系数A的值。(2）X的概率密度函数。
10．设X在区间［2,6］上服从均匀分布，现对X进行3次独立观测，,用Y表示观测值大于3的次数，求：(1）Y的概率密度分布；（2）。
11．袋中有2个白球与3个黑球，每次从其中任取1个球后不放回，直到取得白球为止，求：（1）取球次数X的概率分布；（2)X的分布函数。
12．一射手对靶射击，直到第一次命中为止,每次命中率为0.6，现有4颗子弹，求命中后尚余子弹数X的概率分布及分布函数。
13．从五个数1，2，3,4，5中任取3个数,求：（1）的概率分布；(2）。
14．直线上一质点从原点开始作随机游动，每单位时间可以向左或向右移动一步，向左的概率为p,向右的概率为q=1—p，每步保持定长L，求：(1）三步后质点位置X的概率分布；（2)。
15．对某一目标进行射击，直到击中为止，如果每次射击命中率为p，求：（1)射击次数X的概率分布;(2）X的分布函数。
16．设随机变量,即X的概率函数为

求：（1）为何值时，最大;(2）最大值是多少。
17．设随机变量，即X的概率函数为

求：（1）为何值时，最大；（2）最大值是多少。
18．设随机变量X的概率分布为
X
—2
-1
0
1
2
3

0.1
0.2
0。25
0.2
0.15
0.1

求:（1）X的分布函数；（2）的概率分布。
19．设随机变量X的概率函数为 ，
求：的概率分布。
20．若随机变量X ~ B(3，0。4），即X的概率分布为
求：(1）X的分布函数；（2)的概率分布。
21．已知10件产品中有3件一等品，5件二等品，2件三等品，从这批产品中任取4件产品，用X及Y分别表示取出的4件产品中一等品及二等品的件数，求：(1)（X，Y）的联合概率分布；(2）X与Y的边缘分布。
22．一批产品中共有100件产品,其中5件是次品，现进行不放回抽样，抽取2件产品,用X与Y分别表示第一次与第二次取得的次品数，求：（1)(X，Y）的联合概率分布。（2)X与Y的边缘分布。
23．把3个球随机地投入三个盒子中去，每个球投入各个盒子的可能性是相同的，用X与Y分别表示投入第一个及第二个盒子中的球的个数,求：（1）（X，Y）的联合概率分布;（2）X与Y的边缘分布。
24．一整数X随机地在1、2、3中取一值，另一整数随机地在1到X中取一值，求：（1）（X，Y）的联合概率分布；（2）X与Y的边缘分布。
25．一枚均匀硬币连掷两次，用X与Y分别表示第一次及第二次出现正面的次数，求：（1）（X，Y）的联合概率分布；（2)Z = X+Y的概率分布。
26．设二维随机变量（X,Y）在矩形域上服从均匀分布，求：（1）(X,Y)的联合概率分布；（2）X与Y的边缘分布。
27．设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为 ，
求：（1）X与Y的边缘概率密度；（2）X与Y是否独立.
28．设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为

求:（1)系数A、B及C；（2）（X，Y）的联合概率密度。
29．设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度为 ,
求:（1）系数A；（2)（X，Y)的联合分布函数。
30．设随机变量X与Y独立,X ～ U（0,2）,Y~e (2)，即
, ，
求：（1）（X，Y）的联合概率密度；（2）P｛X≤Y}
31．设随机变量（X,Y)的联合概率分布为
求：(1）X与Y的边缘分布;（2）的概率密度。
32．设随机变量（X、Y）的联合概率分布为
Y
X
-1
1
2
—1

2

求：（1）X与Y的边缘分布;（2）Z = X+Y的概率分布。
33．设随机变量X与Y相互独立，且X与Y的概率分布为

X
—3
—2
—1

Y
1
2
3

求：（1)（X,Y)的联合概率分布；（2）Z = X+Y的概率分布。
34．设随机变量X与Y独立,且都服从二项分布:

求：Z = X+Y的概率分布.
35．设随机变量X与Y相互独立,且都在[0，1]上服从均匀分布，
求:（1)（X，Y）的联合概率密度;（2）Z = X+Y的概率分布。
36．已知随机变量（X,Y）的联合概率密度为
,
求：（1）联合分布函数;2)X与Y的边缘概率密度。
37．设U与V独立同分布,且
又设,
求：(X，Y)的联合概率分布.
38．已知
令
求：(X、Y)的联合概率分布。
39．已知随机变量X与Y的概率分布为
X
-1
0
1

Y
0
1

且P｛XY = 0}=1,求:(1）(X，Y）的联合概率分布。（2）X与Y是否独立.
40．设随机变量U在[—2,2 ]上服从均匀分布,令
，
求：（X,Y）的联合概率分布。