深入挖掘教材内涵让平淡的教学多点多点色彩.doc

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深入挖掘教材内涵 让平淡的教学更有色彩
—-对“双曲线定义及标准方程"教学设计细节的思考
1 问题的提出
很多教师关于“双曲线定义及标准方程”一课的教学设计，几乎都是一个模式．比如定义导入，直接将椭圆的第一定义：“到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹”中的“和”改为“差”，便得到双曲线的定义;对于标准方程的推导 ,认为和椭圆的基本相同，所以就轻描淡写，一笔带过了．这样的教学设计很平淡，没给学生留下深刻的印象，没有真正让学生体会到“圆锥曲线是来自生活的”．最终导致教学效果不好，让学生怕解析几何．
但笔者认为，双曲线的定义引入有多种方式，完全可以让平淡的教学更有色彩的;深入挖掘教材,双曲线标准方程的推导也大有文章可做．笔者认为各位同行在设计这节课时，可以思考以下几个问题:
(1)在定义引入教学中，怎样体现“圆锥曲线是来自生活的”？
（2）通过双曲线定义的教学，怎样提高学生对双曲线以及解析几何后续知识学习的兴趣?
（3）椭圆的标准方程已作推导，是不是双曲线标准方程就可以重视了，甚至可以不推导了？
（4）如果觉得课本推导过程有重复累赘之嫌，那么有没有其他好的推导角度？
（5）推导的意义仅仅是为了得到一个标准方程吗？
围绕以上几个问题,笔者觉得可以从以下几个角度作进一步思考和挖掘．
2 挖掘的角度
2．1 定义的导入
2．1．1 军事史实
据资料记载，在抗美援朝早期，我志愿军某炮兵团冒着生命危险，侦查出美军阵地，我方当机立断，火速炮击．可不久美军就将炮弹比较准确地打到我军阵地，美军为何这样准确呢？
A

D
B

C

图1

原来他们在阵地旁建有如图1所示的A、B、C三个固定的观测站，根据听到我方阵地位置D处打炮声的时间差及声速就能确定我方位置，而不需要冒任何生命危险．大家想知道其中的原因吗？那么请努力学习今天的知识吧!
由一个简短的历史事实引入，一定能很快吸引,让学生有兴趣学习和理解双曲线定义,同时渗透了爱国主义教育,还能让学生感受到数学中的文化味！心理学研究表明：情感是人的意识和潜意识行为最深层的动力因素,它能使人的注意、感知、思维都倾向于某一研究对象，促使其潜能得到最佳发挥．
2．1．2 图片展示
有一种曲线它的运用非常广泛（暂不点明是何曲线），请大家看两张图片，图2是工业生产中，很多冷却塔都做成这种曲线型的，它是物理流体学与数学的完美结合；图3是法国标志性的建筑——埃菲尔铁塔，她优美的线条，简洁而又壮观的气势征服了全世界．那么究竟是什么曲线？学习了今天的数学课你就知道了．
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图3
图2

这样的引入能极大的勾起学生的好奇心,也能激发学生的学习热情,让学生感觉到数学就在我们身边．同时这样的引入，可以体现“圆锥曲线是来自生活的”，还能让学生感受到数学与生活的生动地互动效果．
2．1．3 折纸实验
课前准备印有圆的白纸，每位学生发一张．教师可以用这种方式引入:大家经常做物理实验、化学实验、生物实验，可是你们做过数学实验吗？那么，我们今天一起来做一个数学实验，请拿出刚发下来的印有圆的白纸，按如下步骤操作:第一步：在圆外取一定点;第二步：在圆上任取一点；第三步：将白纸对折，使和重合，并留下一条折痕；第四步:连接和，并延长交折痕于点;第五步：再在圆周上任取其他点，将上述步骤2～4重复4～6次，便可以得到一系列点，最后将这些点连起来，得到一个很美的图形，大家想看到是什么图形吗？赶紧动手做吧! 等学生做作出图后，教师引导学生研究得到图形是的点的属性，这样便得出了双曲线的定义．
荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔反复强调，学习数学的唯一正确方法是实行“再创造”,然而，数学教材中“定义——定理——推论"的逻辑叙述方式,掩盖了数学创造的思维过程．而采用这样折纸实验活动引导学生探究双曲线定义及内涵，充分体现了新课标的精神：以学生为主体，吸引学生动手实践、自主探索．学生以积极主动、用于探索的学习方式体验了双曲线的形成过程，使学生对所学内容理解更深刻记忆更牢固．而且思维情景的合理创设,激发了学生的学习兴趣，让学生在创造中学习，在发现中获取,在成功中升华！
2．2 方程的推导
2．2．1 课本的推导
解法1:由得:
移项后平方得：，
整理得:
两边再平方得：
整理得：
由双曲线的定义,所以，令，其中
代入上式得：,两边同除以得：
2．2．2 另一种推导方法
虽然双曲线标准方程的推导与椭圆标准方程的推导过程基本相同,但毕竟还是有区别的．如果简化推导，可能就会错过区别之处的讲解．而如果再详细讲一遍,教师和学生都可能嫌累赘．那么在讲解了解法1的思路之后，换一种同样好的推导方法,便可以“一举两得"了．
解法2: ①
将这个方程分子有理化得:
整理得： ②
由①+②除以2得： ③
两边平方得：
化简得： ④
由双曲线的定义,所以，令,其中
代入④式得：，两边同除以得：
2．2．3 关注推导过程的内在意义
《教师教学用书》在椭圆的标准方程一节中提到“带根式的方程的化简是学生感到困难的,特别是由点适合的条件所列出的方程为两个根式的和等于一个非零常数，化简时要进行两次平方，方程中字母超过三个，且次数高、项数多，初中代数中没有这样的题目,教学时要注意说明这类问题的方法”．可见，此处的推导不仅仅是为了得到一个标准方程的结论，同时要注意掌握“这类问题的化简方法"，所以，在解法1的基础上，提出更加简洁明了的解法2，就有相辅相成、锦上添花的作用了．所以，两个解法的区别在于消去方程中第一个根号的方式不同，一个平方,一个共轭相加（相减也可以）．两者结合便是解决“这类方程化简的方法”的一般思路了．
2．2．4 推导过程的几个细节把握
在推导方程过程中还可以有这么几个细节可以注意，比如与椭圆推导不同的是双曲线里体现了,一方面要小心，另一方面要让学生理解的几何含义，以便再次熟悉双曲线的定义．还有在推导中我们设，这是与椭圆不同的，这样学生对双曲线中三个参数的关系就不会和椭圆混淆了．又比如我们将2．1．2中的③式稍加变形,得到
⑤ ，其几何意义为点到4与到定直线距离之比为常数的点的轨迹，正是后面要介绍的双曲线第二定义!
2．2．5 对推导过程的对比探究
从推导的方程我们发现，椭圆推导的是，双曲线推导的是，我们可以很自然的引导学生探究这些问题．
探究1：，即到两定点距离之积为常数的点的轨迹是什么？
探究2：,即到两定点的距离之积为常数的点的轨迹是什么？
探究3：，即到两定点的距离平方之和为常数的点的轨迹是什么？
探究4：，即到两定点的距离平方之差的绝对值为常数的点的轨迹是什么？
探究1的结论比较复杂，留待进一步研究，探究2的轨迹可以知道是圆，探究3的轨迹也是圆，探究4的轨迹则是两条直线产生的曲线系，到学完圆锥曲线再作研究，为什么这里没有探究出抛物线呢?原来只要对⑤式作类比研究便可得，而且还可以得到圆锥曲线的统一定义，这样我们又从方程推导的角度给学生一种理解圆锥曲线内在联系的方法，何等的难得啊!

3 后续的思考
新课改以来，笔者一直在思考，我们究竟需要怎样的数学课堂教学，又期望学生通过课堂教学获得怎样的发展？维系这两者的是教师如何寻找适合学生的教学设计使学生获得最优的发展，而要寻找一个好的教学设计，教师并不一定要去采集多么精彩的素材，一个简单而恰到好处的例子便能使得课堂更出彩,更起到画龙点睛的效果．最重要的，是需要我们立足课本，深入挖掘，也可以找到很多好的思维素材．
确实，适合学生的教学设计必须遵循一定的数学教育理论，这需要教师有一定的创造性,这种创造性体现在教师进行教学设计的前期工作上，而教材分析与再创造是重要的一环，曹才翰学生说过，即使有一套好教材,如何“教与学”仍是一个大问题．希望笔者的这几点反思和体会能对同行有有一点帮助，希望在今后的教学设计中，能有更多的惊喜,以实现我们追求数学课堂教学的完美境界！