1718第8章第3节课时分层训练47.doc

课时分层训练(四十七)　圆的方程
A组　基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1　　　 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D　[圆的半径r＝＝，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.]
2．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为(　　)
A．2　　　 B.
C．1　　　 D.
D　[圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝2，则圆心坐标为(1，－2)．
故圆心到直线x－y－1＝0的距离d＝＝.]
3．(2017·山西运城二模)已知圆(x－2)2＋(y＋1)2＝16的一条直径通过直线x－2y＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为(　　)
A．3x＋y－5＝0 B．x－2y＝0
C．x－2y＋4＝0 D．2x＋y－3＝0
D　[易知圆心坐标为(2，－1)．
由于直线x－2y＋3＝0的斜率为，
∴该直径所在直线的斜率k＝－2.
故所求直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.]
4．若圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程是(　　)
A．(x－)2＋y2＝5 B．(x＋)2＋y2＝5
C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5
D　[设圆心为(a,0)(a＜0)，
则r＝＝，解得a＝－5，
所以圆O的方程为(x＋5)2＋y2＝5.]
5．(2017·重庆四校模拟)设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为(　　)
A．6　　　　 B．4
C．3　　　　 D．2
B　[如图所示，圆心M(3，－1)与直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.]
二、填空题
6．(2016·浙江高考)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
(－2，－4)　5　[由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，配方得2＋(y＋1)2＝－<0，不表示圆；
当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.]
7．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．
【导学号：31222294】
x＋y－1＝0　[圆Cx2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2,1)，
则kCM＝＝1.
∵过点M的最短弦与CM垂直，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0.]
8．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________.
【导学号：31222295】
(x－1)2＋y2＝2　[因为直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，所以圆心(1,0)到直线mx－y－2m－1＝0的最大距离为d＝＝，所以半径最大时的半径r＝，所以半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.]
三、解答题
9．已知直线l：y＝x＋m，m∈R，若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程．
【导学号：31222296】
[解]　法一：依题意，点P的坐标为(0，m)，2分
因为MP⊥l，所以×1＝－1，5分
解得m＝2，即点P的坐标为(0,2)，8分
圆的半径r＝|MP|＝＝2，
故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.12分
法二：设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x－2)2＋y2＝r2，2分
依题意，所求圆与直线l：x－y＋m＝0相切于点P(0，m)，
则6分
解得10分
所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.12分
10．2015·广东高考改编)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．
[解]　(1)由x2＋y2－6x＋5＝0得(x－3)2＋y2＝4，2分
所以圆C1的圆心坐标为(3,0).5分
(2)设M(x，y)，依题意·＝0，
所以(x－3，y)·(x，y)＝0，则x2－3x＋y2＝0，
所以2＋y2＝.7分
又原点O(0,0)在圆C1外，
因此中点M的轨迹是圆C与圆C1相交落在圆C1内的一段圆弧．
由消去y2得x＝，
因此＜x≤3.10分
所以线段AB的中点M的轨迹方程为2＋y2＝.12分
B组　能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2017·佛山模拟)设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为(　　)
A．6 B．25
C．26 D．36
D　[(x－5)2＋(y＋4)2表示点P(x，y)到点(5，－4)的距离的平方．点(5，－4)到圆心(2,0)的距离d＝＝5.
则点P(x，y)到点(5，－4)的距离最大值为6，从而(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为36.]
2．(2017·济南调研)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程是___．
(x－2)2＋(y－1)2＝4　[设圆C的圆心为(a，b)(b＞0)，
由题意得a＝2b＞0，且a2＝()2＋b2，
解得a＝2，b＝1，
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.]
3．已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)关于直线x＋y＋2＝0对称．
【导学号：31222297】
(1)求圆C的方程；
(2)设Q为圆C上的一个动点，求·的最小值．
[解]　(1)设圆心C(a，b)，
由已知得M(－2，－2)，
则解得2分
则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2，
故圆C的方程为x2＋y2＝2.5分
(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，
·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)
＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2.8分
令x＝cos θ，y＝sin θ，
所以·＝x＋y－2
＝(sin θ＋cos θ)－2
＝2sin－2，
所以·的最小值为－4.12分