《计数原理》单元测试题.doc

(完整版)计数原理单元测试题计数原理单元测试题一、选择题15位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法共有（ ）A10种 B20种 C25种 D32种2甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ ）A36种 B48种 C96种 D192种3. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）A1440种 B960种 C720种D480种4。 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（)A个 B个 C个D个5（xy)10的展开式中x6y4项的系数是（ ）A. 840 B. 840 C. 210 D.2106。 由数字0，1，2,3，4，5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有( ）A。72 B.60 C。48 D.527.用0，1，2,3,4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第（ ）个数。 A。6 B。9 C。10 D。8 8.AB和CD为平面内两条相交直线，AB上有m个点，CD上有n个点，且两直线上各有一个与交点重合，则以这m+n-1个点为顶点的三角形的个数是（ )A。 B。 C.D. 9。设，则的值为（ )A。0 B.1 C。1 D.10某城市的街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有( ） （第10题)A.8种 B.10种 C。12种 D。32种11从6个正方形拼成的12个顶点(如图)中任取3个顶点作为一组,其中可以构成三角形的组数为 （ ）A208 B204 C200 D19612。 从不同号码的五双靴中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为 （ ）（第11题）A。120 B。240 C.360 D。72二、 填空题13. 今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法（用数字作答)。14. 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数,则其中数字1，2相邻的偶数有个(用数字作答）15. 若(2x3+)n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n= 。16. 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_种.（用数字作答）三、解答题17从4名男生,3名女生中选出三名代表(1）不同的选法共有多少种？（2)至少有一名女生的不同的选法共有多少种？（3)代表中男、女生都要有的不同的选法共有多少种？ 18平面内有12个点,其中有4点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点可得到多少个不同的三角形？19六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ (l）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；(3）甲、乙不相邻;(4)甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端;（6）甲不站左端，乙不站右端20把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列。（1） 43251是这个数列的第几项?（2） 这个数列的第96项是多少?（3） 求所有五位数的各位上的数字之和（4） 求这个数列的各项和.21.在的展开式中,如果第4r项和第r+2项的二项式系数相等。(1）求r的值；（2）写出展开式中的第4r项和第r+2项。22.求证:能被25整除。第一章 计数原理单元测试题参考答一、选择题:(每题5分，共60分）1、D 2、C解析甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有种，选C3、B 解析:5名志愿者先排成一排，有种方法,2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有=960种不同的排法，选B4、A解析:某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有个,选A5、A 6、B 解析：只考虑奇偶相间,则有种不同的排法，其中0在首位的有种不符合题意,所以共有种.7、C解析： 比12340小的分三类：第一类是千位比2小为0,有个; 第二类是千位为2 ,百位比3小为0,有个; 第三类是十位比4小为0，有1个.共有6+2+1=9个,所以12340是第10个数.8、D解析:在一条线上取2个点时,另一个点一定在另一条直线上,且不能是交点.9、C 10、B 11、C12、A 解析:先取出一双有种取法,再从剩下的4双鞋中取出2双，而后从每双中各取一只，有种不同的取法,共有种不同的取法。二、 填空题（每小题4分,共16分)13、1260解析：由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题,共有14、24解析：可以分情况讨论： 若末位数字为0，则1,2,为一组，且可以交换位置,3，4,各为1个数字,共可以组成个五位数； 若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排列,且0不是首位数字,则有个五位数； 若末位数字为4,则1，2,为一组，且可以交换位置,3，0，各为1个数字,且0不是首位数字，则有=8个五位数，所以全部合理的五位数共有24个15、7 解析:若（2x3+)n的展开式中含有常数项，为常数项,即=0，当n=7,r=6时成立,最小的正整数n等于7.16、36种 解析从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员,先从其余3人中选出1人担任文娱委员,再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，不同的选法共有种三、解答题17。解：（1）即从7名学生中选出三名代表,共有选法 种; （2）至少有一名女生的不同选法共有 种; （3)男、女生都要有的不同的选法共有 种.18。解:把从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准。 第一类：共线的4点中有两点为三角形的顶点，共有:（个）； 第二类：共线的4点中有一点为三角形的顶点，共有（个）； 第三类：共线的4点中没有点作为三角形的顶点，共有：（个）。 由分类计数原理知，共有三角形:(个)。 答：可得到216个不同的三角形。19。解析：（l)方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间 4 个位置上任选 1 个，有种站法,然后其余 5 人在另外 5 个位置上作全排列有种站法，根据分步乘法计数原理共有站法480 （种）方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余 5 个人中选 2 个人站，有种站法,然后中间 4 人有种站法,根据分步乘法计数原理，共有站法480 （种）方法三：若对甲没有限制条件共有种站法，甲在两端共有种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有480（种）(2）方法一：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有种站法，再把甲、乙进行全排列，有种站法，根据分步乘法计数原理，共有240 （种）站法方法二:先把甲、乙以外的 4 个人作全排列，有种站法，再在 5 个空档中选出一个供甲、乙放入，有种方法，最后让甲、乙全排列，有种方法，共有240 (种） （3)因为甲、乙不相邻，中间有隔档,可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的 4 个人站队,有种；第二步再将甲、乙排在 4 人形成的 5 个空档(含两端）中，有种，故共有站法为= 480 （种）.也可用“间接法，6 个人全排列有种站法，由（2）知甲、乙相邻有240 种站法，所以不相邻的站法有720240480(种）(4)方法一:先将甲、乙以外的 4 个人作全排列，有种，然后将甲、乙按条件插入站队，有种，故共有种站法方法二：先从甲、乙以外的 4 个人中任选 2 人排在甲、乙之间的两个位置上,有种,然后把甲、乙及中间 2 人看作一个“大”元素与余下 2 人作全排列有种方法，最后对甲、乙进行排列，有种方法，故共有144 种站法（5）方法一：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有种，再让其他 4 人在中间位置作全排列，有种,根据分步乘法计数原理，共有种站法方法二：首先考虑两个特殊位置，甲、乙去站有种站法，然后考虑中间 4 个位置，由剩下的 4 人去站，有种站法，由分步乘法计数原理共有种站法（6）方法一:甲在左端的站法有种,乙在右端的站法有种，且甲在左端而乙在右端的站法有种，共有种站法方法二：以元素甲分类可分为两类： 甲站右端有种， 甲在中间 4 个位置之一,而乙不在右端有种，故共有=504 种站法20。解:先考虑大于43251的数，分为以下三类 第一类：以5打头的有: =24 第二类：以45打头的有： =6 第三类：以435打头的有: =2故不大于43251的五位数有：（个)即43251是第88项。数列共有A=120项，96项以后还有120-96=24项，即比96项所表示的五位数大的五位数有24个,所以小于以5打头的五位数中最大的一个就是该数列的第96项。即为45321.（3）因为1，2,3，4,5各在万位上时都有个五位数，所以万位上各个数字的和为:（1+2+3+4+5）同理它们在千位、百位、十位、个位上也都有个五位数，所有五位数的各位上的数字之和5（1+2+3+4+5）=1800(4）因为1，2，3，4,5各在万位上时都有个五位数，所以万位上数字的和为：（1+2+3+4+5）10000同理它们在千位、百位、十位、个位上也都有个五位数,所以这个数列各项和为：（1+2+3+4+5）（1+10+100+1000+10000)21。解：（1）展开式第4r项的二项式系数为，第r+2项的二项式系数为,根据二项式系数的性质，当且仅当或时它们的二项式系数相等，解得（舍），。(2）当r=4时第4r项是；第r+2项是。22。证明：因 为显然能被25整除,25n能被25整除， 所以能被25整除8