空间向量的坐标运算.ppt

.1空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算 设设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).2空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式设设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则，则AB ，|AB|(x2x1，y2y1，z2z1).3.若若A、B两点的坐标分别是两点的坐标分别是A(2cos，2sin，1)，B(3cos，3sin，1)，则，则|的取值范围是的取值范围是 ()A.0,5 B.1,5 C.(1,5)D.1,25解析：解析：(3cos2cos，3sin2sin，0)，1cos()1，|1,5.答案：答案：B.A平面的法向量：平面的法向量：如果表示向量如果表示向量 的有向线段所在的有向线段所在直线垂直于平面直线垂直于平面 ，则称这个向量，则称这个向量垂直于垂直于平面平面 ,记作记作 ，如果，如果 ，那，那 么么 向向 量量 叫做叫做平平面面 的的法向量法向量.给定一点给定一点A和一个向量和一个向量 ,那么那么过点过点A,以向量以向量 为法向量的平面是为法向量的平面是完全确定的完全确定的.几点注意：几点注意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互一个平面的所有法向量都互相平行相平行;3.向量向量 是平面的法向量，向是平面的法向量，向量量 是与平面平行或在平面是与平面平行或在平面内，则有内，则有l.垂直关系：垂直关系：.例例2 已知平面已知平面 经过三点经过三点A(1,2,3)、B(2,0,-1)、C(3,-2,0),试求平面试求平面 的一个法向量的一个法向量.解解:A(1,2,3)、B(2,0,-1)、C(3,-2,0)设平面设平面 的法向量是的法向量是依题意依题意,有有 ,即即 解得解得z=0且且x=2y,令令y=1,则则x=2 平面平面 的一个法向量是的一个法向量是.六、夹角：六、夹角：.例2:(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;xyzADBA1D1C1B1 解：(1)以点A为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示，则：A(0,0,0)B1(1,0,1)C(1,1,0)C1(1,1,1)设平面AB1C的法向量为n=(x1,y1,z1),所以X1+z1=0X1+y1=0取x1=1,得y1=z1=-1故n=(1,-1,-1)C故所求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值为.如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中，OABC，AOC=90，SO平面平面OABC，且且OS=OC=BC=1，OA=2.求求:异面直线异面直线SA和和OB所成的角的余弦值；所成的角的余弦值；OS与平面与平面SAB所成角所成角的正弦值；的正弦值；A（2，0，0）；于是我们有OABCS=（2，0，-1）；=（-1，1，0）；=（1，1，0）；=（0，0，1）；B（1，1，0）；S（0，0，1），则O（0，0，0）；解：以o为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示xyzC（0，1，0）；所以异面直线SA与OB所成的角的余弦值为.取x=1，则y=1，z=2；故（2）设平面SAB的法向量显然有.N解：如图建立坐标系A-xyz,则即在长方体在长方体 中，中，例例1：.N又又在长方体在长方体 中，中，例例1：.例二：题型二：线面角题型二：线面角在长方体 中，.例例2.解：以点解：以点C C为坐标原点建立空间直角坐标系为坐标原点建立空间直角坐标系 如图如图所示，设所示，设 则：则：所以：所以：所以 与 所成角的余弦值为.5.正方体正方体ABCDA1B1C1D1中，直线中，直线BC1与平面与平面A1BD所成所成角的余弦值为角的余弦值为.解析：解析：如图，建立直角坐如图，建立直角坐标系，设正方体棱长为标系，设正方体棱长为1，则则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，(1,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1).设设n(x，y，z)为平面为平面A1BD的法向量的法向量.则则 取取n(1，1，1)，设直线设直线BC1与平面与平面A1BD所成角为所成角为，则则sin|cosn，|.cos .答案：答案：.【巩固练习巩固练习】1 三棱锥三棱锥P-ABC PAABC,PA=AB=AC,E为为PC中点中点,则则PA与与BE所成角所成角的余弦值为的余弦值为_.2 直三棱柱直三棱柱ABC-A1B1C1中中,A1A=2,AB=AC=1,则则AC1与截面与截面BB1CC1所成所成角的余弦值为角的余弦值为_.如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥PABCD中，中，PC平面平面ABCD，PC2，在四边，在四边形形ABCD中，中，BC90，AB4，CD1，点，点M在在PB上，上，PB4PM，PB与平面与平面ABCD成成30的角的角.(1)求证：求证：CM平面平面PAD；(2)求证：平面求证：平面PAB平面平面PAD.思路点拨思路点拨.课堂笔记课堂笔记以以C为坐标原点，为坐标原点，CB为为x轴，轴，CD为为y轴，轴，CP为为z轴建立如图所示轴建立如图所示的空间直角坐标系的空间直角坐标系Cxyz.PC平面平面ABCD，PBC为为PB与平面与平面ABCD所成的角，所成的角，PBC30.PC2，BC2 ，PB4.D(0,1,0)，B(2 ，0,0)，A(2 ，4,0)，P(0,0,2)，M(，0，)，(0，1,2)，(2 ，3,0)，(，0，)，.(1)令令n(x，y，z)为平面为平面PAD的一个法向量，则的一个法向量，则令令y2，得，得n(，2,1).n 201 0，n ，又，又CM 平面平面PAD，CM平面平面PAD.(2)取取AP的中点的中点E，则则E(，2,1)，(，2,1).PBAB，BEPA.又又 (，2,1)(2 ，3,0)0，.，BEDA，又，又PADAA.BE平面平面PAD，又又BE平面平面PAB，平面平面PAB平面平面PAD.小结：小结：1.异面直线所成角：2.直线与平面所成角：.1.若异面直线若异面直线l1和和l2的方向向量分别为的方向向量分别为v1和和v2，它们所，它们所 成的角为成的角为，则，则cos|cosv1，v2|.2.利用空间向量方法求直线与平面所成的角，可以有利用空间向量方法求直线与平面所成的角，可以有 两种办法：两种办法：.分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角转化为求两个方向向量的夹角(或其补角或其补角)；通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与 平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平 面所成的角面所成的角.lmlm.ll.5.如图，在棱长为如图，在棱长为1的正方体的正方体ABCD A1B1C1D1中，中，M和和N分别是分别是A1B1和和BB1 的中点，那么直线的中点，那么直线AM与与CN所成角的所成角的 余弦值为余弦值为.解析：解析：建立如图所示的坐标系，建立如图所示的坐标系，则则A(1,0,0)，M(1，1)，C(0,1,0)，N(1,1，)则则 (0，1)，(1,0，).cos .直线直线AM与与CN所成角的余弦值为所成角的余弦值为 .答案：答案：.(2009全国卷全国卷)如图，如图，直三棱柱直三棱柱ABCA1B1C1中，中，ABAC，D、E分别为分别为AA1、B1C的中的中点，点，DE平面平面BCC1.(1)证明：证明：ABAC；(2)设二面角设二面角ABDC为为60，求，求B1C与平面与平面BCD所成的角所成的角的大小的大小.思路点拨思路点拨.课堂笔记课堂笔记(1)证明：以证明：以A为坐标为坐标原点，原点，AB为为x轴，轴，AC为为y轴，轴，AA1为为z轴轴.建立如图所示的直角坐标建立如图所示的直角坐标系系Axyz.设设B(1,0,0)，C(0，b,0)，D(0,0，c)，则，则B1(1,0,2c)，E(，c).于是于是 (，0)，(1，b,0).由由DE平面平面BCC1知知DEBC，0，求得求得b1，所以所以ABAC.(2)设平面设平面BCD的法向量的法向量 (x，y，z)，则则 0，0.又又 (1,1,0)，(1,0，c)，故，故令令x1，则，则y1，z ，(1,1，).又平面又平面ABD的法向量的法向量 (0,1,0).由二面角由二面角ABDC为为60知，知，60，故故 cos60，求得，求得c .于是于是 (1,1，)，(1，1，)，Cos ，60.所以所以B1C与平面与平面BCD所成的角为所成的角为30.解：解：由本例由本例(2)知，知，(1,1，)，又又B(1,0,0)，A1(0,0，)，(1,0，).1 1，又又|2，|，cos 异面直线异面直线B1C与与BA1所成角的余弦值为所成角的余弦值为 .在本例在本例(2)的条件下，能否求出异面直线的条件下，能否求出异面直线B1C与与BA1所成角的余弦值所成角的余弦值.A.B.C.D.练习在棱长为练习在棱长为a的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1中，中，M是是AA1的中点，则点的中点，则点A1到平面到平面MBD的距离是的距离是 ().解析：解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(a，a,0)，M(a,0，a)，A1(a，0，a)DB(a，a,0)，DM(a,0，a)，A1M(0,0，a)设平面设平面MBD的法向量的法向量n(x，y，z)，则，则.令令x1，得，得n(1，1，2)，A1到平面到平面MBD的距离的距离答案：答案：A.利用向量法求点面距，其步骤如下：利用向量法求点面距，其步骤如下：1求出该平面的一个法向量；求出该平面的一个法向量；2找出过该点的平面的任一条斜线段对应的向量；找出过该点的平面的任一条斜线段对应的向量；3求出法向量与斜线段所对应向量的数量积的绝对值再除求出法向量与斜线段所对应向量的数量积的绝对值再除 以法向量的模，即可求出点到平面的距离，如图以法向量的模，即可求出点到平面的距离，如图.点点P到平面到平面的距离的距离.(2009茂名模拟茂名模拟)如图所示，在四面体如图所示，在四面体ABCD中，中，O、E分别是分别是BD、BC的中点，的中点，CACBCDBD2，ABAD (1)求证：求证：AO 平面平面BCD；(2)求异面直线求异面直线AB与与CD所成角的余弦值；所成角的余弦值；(3)求点求点E到平面到平面ACD的距离的距离.思路点拨思路点拨.课堂笔记课堂笔记(1)证明：连结证明：连结OC，BODO，ABAD，AO BD.BODO，BCCD，CO BD.在在 AOC中，由已知可得中，由已知可得AO1，CO而而AC2，AO2CO2AC2.AOC90，即，即AO OC.BDOCO，AO 平面平面BCD.(2)以以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(1,0,0)，C(0，0)，A(0,0,1)，E(，0)，异面直线异面直线AB与与CD所成角的所成角的余弦值为余弦值为=(-1，0，1).(3)设平面设平面ACD的法向量为的法向量为n(x，y，z)，则，则令令y1，得，得n(，1，)是平面是平面ACD的一个法向量的一个法向量又又EC(，0)，点点E到平面到平面ACD的距离的距离h.利用空间向量解决空间中线面位置关系的论利用空间向量解决空间中线面位置关系的论证、空间中各种角的求解问题，以代数运算代替复证、空间中各种角的求解问题，以代数运算代替复杂的空间的想象，给解决立体几何问题带来了鲜活杂的空间的想象，给解决立体几何问题带来了鲜活的方法另外，空间向量还可以用来解决许多探索的方法另外，空间向量还可以用来解决许多探索性问题，这类问题具有一定的思维深度，更能考查性问题，这类问题具有一定的思维深度，更能考查学生的能力，因此其已成为高考命题的热点题型学生的能力，因此其已成为高考命题的热点题型.考题印证考题印证 (2009福建高考福建高考)如图，四边形如图，四边形ABCD是边长为是边长为1的正方形，的正方形，MD 平平面面ABCD，NB 平面平面ABCD，且，且MDNB1，E为为BC的中点的中点 (1)求异面直线求异面直线NE与与AM所成角的余弦值；所成角的余弦值；(2)在线段在线段AN上是否存在点上是否存在点S，使得，使得ES 平面平面AMN？若存？若存在，求线段在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由的长；若不存在，请说明理由.【解解】(1)如图，以如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标为坐标原点，建立空间直角坐标系系Dxyz.依题意，易得依题意，易得D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E(，1,0)(2分分).所以异面直线所以异面直线NE与与AM所成角的余弦值为所成角的余弦值为 (6分分)=(-1,0,1)(3分分)(5分分).(2)假设在线段假设在线段AN上存在点上存在点S，使得，使得ES 平面平面AMN.AN(0,1,1)，可设，可设ASAN(0，)，又又EA(，1,0)，1，)(8分分).由由ES 平面平面AMN，得，得即即 (9分分)故故 ，此时，此时AS(0，)，|AS|(10分分)经检验，当经检验，当AS 时，时，ES 平面平面AMN.(11分分)故线段故线段AN上存在点上存在点S，使得，使得ES 平面平面AMN，此时，此时AS (12分分).自主体验自主体验 如图，已知四棱锥如图，已知四棱锥PABCD的底面的底面ABCD为等腰梯形，为等腰梯形，AB DC，AC BD，AC与与BD相交于点相交于点O，且顶点，且顶点P在底面上在底面上的射影恰为的射影恰为O点点又又BO2，PO ，PB PD.(1)求异面直线求异面直线PD与与BC所成角的余弦值；所成角的余弦值；(2)求二面角求二面角PABC的大小；的大小；(3)设点设点M在棱在棱PC上，且上，且 ，问，问为何值时，为何值时，PC 平面平面BMD?.解：解：PO 平面平面ABCD，PO BD.又又PB PD，BO2，PO ，则在则在Rt PDB中，由中，由OP2ODOB，得，得OD1，从而可得，从而可得ODOC1，BOAO2.以以O为原点，为原点，OA，OB，OP所在直线分别为所在直线分别为x，y，z轴建立轴建立如图所示的空间直角坐标系，则如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(1，0,0)，D(0，1,0)，P(0,0，).故直线故直线PD与与BC所成角的余弦值为所成角的余弦值为.(2)设平面设平面PAB的一个法向量为的一个法向量为n(x，y，z)，由于，由于AB(2,2,0)，AP(2,0，)，由由 得取得取n(1,1，)又易知平面又易知平面ABCD的一个法向量为的一个法向量为m(0,0,1)，cosm，n又二面角又二面角PABC为锐角，为锐角，所求二面角所求二面角PABC的大小为的大小为45.(3)设设M(x0,0，z0)，由于由于P，M，C三点共线，故三点共线，故z0 x0 .PC 平面平面BMD，OM PC.(1,0，)(x0,0，z0)0.x0 z00.由由知知x0 ，z0 ，M(，0，)，2.故故2时，时，PC 平面平面BMD.