1、平面向量的坐标表示一.明确复习目标1理解平面向量的坐标概念;2.掌握平面向量的坐标运算,掌握共线向量的坐标表示;二建构知识网络1.平面向量的坐标表示:在直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底。由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量可表示成,由于与数对(x,y)是一一对应的,因此把(x,y)叫做向量的坐标,记作=(x,y),其中x叫作在x轴上的坐标,y叫做在y轴上的坐标。(1) 若,则(2)若A(x1,y1),B(x2,y2)则,表示相等向量的有向线段的始点、终点的坐标未必相同.(3) 向量相等坐标相同。2.平面向量的坐标运算(1) 若,则(2) 若=(x,y),则=
2、(x, y)(3) 若,则3. 设则向量共线:向量垂直:, 三、双基题目练练手1.(2006山东)设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d的有向线段依次首尾相接能构成四边形,则向量d为 ( )A.(2,6) B.(-2,6)C.(2,-6)D.(-2,-6)2.平面上A(-2,1),B(1,4),D(4,-3),C点满足,连DC并延长至E,使|=|,则点E坐标为: ( )A、(-8,) B、() C、(0,1) D、(0,1)或(2,)3.已知向量a、b满足|a|=1,|b|=2,|ab|=2,则|a+b|等于 ( )A.1B.
3、C.D.剖析:欲求|a+b|,一是设出a、b的坐标求,二是直接根据向量模计算.4.(2005全国)已知向量,且A.B.C三点共线,则k= .5.(2005湖北)已知向量不超过5,则k的取值范围是 6.设=(3,1),=(-1,2),O为坐标原点,则满足+=的的坐标是7.已知向量,,向量与平行,=4则向量的坐标是_ 例题答案:1-3.DBD; 3.|a+b|2+|ab|2=2(|a|2+|b|2),|a+b|2=2(|a|2+|b|2)|ab|2=6. 法2:利用4. ; 5. 6,2; 6.(,). 7.或四、经典例题做一做【例1】平面内给定三个向量,回答下列问题:(1)求满足的实数m,n;(
4、2)若,求实数k;(3)若满足,且,求解:(1)由题意得所以,得(2)(3)设则由题意得得或, 方法提炼:1.利用平面向量基本定理,2.利用共线向量定理.【例2】(2006全国)已知向量。()若,求;()求的最大值。解:()得 所以 () 由取最大值,解题评注:向量一三角函数综合是一类常考的题目,要理解向量及运算的几何意义,要能熟练解答。【例3】已知中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),BC边上的高为AD,求。解:设D(x,y), 则得所以【例4】如图,设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BCx轴,证明直线AC经过原点
5、O解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),F(0),则C(y2)FABCoyx则 与共线, 即 (*)代整理得,y1y2=-p2 与共线,即A、O、C三点共线,也就是说直线AC经过原点O解法二:设A(x1,y1),C(,y2),B(x2,y2)欲证A、O、C共线,只需且仅需,即,又 只需且仅需y1y2=-p2,用韦达定理易证明解题评注:两向量共线的应用非常广泛,它可以处理线段(直线)平行,三点共线(多点共线)问题,使用向量的有关知识和运算方法,往往可以避免繁冗的运算,降低计算量,不仅方法新颖,而且简单明了。向量与解析几何的综合是又一命题热点。核心步骤:【研讨.欣赏】(2005上海)在直角
6、坐标平面中,已知点P1(1,2),P2(2,22), P3(3,23)Pn(n,2n),其中是正整数,对平面上任一点A0,记A1为A0关于点P1的对称点,A2为A1关于点P2的对称点,An为An-1关于点Pn的对称点。(1)求向量的坐标;(2)当点A0在曲线C上移动时,点A2的轨迹是函数y=f(x)的图象,其中f(x)是以3为周期的周期函数,且当x(0,3时,f(x)=lgx。求以曲线C为图象的函数在上的解析式; (3)对任意偶数n,用n表示向量的坐标。解.(1)设点A0(x,y), A0关于点P1的对称点A1的坐标为(2-x,4-y), A1为P2关于点的对称点A2的坐标为(2+x,4+y)
7、, =2,4. (2) =2,4,f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到.又x(3k,3k+3)时,x-3k(0,3), f(x)周期是3,所以f(x)=f(x-3k)=lg(x-3k)设曲线C的函数是y=g(x),则g(x)=f(x+2)-4=lg(x+2-3k)-4, 此时x+2(3k,3k+3), 即 x3k-2,3k+1),是以3为周期的周期函数.当x(1,4时,g(x)=lg(x+2-3)-4=lg(x-1)-4. (3) =,由于,得 =2()=2(1,2+1,23+1,2n-1)=2,=n,五提炼总结以为师1、熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标
8、运算法则进行运算。2、两个向量平行的坐标表示。3、运用向量的坐标表示,使向量的运算完全代数化,将数与形有机的结合。同步练习 平面向量的坐标表示 【选择题】1.(2004年天津,理3)若平面向量b与向量a=(1,2)的夹角是180,且|b|=3,则b等于 ( )A.(3,6)B.(3,6)C.(6,3)D.(6,3)2.正方形PQRS对角线交点为M,坐标原点O不在正方形内部,且=(0,3),=(4,0),则= ( )A、() B、() C、(7,4) D、()3. (2004年辽宁,6)已知点A(2,0),B(3,0),动点P(x,y)满足=x2,则点P的轨迹是 ( )A.圆B.椭圆C.双曲线D
9、.抛物线4.(2004全国)已知平面上直线l的方向向量e=(,),点O(0,0)和A(1,2)在l上的射影分别是和A,则=e,其中等于 ( )A.B.C.2D.2【填空题】5.已知且与平行,则x=_6(2005天津)在直角坐标系xOy中,已知点A(0,1)和点B(-3,4),若点C在AOB的平分线上且| |=2,则= 练习简答:1-4.AADD; 4.是单位向量,在上的投影为=,5.; 6. 【解答题】7.已知平面上四点A(1,2),B(5,8),C(-2,6),D(a,b),求当四边形ABCD为凸四边形且BD平分AC时,实数a,b应满足的条件.解:设AC,BD交于点E,易得,又设,(1)且8
10、.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若,试问(1)为何值时,点P在一、三象限角平分线上?(2)为何值时,点P第三象限?解.设点P的坐标为(x,y),则,由得,点P坐标为(5+5,4+7).9.( 2005山东)已知向量和,且,求的值解:因为由已知,得又所以所以10. .已知A(4,0),N(1,0),若点P满足=6|.(1)求点P的轨迹方程,并说明该轨迹是什么曲线;(2)求|的取值范围;解:(1)设P(x,y),=(x4,y),=(1x,y),=(3,0),=6|,3(x4)=6,即3x2+4y2=12.=1.P点的轨迹是以(1,0)、(1,0)为焦点,长轴长为4的椭圆.(2)N(1,0)为椭圆的右焦点,x=4为右准线,设P(x0,y0),P到右准线的距离为d,d=4x0,=e=,|PN|=d=.2x02,1|PN|3.当|PN|=1时,P(2,0);当|PN|=3时,P(2,0).【探索题】已知向量与的对应关系用表示(1) 证明:对于任意向量及常数m,n恒有成立;(2) 设,求向量及的坐标;求使,(p,q为常数)的向量的坐标证:(1)设,则,故,(2)由已知得=(1,1),=(0,1)(3)设=(x,y),则,y=p,x=2pq,即=(2Pq,p)9 / 9
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