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1、 第八章 向量与解析几何 向量代数 定义 定义与运算的几何表达 在直角坐标系下的表示 向量 有大小、有方向. 记作或 模 向量的模记作 和差 单位向量 ，则 方向余弦 设与轴的夹角分别为，则方向余弦分别为 点乘（数量积） ， 为向量a与b的夹角 叉乘（向量积） 为向量a与b的夹角 向量与，都垂直 定理与公式 垂直 平行 交角余弦 两向量夹角余弦 投影 向量在非零向量上的投影 平面 直线
2、 法向量 点 方向向量 点 方程名称 方程形式及特征 方程名称 方程形式及特征 一般式 一般式 点法式 点向式 三点式 参数式 截距式 两点式 面面垂直 线线垂直 面面平行 线线平行 线面垂直 线面平行 点面距离 面面距离 面面夹角 线线夹角 线面夹角 空间曲线： 切向量 切“线”方程： 法平“面”方程： 切向量 切“线”方程： 法
3、平“面”方程： 空间曲面 ： 法向量 切平“面”方程： 法“线“方程： 或 切平“面”方程： 法“线“方程： 第十章 重积分 重积分 积分类型 计算方法 典型例题 二重积分 平面薄片的质量 质量=面密度面积 （1） 利用直角坐标系 X—型 Y—型 P141—例1、例3 （2）利用极坐标系 使用原则 (1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(
4、 含圆弧,直线段 )； (2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含, 为实数 ) P147—例5 （3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性 当D关于y轴对称时，（关于x轴对称时，有类似结论） P141—例2 应用该性质更方便 计算步骤及注意事项 1． 画出积分区域 2． 选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数 关于坐标变量易分离 3． 确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙 4． 确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域 5． 计算要简便 注意：充分利用对称性，
5、奇偶性 三重积分 空间立体物的质量 质量=密度面积 (1) 利用直角坐标 投影 P159—例1 P160—例2 （2） 利用柱面坐标 相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标 适用范围: 积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如 旋转体 被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如 P161—例3 （3）利用球面坐标 适用范围: 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体. 被积函数用球面坐标表示时变量易分离. 如， P165—10-(1) （4）
6、利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性 第十一章曲线积分与曲面积分 曲线积分与曲面积分 积分类型 计算方法 典型例题 第一类曲线积分 曲形构件的质量 质量=线密度弧长 参数法（转化为定积分） （1） （2） （3） P189-例1 P190－3 平面第二类曲线积分 变力沿曲线所做的功 （1） 参数法（转化为定积分） P196-例1、例2、例3、例4 （2）利用格林公式（转化为二重积
7、分） 条件：①L封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域D） ②P，Q具有一阶连续偏导数 结论： 应用： P205－例4 P214-5(1)(4) （3）利用路径无关定理（特殊路径法） 等价条件：① ② ③与路径无关，与起点、终点有关 ④具有原函数 （特殊路径法，偏积分法，凑微分法） P211-例5、例6、例7 （4）两类曲线积分的联系 空间第二类曲线积分 变力沿曲线所做的功 （1）参数法（转化为定积分） （2）利用斯托克斯公式（转化第二类曲面积分） 条件：①L封闭，分段光滑，有向
8、 ②P，Q，R具有一阶连续偏导数 结论： 应用： P240-例1 第一类曲面积分 曲面薄片的质量 质量=面密度面积 投影法 ： 投影到面 类似的还有投影到面和面的公式 P217-例1、例2 第二类曲面积分 流体流向曲面一侧的流量 （1）投影法 ：，为的法向量与轴的夹角 前侧取“+”，；后侧取“”， ：，为的法向量与轴的夹角 右侧取“+”，；左侧取“”， ：，为的法向量与轴的夹角 上侧取“+”， ；下侧取“”， P226-例2 （2）高斯公式 右手法则取定的侧 条件：①封闭，分片光滑
9、是所围空间闭区域的外侧 ②P，Q，R具有一阶连续偏导数 结论： 应用： P231-例1、例2 （3）两类曲面积分之间的联系 转换投影法： P228-例3 所有类型的积分： 定义：四步法——分割、代替、求和、取极限； 性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性； 对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。 第十二章 级数 无穷级数 常数项级数 傅立叶级数 幂级数 一般项级数 正项级数 用收敛定义，存在 常数项级数的基本性质 常数项级数的基本性质 若
10、级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛. 两个收敛级数的和差仍收敛. 注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散. 去掉、加上或改变级数有限项, 不改变其收敛性. 若级数收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。 推论: 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 注：收敛级数去括号后未必收敛. （必要条件） 如果级数收敛, 则 莱布尼茨判别法 若且，则收敛 则级数收敛. 和都是正项级数，且.若收敛，则也收敛；若发散，则也发散. 比较判别法 比较判别法的极限形式 和都是正项级数，且，则若,与同敛或同散;若,收敛,也收敛；如果，发散，也发散。 比值判别法 根值判别法 是正项级数，,,则时收敛；()时发散；时可能收敛也可能发散. 收敛性 和函数 展成幂级数 ,, 缺项级数用比值审敛法求收敛半径 的性质在收敛域上连续;在收敛域内可导，且可逐项求导;和函数在收敛域上可积分，且可逐项积分.(不变,收敛域可能变化). 直接展开:泰勒级数 间接展开:六个常用展开式 收敛定理 是连续点,收敛于;是间断点,收敛于 周期 延拓 为奇函数，正弦级数，奇延拓；为偶函数，余弦级数、偶延拓. 交错 级数 - 9 - / 8
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