第6节-圆锥曲线综合问题.doc

【选题明细表】知识点、方法题号圆锥曲线间的综合问题2、4、7、10直线与圆锥曲线的综合问题1、6、9、12、13圆与圆锥曲线的综合问题8、11、14、15、16、17圆锥曲线与其他知识的综合3、5基础过关一、选择题1.(2014泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的(B)(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:直线与双曲线相切时,只有一个公共点,但直线与双曲线相交时,也可能有一个公共点,例如:与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线只有一个交点.故选B.2.已知双曲线-=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(A)(A)(B)4(C)3(D)5解析:抛物线y2=12x的焦点是(3,0),c=3,b2=c2-a2=5.双曲线的渐近线方程为y=x,焦点(3,0)到y=x的距离d=.故选A.3.椭圆+=1(ab0)的左顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,D是它短轴上的一个端点,若3=+2,则该椭圆的离心率为(D)(A)(B)(C)(D)解析:设D(0,b),则=(-c,-b),=(-a,-b),=(c,-b),由3=+2得-3c=-a+2c,即a=5c,e=.4.(2015海口调研)抛物线y2=-12x的准线与双曲线-=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于(A)(A)3(B)2(C)2(D)解析:y2=-12x的准线方程为x=3,双曲线-=1的渐近线为y=x.设抛物线的准线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A、B,由求得A(3,),同理B(3,-),所以|AB|=2,而O到直线AB的距离d=3,故所求三角形的面积S=|AB|d=23=3.5.(2014河南省中原名校模拟)设双曲线-=1(a0,b0),离心率e=,右焦点F(c,0),方程ax2-bx-c=0的两个实数根分别为x1,x2,则点P(x1,x2)与圆x2+y2=8的位置关系(C)(A)在圆内(B)在圆上(C)在圆外(D)不确定解析:由e=得a=b,故c=a,所以方程ax2-bx-c=0化为ax2-ax-a=0,即x2-x-=0,故x1+x2=1,x1x2=-.+=(x1+x2)2-2x1x2=12-2(-)=1+2,显然(1+2)2=9+48,所以点P(x1,x2)在圆外.6.椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A、B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为,则的值为(A)(A)(B)(C)(D)解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),中点为M(x0,y0),将y=1-x代入ax2+by2=1,得(a+b)x2-2bx+b-1=0,故x1+x2=,x0=,y1+y2=2-=,y0=,kOM=.二、填空题7.设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为.解析:对于椭圆C1,a=13,c=5,曲线C2为双曲线,c=5,a=4,b=3,则标准方程为-=1.答案:-=18.(2014哈师大附中模拟)双曲线C:-=1(a0,b0)的右焦点为F(c,0),以原点为圆心,c为半径的圆与双曲线在第二象限的交点为A,若此圆在A点处切线的斜率为,则双曲线C的离心率为.解析:如图,由题知ABO=30,所以AOB=60,OA=c,设A(x0,y0),则x0=-ccos 60=-,y0=csin 60=c,由双曲线定义知2a=-=(-1)c,e=+1.答案:+19.(2014太原五中模拟)直线l过椭圆+y2=1的左焦点F,且与椭圆相交于P、Q两点,M为PQ的中点,O为原点.若FMO是以OF为底边的等腰三角形,则直线l的方程为.解析:法一由椭圆方程得a=,b=c=1,则F(-1,0).在FMO中 ,|MF|=|MO|,所以M在线段OF的中垂线上,即xM=-,设直线l的斜率为k,则其方程为y=k(x+1),由得x2+2k2(x+1)2-2=0,即(2k2+1)x2+4k2x+2(k2-1)=0,xP+xQ=,而M为PQ的中点,故xM=(xP+xQ)=-,k2=,解得k=.故直线l的方程为y=(x+1),即xy+1=0.法二设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),由题意知kPQ=-kOM,由P、Q在椭圆上知两式相减整理得kPQ=-=-,而kOM=,故=,即=2,所以kPQ=,直线PQ的方程为y=(x+1),即xy+1=0.答案:xy+1=010.(2014高考山东卷)已知双曲线-=1(a0,b0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py(p0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为.解析:抛物线x2=2py的准线方程为y=-,与双曲线的方程联立得x2=a2(1+),根据已知得a2(1+)=c2,由|FA|=c,得+a2=c2,由可得a2=b2,即a=b,所以所求双曲线的渐近线方程是y=x.答案:y=x三、解答题11.如图,等边三角形OAB的边长为8,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p0)上.(1)求抛物线E的方程;(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q,证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.(1)解:依题意,|OB|=8,BOy=30.设B(x,y),则x=|OB|sin 30=4,y=|OB|cos 30=12.因为点B(4,12)在x2=2py上,所以(4)2=2p12,解得p=2.故抛物线E的方程为x2=4y.(2)证明:由(1)知y=x2,y=x.设P(x0,y0),则x00,y0=,且l的方程为y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-.由得所以Q为.设M(0,y1),令=0对满足y0=(x00)的x0,y0恒成立.由于=(x0,y0-y1),=,由=0,得-y0-y0y1+y1+=0,即(+y1-2)+(1-y1)y0=0.(*)由于(*)式对满足y0=(x00)的y0恒成立,所以解得y1=1.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1).12.(2014长葛三模)已知圆C1的圆心的坐标原点O,且恰好与直线l1:x-2y+3=0相切,点A为圆上一动点,AMx轴于点M,且动点N满足=+(1-),设动点N的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)直线l与直线l1垂直且与曲线C交于B、D两点,求OBD面积的最大值.解:(1)设动点N(x,y),A(x0,y0),因为AMx轴于M,所以M(x0,0),设圆C1的方程为x2+y2=r2,由题意得r=3,所以圆C1的方程为x2+y2=9.由题意,=+(1-),所以(x,y)=(x0,y0)+(1-)(x0,0),所以即将A(x,y)代入x2+y2=9,得动点N的轨迹方程为+=1.(2)由题意可设直线l:2x+y+m=0,设直线l与椭圆+=1交于B(x1,y1),D(x2,y2),联立方程得13x2+12mx+3m2-9=0,=144m2-134(3m2-9)0,解得m20,b0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于点P,若T为线段FP的中点,则该双曲线的渐近线方程为.解析:如图所示,设双曲线的另一个焦点为F,连接OT、PF.FT为圆的切线,FTOT,且|OT|=a,又T、O分别为FP、FF的中点,OTPF且|OT|=|PF|,|PF|=2a,且PFPF.又|PF|-|PF|=2a,|PF|=4a.在RtPFF中,|PF|2+|PF|2=|FF|2,即16a2+4a2=4c2,=5.=-1=4,=2,即渐近线方程为y=2x,即2xy=0.答案:2xy=015.(2014保定二模)设椭圆E:+=1(ab0)的离心率为e=,且过点(-1,-).(1)求椭圆E的方程;(2)设椭圆E的左顶点是A,若直线l:x-my-t=0与椭圆E相交于不同的两点M、N(M、N与A均不重合),若以MN为直径的圆过点A,试判定直线l是否过定点,若过定点,求出该定点的坐标.解:(1)由e2=,可得a2=2b2,则椭圆E的方程为+=1(ab0),代入点(-1,-)可得b2=2,a2=4,故椭圆E的方程为+=1.(2)由x-my-t=0得x=my+t,把它代入E的方程得(m2+2)y2+2mty+t2-4=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),y1+y2=-,y1y2=,x1+x2=m(y1+y2)+2t=,x1x2=(my1+t)(my2+t)=m2y1y2+tm(y1+y2)+t2=.因为以MN为直径的圆过点A,所以AMAN,所以=(x1+2,y1)(x2+2,y2)=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2=+2+4+=0.因为M、N与A均不重合,所以t-2,所以t=-,直线l的方程是x=my-,直线l过定点T(-,0),由于点T在椭圆内部,故满足直线l与椭圆有两个交点,所以直线l过定点T(-,0).探究创新16.(2014邯郸二模)如图所示点F是抛物线y2=8x的焦点,点A、B分别在抛物线y2=8x及圆(x-2)2+y2=16的实线部分上运动,且AB总是平行于x轴,则FAB的周长的取值范围是.解析:由抛物线方程知准线l:x=-2,焦点F(2,0),圆的圆心C(2,0),半径r=4.作出抛物线的准线l,过B作BMl于M,由抛物线的定义得|AF|=|AM|,FAB的周长为|AF|+|FB|+|AB|=|AB|+|AM|+|FB|=|BM|+|FB|.又B在圆弧上移动,且A、B、F三点不重合不共线,2xB6,4|BM|0,b0)的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线,切点分别为A、B.若AOB=120(O是坐标原点),则双曲线C的离心率为.解析:如图,由题知OAAF,OBBF且AOB=120,AOF=60.又OA=a,OF=c,=cos 60=,=2.答案:217 / 17