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完整word)新建 平行线的性质培优试题
平行线的性质及其应用
考点·方法·破译
1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系；
2．初步了解命题,命题的构成，真假命题、定理;
3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用。
经典·考题·赏析
【例１】如图，四边形ABCD中，AB∥CD， BC∥AD，∠A＝38°，求∠CC
B
A
D
的度数。
【解法指导】
两条直线平行，同位角相等；
两条直线平行，内错角相等；
两条直线平行，同旁内角互补.
平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键.
【解】：∵AB∥CD BC∥AD
∴∠A＋∠B＝180° ∠B＋∠C＝180°（两条直线平行，同旁内角互补）
∴∠A＝∠C ∵∠A＝38° ∴∠C＝38°
【变式题组】
01．如图，已知AD∥BC，点E在BD的延长线上，若∠ADE＝155°，则∠DBC的度数为（ ）
A．155° B．50° C．45° D．25°
（第1题图）
E
D
C
B
A
3
2
1
l1
l2
（第2题图）
E
A
B
D
α
1
2
C
F
（第3题图）

02．（安徽)如图，直线l1 ∥ l2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（ ）
A． 50° B． 55° C． 60° D．65°
03．如图，已知FC∥AB∥DE，∠α：∠D：∠B＝2: 3： 4， 试求∠α、∠D、∠B的度数.

E
A
F
G
D
C
B
【例２】如图，已知AB∥CD∥EF，GC⊥CF，∠B＝60°，∠EFC＝45°，求∠BCG的度数.
【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合,可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置。
【解】∵AB∥CD∥EF ∴∠B＝∠BCD ∠F＝∠FCD(两条直线平行，内错角相等)又∵∠B＝60° ∠EFC＝45° ∴∠BCD＝60° ∠FCD＝45° 又∵GC⊥CF ∴∠GCF＝90°（垂直定理) ∴∠GCD＝90°－45°＝45° ∴∠BCG＝60°－45°＝15°
【变式题组】
01．如图，已知AF∥BC, 且AF平分∠EAB,∠B＝48°，则∠C的的度数＝_______________
B
A
M
C
D
N
P
（第3题图）
A
B
C
D
O
E
F
A
E
B
C
（第1题图）
（第2题图）

02。如图，已知∠ABC＋∠ACB＝120°，BO、CO分别∠ABC、∠ACB，DE过点O与BC平行，则∠BOC＝___________
03．如图,已知AB∥ MP∥CD, MN平分∠AMD，∠A＝40°,∠D＝50°，求∠NMP的度数。

【例３】如图,已知∠1＝∠2，∠C＝∠D． 求证:∠A＝∠F. C
D
A
B
E
F
1
3
2

【解法指导】
因果转化，综合运用.
逆向思维：要证明∠A＝∠F，即要证明DF∥AC．
要证明DF∥AC， 即要证明∠D＋∠DBC＝180°，
即：∠C＋∠DBC＝180°；要证明∠C＋∠DBC
＝180°即要证明DB∥EC． 要证明DB∥EC即要
证明∠1＝∠3.
证明:∵∠1＝∠2，∠2＝∠3(对顶角相等)所以∠1＝∠3 ∴DB∥EC（同位角相等•两直线平行）∴∠DBC＋∠C＝180°(两直线平行，同旁内角互补）∵∠C＝∠D ∴∠DBC＋∠D＝180° ∴DF∥AC（同旁内角，互补两直线平行）∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）
G
B
3
C
A
1
D
2
E
F
（第1题图）
【变式题组】
01．如图,已知AC∥FG，∠1＝∠2,求证：DE∥FG

A
2
C
F
3
E
D
1
B
（第2题图）

02．如图，已知∠1＋∠2＝180°∠3＝∠B． 求证：∠AED＝∠ACB

03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO平行
O/
α
O
θ
β
B
于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O′B平行
于α，则角θ等于_________。

3
1
A
B
G
D
C
E
【例４】如图,已知EG⊥BC，AD⊥BC，∠1＝∠3.
求证：AD平分∠BAC．
【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析
条件给我们带来的结论,对于不能直接直接得出结论
的条件,要准确把握住这些条件的意图.（题目中的:
∠1＝∠3）
证明：∵EG⊥BC，AD⊥BC ∴∠EGC＝∠ADC＝90°
（垂直定义）∴EG∥AD（同位角相等，两条直线平行）
∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠BAD（两条直线平行，内错角相等）
∴AD平分∠BAC（角平分线定义)
D
A
2
E
1
B
C
【变式题组】
01．如图，若AE⊥BC于E,∠1＝∠2，求证:DC⊥BC．

B
F
E
A
C
D
02．如图，在△ABC中，CE⊥AB于E,DF⊥AB于F, AC∥ED，CE平分∠ACB． 求证：∠EDF＝∠BDF.

3．已知如图,AB∥CD，∠B＝40°，CN是∠BCE的平分线. CM⊥CN，求：∠BCM的度数.A
D
M
C
N
E
B

【例５】已知，如图，AB∥EF，求证：∠ABC＋∠BCF＋∠CFE＝360°
F
E
D
2
1
A
B
C
【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比,
联想周角。构造两个“平角”或构造两组“互补”的角.
过点C作CD∥AB即把已知条件AB∥EF联系起来，这是关键.
【证明】：过点C作CD∥AB ∵CD∥AB ∴∠1＋∠ABC＝180°
(两直线平行，同旁内角互补) 又∵AB∥EF,∴CD∥EF(平行
于同一条直线的两直线平行） ∴∠2＋∠CFE＝180°(两直线平行,
同旁内角互补） ∴∠ABC＋∠1＋∠2＋∠CFE＝180°＋180°＝360°
即∠ABC＋∠BCF＋∠CFE＝360°
【变式题组】
01．如图，已知，AB∥CD，分别探究下面四个图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系,请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性.
结论:⑴____________________________ ⑵____________________________
⑶____________________________ ⑷__________________________
B
A
P
C
A
C
C
D
A
A
P
C
B
D
P
B
P
D
B
D
⑴
⑵
⑶
⑷

【例６】如图，已知，AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是
3
2
1
γ
4
ψ
D
α
β
E
B
C
A
F
H
∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180°
α
β
P
B
C
D
A
∠P＝α＋β
【解法指导】基本图形

善于从复杂的图形中找到基本图形,运用基本图形的规律打开思路.
【解】过点E作EH∥AB． 过点F作FG∥AB． ∵AB∥EH ∴∠α＝∠1（两直线平行，内错角相等）又∵FG∥AB ∴EH∥FG（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠3 又∵AB∥CD ∴FG∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠ψ＋∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝∠1＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝180°
F
γ
D
α
β
E
B
C
A
【变式题组】
01．如图， AB∥EF，∠C＝90°，则∠α、∠β、∠γ的关系是（ ）
A． ∠β＝∠α＋∠γ B．∠β＋∠α＋∠γ＝180°
C． ∠α＋∠β－∠γ＝90° D．∠β＋∠γ－∠α＝90°

F

D
E
B
C
A
02．如图,已知，AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，∠E＝140°，求∠BFD的度数.

【例７】如图，平移三角形ABC,设点A移动到点A/，画出平移后的三角形A/B/C/。
B
C
A
A′
l
B′
C′
【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找,移，连.
⑴定:确定平移的方向和距离.
⑵找:找出图形的关键点。
⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点。
⑷连: 按原图形顺次连接对应点.
【解】①连接AA/ ②过点B作AA/的平行线l ③在l截取BB/＝AA/,则点B/就是的B对应点，用同样的方法作出点C的对应点C/.连接A/B/，B/C/，C/A/就得到平移后的三角形A/B/C/.
【变式题组】
01．如图，把四边形ABCD按箭头所指的方向平移21cm,作出平移后的图形。
D
B
C
A

02．如图，已知三角形ABC中，∠C＝90°, BC＝4，AC＝4，现将△ABC沿CB方向平移到△A/B/C/的位置，若平移距离为3, 求△ABC与△A/B/C/的重叠部分的面积. B
B/
A
A/
C
C/

03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC方向平移BE的距离，就得到此图形，求阴影部分的面积。（单位：厘米)
D
5
3
8
A
F
C
B
E

西
B
30°
A
北
东
南
演练巩固 反馈提高
01．如图，由A测B得方向是（ ）
A．南偏东30° B．南偏东60°
C．北偏西30° D．北偏西60°
02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同,两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C．第一次向左拐50°，第二次向右拐130° D．第一次向左拐60°，第二次向左拐120°
04．下列命题中，正确的是( ）
A．对顶角相等 B． 同位角相等 C．内错角相等 D．同旁内角互补
05．学习了平行线后,小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的［如图⑴—⑷］
P .
P .
P .
P .
⑴
⑵
⑶
⑷

从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ）
①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行。
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
06．在A、B两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A地测得B地的走向是南偏东52°.现A、B两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B地所修公路的走向应该是（ ）
A．北偏东52° B．南偏东52° C．西偏北52° D．北偏西38°
07．下列几种运动中属于平移的有（ ）
①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）;③升降机上下做机械运动;④足球场上足球的运动.
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置。平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格)

09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（ ）

10．如图，AD∥BC,AB∥CD，AE⊥BC,现将△ABE进行平移。 平移方向为射线AD的方向. 平移距离为线段BC的长，则平移得到的三角形是图中（ ）图的阴影部分。
D
E
A
B
C
E
D
B
C
E
D
A
B
C
E
D
A
B
C
E
D
A
B
C

11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.
⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；
⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.

12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的真假。
⑴互补的角是邻补角；
⑵两个锐角的和是锐角；
⑶直角都相等.

13．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A＝120°，第二个拐弯处∠B＝150°，第三个拐弯处∠C，这时道路CE恰好和道路AD平行，问∠C是多少度？并说明理由.
150°
120°
D
B
C
E
湖

14．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E点时，与两岸码头B、D成64°角。 当小船行驶到河中F点时，看B点和D点的视线FB、FD恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系。 你能说出此时点F与码头B、D所形成的角∠BFD的度数吗？
4
3
2
1
A
B
E
F
C
D

15．如图，AB∥CD，∠1＝∠2，试说明∠E和∠F的关系.
4
P
2
3
1
A
B
E
F
C
D

F
A
D
E
C
B
培优升级·奥赛检测
01．如图,等边△ABC各边都被分成五等分，这样在△ABC内能与△DEF完成重合的小三角形共有25个，那么在△ABC内由△DEF平移得到的三角形共有（ ）个

.
B
.
O
. A
02．如图，一足球运动员在球场上点A处看到足球从B点沿着BO方向匀速滚来,运动员立即从A处以匀速直线奔跑前去拦截足球。若足球滚动的速度与该运动员奔跑的速度相同，请标出运动员的平移方向及最快能截住足球的位置.(运动员奔跑于足球滚动视为点的平移）

C
B1
A
A1
C1
D1
B
D
03．如图,长方体的长AB＝4cm，宽BC＝3cm，高AA1＝2cm. 将AC平移到A1C1的位置上时，平移的距离是_________平移的方向是___________.
04．如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向的边长均为a，竖直方向的边长为b)；将线段A1A2向右平移1个单位得到B1B2,得到封闭图形A1A2B2B1 ［即阴影部分如图⑴］；将折现A1A2 A3向右平移1个单位得到B1B2B3，得到封闭图形A1A2 A3B3B2B1 ［即阴影部分如图⑵]；
⑴在图⑶中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移1个单位,从而得到1个封闭图形，并画出阴影.
⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S1＝________， S2＝________， S3＝________.
⑶联想与探究:如图⑷，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平宽度都是1个单位),请你猜想空白部分草地面积是多少？
A2
B2
A3
B3
B4
A4
A1
B1
草地
草地
A1
B2
⑵
B1
A2
B2
A1
B1
A3
B3
A2
⑴
⑶
⑷
⑸

05．一位模型赛车手遥控一辆赛车,先前进一半，然后原地逆时针旋转α°（0°＜α°＜180°）,被称为一次操作，若5次后发现赛车回到出发点，则α°角为（ ）
A．720° B．108°或144° C．144° D．720°或144°
06．两条直线a、b互相平行，直线a上顺次有10个点A1、A2、…、A10,直线b上顺次有10个点B1、B2、…、B9，将a上每一点与b上每一点相连可得线段。若没有三条线段相交于同一点,则这些选段的交点个数是（ )
A．90 B．1620 C．6480 D．2006

07．如图，已知AB∥CD，∠B＝100°，EF平分∠BEC，EG⊥EF。 求∠BEG和∠DEG.
F
E
B
A
C
G
D
100°

F
E
B
A
C
G
D
08．如图，AB∥CD，∠BAE＝30°，∠DCE＝60°，EF、EG三等分∠AEC． 问：EF与EG中有没有与AB平行的直线？为什么

09．如图，已知直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF。
⑴求∠EOB的度数；
⑵若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化,找出变化规律；若不变，求出这个比值。
F
E
B
A
C
O
⑶在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由。

10．平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°，请说明理由.

A
B
C
D
11．如图，正方形ABCD的边长为5，把它的对角线AC分成n段，以每一小段为对角线作小正方形，这n个小正方形的周长之和为多少？

12．如图将面积为a2的小正方形和面积为b2的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影部分面积？
B
D
C
F
A
E