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完整word)知识讲解_平面向量应用举例_基础
平面向量应用举例
【学习目标】
1。会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．
2。会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
3．体会用向量方法解决实际问题的过程，知道向量是一种处理几何、物理等问题的工具,提高运算能力和解决实际问题的能力．
【要点梳理】
要点一：向量在平面几何中的应用

向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面:
（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义．
(2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件或x1y2－x2y1=0)．
(3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形,判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或x1x2+y1y2=0）．
（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式．
(5）向量的坐标法,对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示,通过代数运算解决几何问题．
要点诠释:
用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底,表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来,从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了
．
要点二：向量在解析几何中的应用
在平面直角坐标系中,有序实数对(x，y）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决．
常见解析几何问题及应对方法：
(1）斜率相等问题:常用向量平行的性质．
（2)垂直条件运用:转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程．
（3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件．
（4）夹角问题:利用公式．
要点三：向量在物理中的应用
（1)利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象．
(2)明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积．
（3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示;二是转化为向量问题的模型,通过向量运算解决问题;三是把结果还原为物理结论．
【典型例题】
类型一：向量在平面几何中的应用
例1．用向量法证明：直径所对的圆周角是直角．
已知：如下图,AB是⊙O的直径，点P是⊙O上任一点（不与A、B重合），求证:∠APB＝90°．

证明：联结OP，设向量，则且，

，即∠APB＝90°．
【总结升华】解决垂直问题，一般的思路是将目标线段的垂直转化为向量的数量积为零，而在此过程中,则需运用向量运算，将目标向量用基底表示，通过基底的数量积运算式使问题获解，如本题便是将向量，由基底,线性表示．当然基底的选取应以方便运算为准，即它们的夹角是明确的,且长度易知．
举一反三：

【变式1】P是△ABC所在平面上一点，若,则P是△ABC的（ ）
A．外心　 B．内心　 C．重心　 D．垂心
【答案】D

【变式2】已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点，则的值为________；的最大值为________.
【解析】==1

=
=
= （F是E点在上的投影)

当F与C点重合时，上式取到等号．
例2．如图所示，四边形ADCB是正方形，P是对角线DB上一点,PFCE是矩形,证明:.

【思路点拨】如果我们能用坐标表示与，则要证明结论，只要用两向量垂直的充要条件进行验证即可.因此只要建立适当的坐标系，得到点A、B、E、F的坐标后，就可进行论证。
【解析】以点D为坐标原点，DC所在直线为轴建立如图所示坐标系，设正方形的边长为1，
，则，，，，
于是，,
∵

∴.
举一反三：
【变式1】在平面直角坐标系xOy中,已知点A（―1，―2）,B（2，3),C（―2，―1）．
（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;
（2）设实数t满足，求t的值．
【答案】(1)，（2）
【解析】 （1)由题设知,,则，．
所以,．
故所求的两条对角线长分别为,．
(2）由题设知，．
由，得(3+2t，5+t)·(―2，―1)=0，
从而5t=―11，所以．

类型二：向量在解析几何中的应用
例3．已知圆C：（x-3）2+(y-3）2=4及定点A(1，1)，M为圆C上任意一点，点N在线段MA上，且
，求动点N的轨迹方程．
【思路点拨】设出动点的坐标，利用向量条件确定动点坐标之间的关系,利用M为圆C上任意一点，即可求得结论．
【答案】x2+y2=1
【解析】设N（x，y），M（x0,y0）,则由得（1―x0,1―y0)=2（x―1，y―1），
∴,即．
代入(x―3)2+（y―3）2=4，得x2+y2=1．
【总结升华】本题考查轨迹方程,解题的关键是利用向量条件确定动点坐标之间的关系，属于中档题．
举一反三:
【变式1】已知△ABC的三个顶点A（0，―4),B（4，0），C（―6,2)，点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点．
（1)求直线DE、EF、FD的方程；
（2)求AB边上的高CH所在直线的方程．
【答案】（1）x―y+2=0,x+5y+8=0,x+y=0（2）x+y+4=0
【解析】 (1)由已知得点D（―1,1)，E（―3，―1），F(2，―2）,
设M（x，y）是直线DE上任意一点，
则．，．
∴(－2)×（x+1）―（―2)(y―1)=0，
即x―y+2=0为直线DE的方程．
同理可求,直线EF，FD的方程分别为
x+5y+8=0，x+y=0．
(2）设点N(x，y）是CH所在直线上任意一点，则．
∴．又，．
∴4(x+6）+4(y―2）=0，
即x+y+4=0为所求直线CH的方程．
【总结升华】（1）利用向量法来解决解析几何问题,首先要将线段看成向量,再把坐标利用向量法则进行运算．
（2)要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等则对应坐标相等．

类型三:向量在物理学中“功”的应用
例4．一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m,其中｜F1|=2 N，方向为北偏东30°；|F2|=4 N，方向为北偏东60°；｜F3|=6 N，方向为北偏西30°,求合力F所做的功．
【答案】
【解析】 以物体的重心O为原点,正东方向为x轴的正半轴建立直角坐标系．
如图,则,,，
则．
又位移，
合力F所做的功为（J）．
∴合力F所做的功为J．
【总结升华】用向量的方法解决相关的物理问题,要将相关物理量用几何图形表示出来，再根据它的物理意义建立数学模型,将物理问题转化为数学问题求解，最后将数学问题还原为物理问题．
举一反三：
【变式1】已知一物体在共点力的作用下产生位移,则共点力对物体所做的功为（ ）
A、4 B、3 C、7 D、2
【答案】C
【解析】对于合力,其所做的功为.因此选C.
类型四：向量在力学中的应用
例5．如图，用两条同样长的绳子拉一物体，物体受到重力为G．两绳受到的拉力分别为F1、F2，夹角为．
(1）求其中一根绳子受的拉力|F1｜与G的关系式,用数学观点分析F1的大小与夹角的关系；
(2）求F1的最小值；
（3)如果每根绳子的最大承受拉力为｜G｜，求的取值范围．
【答案】(1）增大时,｜F1|也增大（2）（3）[0°,120°］
【解析】（1）由力的平衡得F1+F2+G=0，设F1，F2的合力为F,
则F=―G，由F1+F2=F且|F1｜=|F2｜，｜F｜=|G｜，解直角三角形得，
∴,∈［0°，180°］，由于函数y=cos在∈［0°，180°]上为减函数，∴逐渐增大时，逐渐减小，即逐渐增大，∴增大时,|F1｜也增大．
（2）由上述可知，当=0°时，｜F1|有最小值为．
（3）由题意,，
∴，即．
由于y=cos在［0°,180°］上为减函数，∴,
∴∈[0°，120°]为所求．
【总结升华】生活中“两人共提一桶水，夹角越大越费力”，“在单杠上做引体向上,两臂的夹角越小就越省力”等物理现象，通过数学推理与分析得到了诠释．
举一反三：
【变式1】两个大小相等的共点力，当它们间夹角为时,合力的大小为20N，则当它们的夹角为时，合力的大小为（ ）
A、40N B、 C、 D、
【思路点拨】力的合成关键是依平行四边形法则,求出力的大小，然后再结合平行四边形法则求出新的合力。
【解析】对于两个大小相等的共点力，当它们间夹角为时，合力的大小为20N时,这二个力的大小都是N，对于它们的夹角为时,由三角形法则，可知力的合成构成一个等边三角形，因此合力的大小为N。 正确答案为B。
【总结升华】力的合成可用平行四边形法则，也可用三角形法则，各有优点,但实质是相通的，关键是要灵活掌握;对于第一个平行四边形法则的应用易造成的错解是，这样就会错选答案D.
类型五：向量在速度中的应用
例6．在风速为km / h的西风中，飞机以150 km / h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．
【思路点拨】这是航行中的速度问题，速度的合成与分解相当于向量的加法与减法,处理的方法和原则是三角形法则或平行四边形法则。
【答案】，北偏西60°
【解析】设风速为ω,飞机向西北方向飞行的速度为va，无风时飞机的速度为vb,则如图，vb=va－ω，设,，，过A点作AD∥BC,过C作CD⊥AD于D，过B作BE⊥AD于E，则∠BAD=45°,，．
所以，．
从而，∠CAD=30°．
所以没有风时飞机的航速为km / h，航向为北偏西60°．
【总结升华】本题主要考查向量在物理学中的应用．此类问题一般采用向量加法、减法的平行四边形法则和三角形法则来解决，注意画图辅助思考．
举一反三：
【变式1】一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水流速为，求船实际航行的速度的大小与方向.
【解析】如图所示，由向量的三角形法则知，对于2,，得，方向为逆水流与水流成夹角.
【总结升华】对于船的航行问题关键是要注意运用向量的合成法则进行,当然要特别注意“船的实际航速和航向”和“船在静水中的航速和航向