行程问题、相遇问题和追及问题的解题技巧[1].doc

行程问题、相遇问题和追及问题的解题技巧
一、行程问题、相遇问题和追及问题的核心公式：
    行程问题最核心的公式“速度=路程÷时间”。由此可以演变为相遇问题和追及问题。其中：
相遇时间=相遇距离÷速度和，
追及时间=追及距离÷速度差。
速度和=快速+慢速
速度差=快速-慢速
二、相遇距离、追及距离、速度和（差）及相遇（追及）时间的确定
第一：相遇时间和追及时间是指甲乙在完成相遇（追及）任务时共同走的时间。
第二：在甲乙同时走时，它们之间的距离才是相遇距离（追及距离）分为：
相遇距离——甲与乙在相同时间内走的距离 之和；S=S1+S2
甲 ︳→ S1 →∣← S2 ← ︳乙
A C B
追及距离——甲与乙在相同时间内走的距离 之差
甲 ︳→ S1 ←∣乙→ S2 ︳
A B C
在相同时间内S甲=AC ， S乙=BC 距离差 AB =S甲- S乙
第三： 在甲乙同时走之前，不管是甲乙谁先走，走的方向如何？走的距离是多少？都不影响相遇时间和追及时间，只是引起相遇距离和追及距离的变化，具体变化都应视情况从开始相距的距离中加减。简单的有以下几种情况：
三、例题：
（一）相遇问题
（1）A、B两地相距1000千米，甲车从A地开出，每小时行120千米，乙车从B地开出，每小时走80千米。若两车从A、B两地同时开出，相向而行，T小时相遇，
则可列方程为 T  =1000/（120+80）   。
甲 ︳→ S1 →∣← S2 ← ︳乙
A C B
解析一：
①此题为相遇问题；
②甲乙共同走的时间为T小时；
③甲乙在同时走时相距1000千米，也就是说甲乙相遇的距离为1000千米；
④利用公式：相遇时间=相遇距离÷速度和
根据等量关系列等式 T  =1000/（120+80） 
解析二：
甲乙相距的距离是由甲乙在相同的时间内共同走完的。相距的距离=甲车走的距离+乙车走的距离
根据等量关系列等式 1000=120*T+80*T

（2）A、B两地相距1000千米，甲车从A地开出，每小时行120千米，乙车从B地开出，每小时走80千米。若甲车先从A地向B开出30分钟后，甲乙两车再相向而行，T小时相遇，
则可列方程为1000-120*30/60=（120+80）*T
甲 ︳→ S1 →∣→ ︳ ← ︳乙
A C D B
解析一：
①此题为相遇问题；
②甲乙共同走的时间为T小时；
③由于甲车先向乙走30分钟，使甲乙间的实际距离变短，甲乙在同时走时实际相距（1000-120*30/60）千米，也就是说甲乙相遇的距离实为940千米；
④利用公式：相遇时间=相遇距离÷速度和
根据等量关系列等式 T=（1000-120*30/60）/（120+80）

解析二：
甲车先走20分钟到C点，这时甲乙两车实际相距距离CB为（1000-120*30/60）千米，CB间的距离是由甲乙在相同的时间内共同走完的。相遇距离=（开始两车相距的距离-甲车先走的距离），相遇距离=（甲车的速度+乙车的速度）*T
（1000-120*30/60）=（120+80）*T
（3）A、B两地相距1000千米，甲车从A地开出，每小时行120千米，乙车从B地开出，每小时走80千米。若乙车先从B地向A开出20分钟后，甲乙两车再相向而行，T小时相遇，则可列方程为1000-120*20/60=（120+80）*T
甲 ︳→ ∣相遇 ←乙︳→乙先走← ︳乙
A D C B
解析一：
①此题为相遇问题；
②甲乙共同走的时间为T小时；
③甲乙在同时走时相距AC（1000-120*20/60）千米，也就是说甲乙相遇的距离实为960千米；
④利用公式：相遇时间=相遇距离÷速度和
根据等量关系列等式 T=（1000-120*20/60）/（120+80）

（4）A、B两地相距1000千米，甲车从A地开出，每小时行120千米，乙车从B地开出，每小时走80千米。若甲车先从A地背向B开出10分钟后到C（或乙车先从B地背向A开出10分钟后到D），甲乙两车再相向而行，T小时相遇，则可列方程为T=（1000+120*10/60）/（120+80）
︳ ←︳甲 乙︳ ︳
C A B D
解析一：
①此题为相遇问题；
②甲乙共同走的时间为T小时；
③由于甲车先背向乙走了10分钟，使甲乙间的实际距离变长，甲乙在同时向相而行时实际相距（1000+120*10/60）千米，也就是说甲乙相遇的距离实为1020千米；
④利用公式：相遇时间=相遇距离÷速度和
根据等量关系列等式T=（1000+120*10/60）/（120+80）
解析二：
乙车先背向甲而行同甲
（5）A、B两地相距1000千米，甲车从A地开出，每小时行120千米，乙车从B地开出，每小时走80千米。若甲车先从A背向乙走10分钟到C，乙车也从B背向甲走30分钟到D后，甲乙两车再相向而行，T小时相遇，
则可列方程为T=（1000+120*10/60+80*30/60）/（120+80）
︳ ←︳甲 乙︳→ ︳
C A B D
解析一：
①此题为相遇问题；
②甲乙共同走的时间为T小时；
③由于甲乙两车先分别背向而行走了10分钟和30分钟，使甲乙间的实际距离变长，甲乙在同时走时实际相距（1000+120*10/60+80*30/60）千米，也就是说甲乙相遇的距离实为CD=1060千米；
④利用公式：相遇时间=相遇距离÷速度和
根据等量关系列等式
T=（1000+120*10/60+80*30/60）/（120+80）
归纳总结：不管甲乙两车在同时走之前谁先行（或同时行），
只要是相向而行，就会造成实际相遇距离变短，在确定相遇距离时，需用原始相距距离减去某车先行距离；
只要是相背而行，就会造成实际相遇距离变长，在确定相遇距离时，需用原始相距距离加上某车先行距离；

（二）追及问题
（1）A、B两地相距1000千米，甲车从A地开出，每小时行120千米，乙车从B地开出，每小时走80千米。若甲乙两车同时开出，同向而行，甲（快车）在乙（慢车）后面，T小时后快车追上乙车，
可列方程为 T=1000/（120-80）
解析一：
甲︳→ S1 ∣乙→ ︳
A B C
①此题为追及问题；
②甲乙共同走的时间为T小时；
③在甲乙同时走时相距1000千米，也就是说甲乙追及的距离为1000千米；
④利用公式：追及时间=追及距离÷速度差。
根据等量关系列等式T=1000/（120-80）
解析二：
①甲乙在同时出发前相距1000千米为甲追上乙多走的距离，应确定为追及距离
②甲每小时比乙多走了（120-80）千米，
③求追及时间，实际上是求1000千米中有T个（120-80）

（2）若甲乙两车同时从A地出发，甲车的速度为每小时行120千米，乙车的速度为每小时走80千米。乙（慢车）在（甲）快车后面，同向而行，T小时后甲与乙相距900千米，则可列方程为 T=900/（120-80）     
解析一：
①此题为追及问题；
②甲乙共同走的时间为T小时；
③由于甲乙速度不同，造成甲乙经T小时后相距900千米，也就是说甲乙追及的距离为900千米；
④利用公式：追及时间=追及距离÷速度差。
根据等量关系列等式T=900/（120-80）

A→
（3）若甲乙两车在长方形的跑道上同时从A地同向而行，甲车的速度为每小时行120千米，乙车的速度为每小时走80千米。已知长方形跑道的周长为500千米，T小时后甲与乙相遇，则可列方程为T=500/（120-80）
解析一：
①此题为追及问题；
②甲乙共同走的时间为T小时；
③由于甲乙速度不同，只有甲经T小时多走一圈后才能追上乙，也就是说甲乙追及的距离为长方形的周长500千米；
④利用公式：追及时间=追及距离÷速度差。
根据等量关系列等式T=500/（120-80）

（4）甲乙同时从A地以40千米/小时速度同向出发，15分钟后，甲车因油量不足以90千米/小时需返回到A地加油，乙车继续原速前行，甲车在A地加油用了10分钟，随后甲车又以90千米/小时速度用了T小时追上乙车，可列方程为：
甲乙︳→ S1 ∣乙→ S2 ︳
A B C
解析一：
①此题为追及问题；
②甲追乙共同走的时间为T小时；
③由于甲乙同行15分钟产生距离AB=40*（15/60），甲在返回A地所用时间40*（15/60）/90小时和加油时间（10/60）小时乙车在依然前行，前行的距离为BC=40*【40*（15/60）/90+10/60】千米；则甲车追乙车实际距离为AC=40*（15/60）+40*【40*（15/60）/90+10/60】
④甲乙两车的速度差为（90-40）千米/小时
⑤利用公式：追及时间=追及距离÷速度差。
根据等量关系列等式T=｛40*（15/60）+40*【40*（15/60）/90+10/60】｝/（90-40）
归纳总结：解追及问题的关键也在于确定追及时间和追及距离，具体同相遇问题。

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