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完整word)圆锥曲线中的最值问题
圆锥曲线中的最值问题
一、圆锥曲线定义、性质
1.（文)已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过其中心的一条弦,则△ABF的面积最大值为（　　）
A．6 B．15 C．20 D．12
[答案］　D ［解析］　S＝｜OF|·|y1－y2｜≤｜OF｜·2b＝12.
2、若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为(　　）
A．1　　　B.　　　C．2　　　D．2
解析：设椭圆＋＝1（a>b〉0），则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，∴S＝×2c×b＝bc＝1≤＝.∴a2≥2.∴a≥.∴长轴长2a≥2，故选D。
3、(文）(2011·山东省临沂市质检）设P是椭圆＋＝1上一点，M、N分别是两圆:（x＋4)2＋y2＝1和（x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM｜＋｜PN|的最小值、最大值分别为(　　）
A．9，12 B．8,11 C．8，12 D．10,12
解析:由已知条件可知两圆的圆心恰是椭圆的左、右焦点，且|PF1|＋|PF2｜＝10,
∴（｜PM｜＋|PN|）min＝10－2＝8,(|PM|＋｜PN|)max＝10＋2＝12故选C.
点评：∵圆外一点P到圆上所有点中距离的最大值为|PC｜＋r,最小值为|PC｜－r，其中C为圆心，r为半径，故只要连接椭圆上的点P与两圆心M、N,直线PM、PN与两圆各交于两点处取得最值，最大值为｜PM｜＋|PN|＋两圆半径和，最小值为｜PM｜＋｜PN｜－两圆半径和．
4、(2010·福州市质检)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋（y－4）2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是(　　)
A．5 B．8 C.－1 D。＋2
[答案]　C ［解析]　抛物线y2＝4x的焦点为F（1,0），圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C（0，4),设点P到抛物线的准线距离为d，根据抛物线的定义有d＝|PF|，∴｜PQ｜＋d＝｜PQ|＋|PF｜≥(｜PC|－1)＋|PF｜≥|CF|－1＝－1。
5、已知点F是双曲线－＝1的左焦点，定点A的坐标为（1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA｜的最小值为________．
解析　如图所示，根据双曲线定义|PF｜－｜PF′｜＝4,即｜PF|－4＝｜PF′｜.又|PA|＋｜PF′|≥｜AF′|＝5，
将｜PF|－4＝｜PF′｜代入，得｜PA|＋｜PF｜－4≥5,即｜PA|＋|PF|≥9，等号当且仅当A，P，F′三点共线，
即P为图中的点P0时成立，故｜PF|＋|PA｜的最小值为9。故填9.答案　9
6、已知直线和直线,抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ )
A.2 B。3 C。 D.
【解析1】直线为抛物线的准线，由抛物线的定义知，P到的距离等于P到抛物线的焦点的距离，故本题化为在抛物线上找一个点使得到点和直线的距离之和最小，最小值为到直线的距离，即，故选择A.
【解析2】如图，由题意可知【答案】A
二、目标函数法
1、椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时,点P的坐标是_______．
解析:设椭圆上点P到两焦点的距离分别为u、v,则u＋v＝10，uv＝m；设∠F1PF2＝θ，由余弦定理可知cosθ＝，即u2＋v2－2uvcosθ＝64⇒m＝，显然，当P与A或B重合时,m最大．答案：（－3，0）或(3,0)
2、设F1、F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点．
（1)若P是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值;
[解析]　(1）由已知得：F1（－,0)，F2(，0），
设点P(x，y）,则＋y2＝1，且－2≤x≤2.所以·＝x2－3＋y2＝x2－3＋1－＝x2－2,
当x＝0，即P(0，±1)时，（·)min＝－2;当x＝±2,即P（±2，0)时，(·）max＝1.
3．(2011·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为（　　)
A．－2 B．－ C．1 D．0
[答案]　A ［解析]　由已知得A1(－1,0），F2(2，0)．设P（x，y)（x≥1），则·＝（－1－x，－y)·(2－x,－y)＝4x2－x－5。令f(x）＝4x2－x－5，则f（x)在x≥1上单调递增，所以当x＝1时，函数f(x)取最小值，即·取最小值，最小值为－2。
4．（2011·安徽模拟）点A、B分别为椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上,且位于x轴上方，PA⊥PF。
(1）求点P的坐标;
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
［解析］　(1）由已知可得点A(－6，0),F(4，0)，设点P的坐标是(x，y），则＝（x＋6，y)，＝(x－4，y)．由已知得
消去y得，2x2＋9x－18＝0,∴x＝或x＝－6
由于y>0，只能x＝，于是y＝，所以点P的坐标是(，）．
(2）直线AP的方程是x－y＋6＝0
设点M的坐标是(m,0），则M到直线AP的距离是，于是＝｜m－6|,
又－6≤m≤6，解得：m＝2
∵椭圆上的点(x，y)到点M的距离是d，
∴d2＝(x－2）2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2＝(x－）2＋15,
由于－6≤x≤6，所以当x＝时d取最小值。
5．（文)已知点A（2,0）、B（4,0），动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则·取得最小值时的点P的坐标是______．
[答案]　（0，0) ［解析］　设P，则＝，＝，·＝＋y2＝＋y2＋8≥8，当且仅当y＝0时取等号,此时点P的坐标为(0,0)．
6、 如图，已知抛物线与圆相交于A、B、C、D四个点.
（Ⅰ)求r的取值范围 （Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。
解:(Ⅰ)将抛物线代入圆的方程,
消去,整理得
抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是：方程(1）有两个不相等的正根
∴即。解这个方程组得.
（II)设四个交点的坐标分别为、、、.
则由（I）根据韦达定理有，
则

令,则 下面求的最大值。
方法2：设四个交点的坐标分别为、、、
则直线AC、BD的方程分别为
解得点P的坐标为。设，由及(Ⅰ）得
由于四边形ABCD为等腰梯形,因而其面积
则将，
代入上式，并令，等
，
∴,令得，或（舍去）
当时，;当时;当时，
故当且仅当时，有最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为。
7、已知直线经过椭圆 的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点和椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线
分别交于两点。
（I)求椭圆的方程;(Ⅱ)求线段MN的长度的最小值；
(解 方法一（I）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为 故椭圆的方程为
（Ⅱ）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而
由得0
设则得，从而
即又，由得
故，又
当且仅当，即时等号成立 时,线段的长度取最小值
8、已知以原点为中心的双曲线的一条准线方程为，离心率．
（Ⅰ）求该双曲线的方程；
（Ⅱ）如题（20）图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线右支上，求的最小值，并求此时点的坐标；
解 （Ⅰ）由题意可知，双曲线的焦点在轴上，故可设双曲线的方程为，设，由准线方程为得,由得 解得 从而，该双曲线的方程为。
（Ⅱ)设点D的坐标为，则点A、D为双曲线的焦点，
所以 ，是圆上的点，其圆心为,半径为1,故 从而
当在线段CD上时取等号，此时的最小值为
直线CD的方程为，因点M在双曲线右支上，故
由方程组 解得
所以点的坐标为.
9、如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为（5，0），倾斜角为的直线l与线段OA相交（不经过点O或点A）且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程和△AMN的最大面积
解法一 由题意,可设l的方程为y=x+m,其中－5＜m＜0
由方程组，消去y,得x2+（2m－4)x+m2=0 ①∵直线l与
抛物线有两个不同交点M、N，∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m）＞0,
解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5,0）
设M(x1，y1），N（x2,y2)则x1+x2=4－2m,x1·x2=m2,∴|MN｜=4 点A到直线l的距离为d=
∴=2(5+m），从而
∴,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号 故直线l的方程为y=x－1,△AMN的最大面积为8
10、设椭圆中心在坐标原点,A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y＝kx（k＞0）与椭圆相交于E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值．
解　依题设得椭圆的方程为＋y2＝1。直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx（k＞0)．
设E(x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，
且x1，x2满足方程（1＋4k2）x2＝4,故x2＝－x1＝.①
根据点到直线的距离公式和①式，得点E，F到AB的距离分别为
h1＝＝,h2＝＝，
又｜AB|＝＝，所以四边形AEBF的面积为
S＝｜AB｜(h1＋h2）＝··＝＝2≤2,
当2k＝1，即k＝时，取等号．所以四边形AEBF面积的最大值为2.
三、切线法
【例2】►求椭圆＋y2＝1上的点到直线y＝x＋2的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标．
解　设椭圆的切线方程为y＝x＋b，代入椭圆方程，得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.
由Δ＝(4b)2－4×3×(2b2－2)＝0，得b＝±。
当b＝时，直线y＝x＋与y＝x＋2的距离d1＝,将b＝代入方程3x2＋4bx＋2b2－2＝0，
解得x＝－,此时y＝，即椭圆上的点到直线y＝x＋2的距离最小，最小值是；
当b＝－时，直线y＝x－到直线y＝x＋2的距离d2＝，将b＝－代入方程3x2＋4bx＋2b2－2＝0，
解得x＝，此时y＝－,即椭圆上的点到直线y＝x＋2的距离最大,最大值是。
圆锥曲线中的最值问题
一、圆锥曲线定义、性质
1。(文）已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过其中心的一条弦，则△ABF的面积最大值为(　　)
A．6 B．15 C．20 D．12
2、若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为（　　）
A．1　　　B。　　　C．2　　　D．2
3、（文）（2011·山东省临沂市质检）设P是椭圆＋＝1上一点，M、N分别是两圆:（x＋4）2＋y2＝1和(x－4）2＋y2＝1上的点，则｜PM|＋｜PN|的最小值、最大值分别为（　　）
A．9,12 B．8,11 C．8，12 D．10,12
4、(2010·福州市质检)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点,Q为圆x2＋（y－4)2＝1上一个动点,那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是(　　）
A．5 B．8 C.－1 D。＋2
5、已知点F是双曲线－＝1的左焦点，定点A的坐标为(1，4)，P是双曲线右支上的动点,则｜PF|＋|PA｜的最小值为________．
6、已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）
A.2 B。3 C。 D。
二、目标函数法
1、椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标是________．
2、设F1、F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点．
(1）若P是该椭圆上的一个动点,求·的最大值和最小值；
3．（2011·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1,右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为（　　）
A．－2 B．－ C．1 D．0
4．(2011·安徽模拟）点A、B分别为椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF。
（1）求点P的坐标；
(2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
5．（文)已知点A(2，0)、B(4,0)，动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则·取得最小值时的点P的坐标是______．
6、 如图，已知抛物线与圆相交于A、B、C、D四个点。
（Ⅰ)求r的取值范围 （Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。
7、已知直线经过椭圆 的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点和椭圆上位于轴上方的动点，直线,与直线
分别交于两点。
(I）求椭圆的方程；（Ⅱ)求线段MN的长度的最小值；
8、已知以原点为中心的双曲线的一条准线方程为，离心率．
（Ⅰ）求该双曲线的方程;
（Ⅱ）如题（20）图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线右支上，求的最小值，并求此时点的坐标；
9、如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为（5,0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交（不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点,求△AMN面积最大时直线l的方程和△AMN的最大面积
10、设椭圆中心在坐标原点，A（2,0),B(0,1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k＞0)与椭圆相交于E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值．
三、切线法
求椭圆＋y2＝1上的点到直线y＝x＋2的距离的最大值和最小值,并求取得最值时椭圆上点的坐标．

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