圆锥曲线中的最值问题.doc

(完整word)圆锥曲线中的最值问题圆锥曲线中的最值问题一、圆锥曲线定义、性质1.（文)已知F是椭圆1的一个焦点，AB为过其中心的一条弦,则ABF的面积最大值为（）A6 B15 C20 D12答案D 解析SOF|y1y2OF2b12.2、若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为(）A1B.C2D2解析：设椭圆1（ab0），则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，S2cbbc1.a22.a.长轴长2a2，故选D。3、(文）(2011山东省临沂市质检）设P是椭圆1上一点，M、N分别是两圆:（x4)2y21和（x4)2y21上的点，则|PMPN|的最小值、最大值分别为(）A9，12 B8,11 C8，12 D10,12解析:由已知条件可知两圆的圆心恰是椭圆的左、右焦点，且|PF1|PF210,（PM|PN|）min1028,(|PM|PN|)max10212，故选C.点评：圆外一点P到圆上所有点中距离的最大值为|PCr,最小值为|PCr，其中C为圆心，r为半径，故只要连接椭圆上的点P与两圆心M、N,直线PM、PN与两圆各交于两点处取得最值，最大值为PM|PN|两圆半径和，最小值为PMPN两圆半径和4、(2010福州市质检)已知P为抛物线y24x上一个动点，Q为圆x2（y4）21上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是()A5 B8 C.1 D。2答案C 解析抛物线y24x的焦点为F（1,0），圆x2(y4)21的圆心为C（0，4),设点P到抛物线的准线距离为d，根据抛物线的定义有d|PF|，PQdPQ|PF(PC|1)|PF|CF|11。5、已知点F是双曲线1的左焦点，定点A的坐标为（1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|PA的最小值为_解析如图所示，根据双曲线定义|PFPF4,即PF|4PF.又|PA|PF|AF|5，将PF|4PF代入，得PA|PF45,即PA|PF|9，等号当且仅当A，P，F三点共线，即P为图中的点P0时成立，故PF|PA的最小值为9。故填9.答案96、已知直线和直线,抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ )A.2 B。3 C。 D. 【解析1】直线为抛物线的准线，由抛物线的定义知，P到的距离等于P到抛物线的焦点的距离，故本题化为在抛物线上找一个点使得到点和直线的距离之和最小，最小值为到直线的距离，即，故选择A.【解析2】如图，由题意可知【答案】A二、目标函数法1、椭圆1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时,点P的坐标是_解析:设椭圆上点P到两焦点的距离分别为u、v,则uv10，uvm；设F1PF2，由余弦定理可知cos，即u2v22uvcos64m，显然，当P与A或B重合时,m最大答案：（3，0）或(3,0)2、设F1、F2分别是椭圆y21的左、右焦点（1)若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值; 解析(1）由已知得：F1（,0)，F2(，0），设点P(x，y）,则y21，且2x2.所以x23y2x231x22,当x0，即P(0，1)时，（)min2;当x2,即P（2，0)时，(）max1.3(2011长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)已知双曲线x21的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为（)A2 B C1 D0答案A 解析由已知得A1(1,0），F2(2，0)设P（x，y)（x1），则（1x，y)(2x,y)4x2x5。令f(x）4x2x5，则f（x)在x1上单调递增，所以当x1时，函数f(x)取最小值，即取最小值，最小值为2。4（2011安徽模拟）点A、B分别为椭圆1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上,且位于x轴上方，PAPF。(1）求点P的坐标;（2）设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值解析(1）由已知可得点A(6，0),F(4，0)，设点P的坐标是(x，y），则（x6，y)，(x4，y)由已知得消去y得，2x29x180,x或x6由于y0，只能x，于是y，所以点P的坐标是(，）(2）直线AP的方程是xy60设点M的坐标是(m,0），则M到直线AP的距离是，于是m6|,又6m6，解得：m2椭圆上的点(x，y)到点M的距离是d，d2(x2）2y2x24x420x2(x）215,由于6x6，所以当x时d取最小值。5（文)已知点A（2,0）、B（4,0），动点P在抛物线y24x上运动，则取得最小值时的点P的坐标是_答案（0，0) 解析设P，则，y2y288，当且仅当y0时取等号,此时点P的坐标为(0,0)6、 如图，已知抛物线与圆相交于A、B、C、D四个点.（)求r的取值范围 （）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。解:()将抛物线代入圆的方程,消去,整理得抛物线与圆相交于、四个点的充要条件是：方程(1）有两个不相等的正根即。解这个方程组得.（II)设四个交点的坐标分别为、.则由（I）根据韦达定理有，则 令,则 下面求的最大值。方法2：设四个交点的坐标分别为、则直线AC、BD的方程分别为解得点P的坐标为。设，由及(）得 由于四边形ABCD为等腰梯形,因而其面积则将，代入上式，并令，等，,令得，或（舍去）当时，;当时;当时，故当且仅当时，有最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为。 7、已知直线经过椭圆 的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点和椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于两点。（I)求椭圆的方程;()求线段MN的长度的最小值；(解 方法一（I）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为 故椭圆的方程为（）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而由得0设则得，从而 即又，由得故，又 当且仅当，即时等号成立 时,线段的长度取最小值8、已知以原点为中心的双曲线的一条准线方程为，离心率（）求该双曲线的方程；（）如题（20）图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线右支上，求的最小值，并求此时点的坐标； 解 （）由题意可知，双曲线的焦点在轴上，故可设双曲线的方程为，设，由准线方程为得,由得 解得 从而，该双曲线的方程为。（)设点D的坐标为，则点A、D为双曲线的焦点，所以 ，是圆上的点，其圆心为,半径为1,故 从而当在线段CD上时取等号，此时的最小值为直线CD的方程为，因点M在双曲线右支上，故由方程组 解得 所以点的坐标为. 9、如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为（5，0），倾斜角为的直线l与线段OA相交（不经过点O或点A）且交抛物线于M、N两点，求AMN面积最大时直线l的方程和AMN的最大面积 解法一 由题意,可设l的方程为y=x+m,其中5m0 由方程组，消去y,得x2+（2m4)x+m2=0 直线l与抛物线有两个不同交点M、N，方程的判别式=(2m4)24m2=16(1m）0,解得m1,又5m0,m的范围为(5,0）设M(x1，y1），N（x2,y2)则x1+x2=42m,x1x2=m2,|MN=4 点A到直线l的距离为d= =2(5+m），从而 ,当且仅当22m=5+m,即m=1时取等号 故直线l的方程为y=x1,AMN的最大面积为8 10、设椭圆中心在坐标原点,A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线ykx（k0）与椭圆相交于E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值解依题设得椭圆的方程为y21。直线AB，EF的方程分别为x2y2，ykx（k0)设E(x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1x2，且x1，x2满足方程（14k2）x24,故x2x1.根据点到直线的距离公式和式，得点E，F到AB的距离分别为h1,h2，又AB|，所以四边形AEBF的面积为SAB(h1h2）22,当2k1，即k时，取等号所以四边形AEBF面积的最大值为2.三、切线法【例2】求椭圆y21上的点到直线yx2的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标解设椭圆的切线方程为yxb，代入椭圆方程，得3x24bx2b220.由(4b)243(2b22)0，得b。当b时，直线yx与yx2的距离d1,将b代入方程3x24bx2b220，解得x,此时y，即椭圆上的点到直线yx2的距离最小，最小值是；当b时，直线yx到直线yx2的距离d2，将b代入方程3x24bx2b220，解得x，此时y,即椭圆上的点到直线yx2的距离最大,最大值是。圆锥曲线中的最值问题一、圆锥曲线定义、性质1。(文）已知F是椭圆1的一个焦点，AB为过其中心的一条弦，则ABF的面积最大值为()A6 B15 C20 D122、若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为（）A1B。C2D23、（文）（2011山东省临沂市质检）设P是椭圆1上一点，M、N分别是两圆:（x4）2y21和(x4）2y21上的点，则PM|PN|的最小值、最大值分别为（）A9,12 B8,11 C8，12 D10,124、(2010福州市质检)已知P为抛物线y24x上一个动点,Q为圆x2（y4)21上一个动点,那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是(）A5 B8 C.1 D。25、已知点F是双曲线1的左焦点，定点A的坐标为(1，4)，P是双曲线右支上的动点,则PF|PA的最小值为_6、已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）A.2 B。3 C。 D。 二、目标函数法1、椭圆1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标是_2、设F1、F2分别是椭圆y21的左、右焦点(1）若P是该椭圆上的一个动点,求的最大值和最小值； 3（2011长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)已知双曲线x21的左顶点为A1,右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为（）A2 B C1 D04(2011安徽模拟）点A、B分别为椭圆1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PAPF。（1）求点P的坐标；(2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值5（文)已知点A(2，0)、B(4,0)，动点P在抛物线y24x上运动，则取得最小值时的点P的坐标是_6、 如图，已知抛物线与圆相交于A、B、C、D四个点。（)求r的取值范围 （）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。7、已知直线经过椭圆 的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点和椭圆上位于轴上方的动点，直线,与直线分别交于两点。(I）求椭圆的方程；（)求线段MN的长度的最小值；8、已知以原点为中心的双曲线的一条准线方程为，离心率（）求该双曲线的方程;（）如题（20）图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线右支上，求的最小值，并求此时点的坐标； 9、如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为（5,0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交（不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点,求AMN面积最大时直线l的方程和AMN的最大面积 10、设椭圆中心在坐标原点，A（2,0),B(0,1)是它的两个顶点，直线ykx(k0)与椭圆相交于E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值三、切线法求椭圆y21上的点到直线yx2的距离的最大值和最小值,并求取得最值时椭圆上点的坐标8