第五章相交线与平行线知识点整理.doc

相交线与平行线知识点整理
5.1相交线
1、邻补角与对顶角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：

1
2
图形
边的关系
大小关系
对顶角

∠1与∠2
∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线

对顶角相等
即∠1=∠2
邻补角
3
4

∠3与∠4
∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线。
邻补角互补
∠3+∠4=180°
注意点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；
⑵如果是对顶角，那么一定有；反之如果，那么不一定是对顶角；
⑶如果互为邻补角，则一定有；反之如果，则不一定是邻补角。⑷两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。
2、垂线
A
B
C

D
O
⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
符号语言记作： 如图所示：AB⊥CD，垂足为O
⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
(与平行公理相比较记)
⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简称：垂线段最短。
3、垂线的画法：直线，垂足，直角记号
P
A
B
O
⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，
⑶三画：沿着这条直角边画直线，不要画成给人的印象是线段的线。
4、点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
记得时候应该结合图形进行记忆。
如图，PO⊥AB，同P到直线AB的距离是PO的长。PO是垂线段。PO是点P到
直线AB所有线段中最短的一条。现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。
5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念
⑴垂线与垂线段 区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。
联系：具有垂直于已知直线的共同特征。(垂直的性质)
⑵两点间距离与点到直线的距离 区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。 联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。
⑶线段与距离 距离是线段的长度，是一个量；
线段是一种图形，它们之间不能等同。
5.2平行线
1、平行线的概念：
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线与直线互相平行，记作∥，读作：a平行于b。
2、两条直线的位置关系 ： 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。
因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）
判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）
3、平行公理――平行线的存在性与惟一性 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
4、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

　　　　　　　　　　　　如左图所示，∵∥，∥
　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∥

1
2
3
4
5
6
7
8
　　　　　　　　　　　　注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行。
5、三线八角
　两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。
　如图，直线被直线所截
　①∠1与∠5在截线的同侧，同在被截直线的上方，叫做同位角（位置相同）
　②∠5与∠3在截线的两旁（交错），在被截直线之间（内），叫做内错角（位置在内且交错）
　③∠5与∠4在截线的同侧，在被截直线之间（内），叫做同旁内角。
　④三线八角也可以成模型中看出。同位角是“F”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型。
6、两直线平行的判定方法
判定方法1　　两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
　　　　简称：同位角相等，两直线平行
判定方法2　　两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
　　　　简称：内错角相等，两直线平行
判定方法3　　两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
　　　　简称：同旁内角互补，两直线平行 几何符号语言：
　　　　　　　　　　　　　　 解：∵　∠3＝∠2
　　　　　　　　　　　　　　 ∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
　　　　　　　　　　　　　　 ∵　∠1＝∠2
　　　　　　　　　　　　　 　∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
　　　　　　　　　　　　　 　∵　∠4＋∠2＝180°
　　　　　　　　　　　　　 　∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
注意：注意书写的顺序以及前因后果，平行线的判定是由角相等，然后得出平行。
平行线的判定是写角相等或互补，然后写平行。
典型例题：判断下列说法是否正确，如果不正确，请给予改正：
　⑴不相交的两条直线必定平行线。
　⑵在同一平面内不相重合的两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交。
　⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行
解答：⑴错误，平行线是“在同一平面内不相交的两条直线”。“在同一平面内”是一项重要条件，不能遗漏。
　　　⑵正确
　　　⑶不正确，正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”。因为如果这一点不在已知直线上，是作不出这条直线的平行线的。
A
B
E
D
F
C
1
2
3

典型例题：如图，根据下列条件，可以判定哪两条直线平行，并说明判定的根据是什么？

解答：⑴∵∠2＝∠B ， ∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行。）
　　　⑵∵∠1＝∠D ， ∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行。）
　　　⑶∵∠3＋∠F＝180°，∴AC∥DF（同旁内角互补，两直线平行。）

A
B
C
D
E
F
1
2
3
4

5.3平行线的性质

1、平行线的性质：
　性质1：两直线平行，同位角相等；
　性质2：两直线平行，内错角相等；
几何符号语言：
解 ：∵AB∥CD
　 ∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
　 ∵AB∥CD
　∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）
　 ∵AB∥CD
　 ∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
　性质3：两直线平行，同旁内角互补。

　2、命题：
⑴命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。
⑵命题的组成：
每个命题都是题设、结论两部分组成。题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项。命题常写成“如果……，那么……”的形式。具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论。
　注意：命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述；命题的结论部分，有时也可用“求证……”或则……”等形式表述。
3、平行线的性质与判定 ①平行线的性质与判定是互逆的关系
　两直线平行　 　　　　同位角相等；
　两直线平行 　　　　　内错角相等；
　两直线平行 　　　　　同旁内角互补。
其中，由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质。

A
D
E
B
C
1
2
典型例题：已知∠1＝∠B，求证：∠2＝∠C
　　证明：∵∠1＝∠B（已知）
　　　　　∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）
　　　　　∴∠2＝∠C（两直线平行，同位角相等）
注意：在了DE∥BC，不需要再写一次了，得到了DE∥BC，这可以把它当作条件来用了。
典型例题：如图，AB∥DF，DE∥BC，∠1＝65°，求∠2、∠3的度数
A
D
F
B
E
C
1
2
3
解答：∵DE∥BC（已知）
　　　∴∠2＝∠1＝65°（两直线平行，内错角相等）
　　　∵AB∥DF（已知）
　　　∴AB∥DF（已知）
　　　∴∠3＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
　　　∴∠3＝180°－∠2＝180°－65°＝115°
5.4平移
1、平移变换
　①把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。
　②新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点
　③连接各组对应点的线段平行且相等
2、平移的特征：
　①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化。
　②经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。
A
D
B
E
C
F
典型例题：如图，△ABC经过平移之后成为△DEF，那么：
⑴点A的对应点是点＿＿＿＿＿＿＿＿＿；⑵点B的对应点是点＿＿＿＿＿＿。

⑶点＿＿＿＿＿的对应点是点F；⑷线段AB的对应线段是线段＿＿＿＿＿＿＿；
⑸线段BC的对应线段是线段＿＿＿＿＿＿＿；⑹∠A的对应角是＿＿＿＿＿＿。
　　⑺＿＿＿＿的对应角是∠F。
解答：
　⑴D；⑵E；⑶C；⑷DE；⑸EF；⑹∠D；⑺∠ACB。
思维方式：利用平移特征：平移前后对应线段相等，对应点的连线段平行或在同一直线上解答。

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