专题——圆锥曲线定值问题.doc

高三二轮——圆锥曲线中的“定值”问题
概念与用法
圆锥曲线中的定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点．解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求的定值．具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值．
基本解题数学思想与方法
在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则称该变量具有定值特征．
解答此类问题的基本策略有以下两种：
1、把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关．
2、把相关几何量用曲线系里的参变量表示，再证明结论与求参数无关．
题型示例
一．证明某一代数式为定值：
1、如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB.
若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；
解：设M（y,y0），直线ME的斜率为k(l>0)，直线MF的斜率为－k，
直线ME方程为
∴由，消
解得；同理
∴(定值)
所以直线EF的斜率为定值 ▲利用消元法
2、已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且＝λ（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．证明·为定值
解：由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由＝λ，
即得　　(－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，所以

将①式两边平方并把y1＝x12，y2＝x22代入得　　y1＝λ2y2 ③
解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，
抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x．所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是
y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2，即y＝x1x－x12，y＝x2x－x22．
解出两条切线的交点M的坐标为(，)＝(，－1)．
所以·＝(，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝(x22－x12)－2(x22－x12)＝0
所以·为定值，其值为0．　　 ▲利用不变因素
3、已知椭圆分别交于点。
解：设。 由
，而
为定值。 ▲利用辅助元
解析几何中的定值问题是数学中的重要问题，求解这类问题需要综合应用解析几何和代数的相关知识与方法。以上几种思维策率是高中数学中常用到的。要注意体会。
二．证明动直线过定点或动点在定直线上问题
4、如图,椭圆的两焦点，与短轴两端点，构成为,面积为的菱形。 （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆相交于、两点(、不是左右顶点),且以为直径的圆过椭圆右顶点．求证:直线过定点,并求出该定点的坐标．
解：椭圆的方程为
（2） 由
，即

设M，则有
因为以为直径的圆过椭圆右顶点，所以
，而 代入并整得

，化简整理得到

均满足判别式大于0，所以
当
当
三．探索曲线在某条件下某一代数式是否取定值
5、已知一动圆M,恒过点F，且总与直线相切,（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（Ⅱ）探究在曲线C上,是否存在异于原点的两点,当时,直线AB恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.
解：(1) 因为动圆M,过点F且与直线相切,所以圆心M到F的距离等于到直线的距离。所以,点M的轨迹是以F为焦点, 为准线的抛物线,且,
所以所求的轨迹方程为
(2) 假设存在A,B在上, 所以,直线AB的方程:,
即 即AB的方程为:,
即 即:，
令,得，所以,无论为何值,直线AB过定点(4,0)
练兵场
1、点P是椭圆上任一点，A、B是该椭圆上关于原点对称的两点，那么是否为定值？
思考：把椭圆改成双曲线，结论是否仍然成立？
2、过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，判断是否为定值，若是定值，求出该定值。
3、已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于。
（1） 求椭圆C的标准方程
（2） 过椭圆的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，求证为定值。
4、已知椭圆的两个焦点分别为，点P在椭圆上，且满足，直线y=kx+m于圆相切，与椭圆相交于A、B两点，（1）求椭圆的方程；（2）证明为定值。
易错点
1，设参时不够大胆，或者不够准确；
2，化简时存在厌烦的心态或者利用条件关系不充分

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