第一章集合复习课(含答案).doc

集合的概念与运算复习课
1． 集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
2. 集合间的关系
(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．
(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则AB(或BA)．
(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅B(B≠∅)．
(4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个．
(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
3．集合的运算

集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形

符号
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
4. 集合的运算性质
并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.
交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A.
题型一　集合的基本概念
例1　(1)下列集合中表示同一集合的是 (　　)
A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)} B．M＝{2,3}，N＝{3,2}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1} D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}
(2)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝________.
思维启迪：解决集合问题首先要考虑集合的“三性”：确定性、互异性、无序性，理解集合中元素的特征．
答案　(1)B　(2)2
解析　(1)选项A中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M与N不是同一个集合．选项C中的集合M表示由直线x＋y＝1上的所有的点组成的集合，集合N表示由直线x＋y＝1上的所有的点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合．选项D中的集合M有两个元素，而集合N只含有一个元素，故集合M与N不是同一个集合．对选项B，由集合元素的无序性，可知M，N表示同一个集合．
(2)因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，
所以a＋b＝0，得＝－1，
所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.
探究提高　(1)用描述法表示集合时要把握元素的特征，分清点集、数集；(2)要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最容易被忽视，因此要对计算结果进行检验，防止所得结果违背集合中元素的互异性．
　若集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，则实数a＝________.
答案　0或
解析　∵集合A的子集只有两个，∴A中只有一个元素．
当a＝0时，x＝符合要求．
当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a×2＝0，∴a＝.故a＝0或.
题型二　集合间的基本关系
例2　已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1
综上，m的取值范围为m≤4.
探究提高　(1)集合中元素的互异性，可以作为解题的依据和突破口；(2)对于数集关系问题，往往利用数轴进行分析；(3)对含参数的方程或不等式求解，要对参数进行分类讨论．
已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.
答案　4
解析　由log2x≤2，得04，即c＝4.
题型三　集合的基本运算
例3　设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁UA)∩B＝∅，则m的值是________．
思维启迪：本题中的集合A，B均是一元二次方程的解集，其中集合B中的一元二次方程含有不确定的参数m，需要对这个参数进行分类讨论，同时需要根据(∁UA)∩B＝∅对集合A，B的关系进行转化．
答案　1或2
解析　A＝{－2，－1}，由(∁UA)∩B＝∅，得B⊆A，
∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠∅.
∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．
①若B＝{－1}，则m＝1；
②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；
③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2.
经检验知m＝1和m＝2符合条件．
∴m＝1或2.
探究提高　本题的主要难点有两个：一是集合A，B之间关系的确定；二是对集合B中方程的分类求解．集合的交、并、补运算和集合的包含关系存在着一些必然的联系，这些联系通过Venn图进行直观的分析不难找出来，如A∪B＝A⇔B⊆A，(∁UA)∩B＝∅⇔B⊆A等，在解题中碰到这种情况时要善于转化，这是破解这类难点的一种极为有效的方法．
　设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}B＝{x|x2＋a<0}．
(1)当a＝－4时，求A∩B和A∪B；
(2)若(∁RA)∩B＝B，求实数a的取值范围．
解　(1)∵A＝{x|≤x≤3}，
当a＝－4时，B＝{x|－23}，
当(∁RA)∩B＝B时，B⊆∁RA，即A∩B＝∅.
①当B＝∅，即a≥0时，满足B⊆∁RA；
②当B≠∅，即a<0时，B＝{x|－整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S，有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的．若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V＝Z，且∀a，b，c∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是 (　　)
A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的
B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的
C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的
D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的
思维启迪：本题是一道新定义问题试题，较为抽象，题意难以理解，但若“以退为进”，取一些特殊的数集代入检验，即可解决．
答案　A
解析　不妨设1∈T，则对于∀a，b∈T，∵∀a，b，c∈T，都有abc∈T，不妨令c＝1，则ab∈T，故T关于乘法是封闭的，故T、V中至少有一个关于乘法是封闭的；若T为偶数集，V为奇数集，则它们符合题意，且均是关于乘法是封闭的，从而B、C错误；若T为非负整数集，V为负整数集，显然T、V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V＝Z，且∀a，b，c∈T，有abc∈T，∀x，y，z∈V，有xyz∈V，但是对于∀x，y∈V，有xy>0，xy∉V，D错误．故选A.
探究提高　本题旨在考查我们接受和处理新信息的能力，解题时要充分理解题目的含义，进行全面分析，灵活处理．
　已知集合S＝{0,1,2,3,4,5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x－1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个．
答案　6
解析　由成对的相邻元素组成的四元子集都没有“孤立元素”，如{0,1,2,3}，{0,1,3,4}，{0,1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,4,5}，{2,3,4,5}，这样的集合共有6个．

易错题训练
典例1：(5分)(2012·课标全国)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为 (　　)
A．3　　　　B．6　　　　C．8　　　　D．10
易错分析　本题属于创新型的概念理解题，准确地理解集合B是解决本题的关键，该题解题过程易出错的原因有两个，一是误以为集合B中的元素(x，y)不是有序数对，而是无序的两个数值；二是对于集合B的元素的性质中的“x∈A，y∈A，x－y∈A”，只关注“x∈A，y∈A”，而忽视“x－y∈A”的限制条件导致错解．
解析　∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，
∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4.
∴B＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，
∴B中所含元素的个数为10.
答案　D
温馨提醒　判断集合中元素的性质时要注意两个方面：一是要注意集合中代表元素的字母符号，区分x、y、(x，y)；二是准确把握元素所具有的性质特征，如集合{x|y＝f(x)}表示函数y＝f(x)的定义域，{y|y＝f(x)}表示函数y＝f(x)的值域，{(x，y)|y＝f(x)}表示函数y＝f(x)图象上的点．

遗忘空集致误

典例2：(5分)若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S⊆P，则由a的可取值组成的集合为__________．
易错分析　从集合的关系看，S⊆P，则S＝∅或S≠∅，易遗忘S＝∅的情况．
解析　(1)P＝{－3,2}．当a＝0时，S＝∅，满足S⊆P；
当a≠0时，方程ax＋1＝0的解集为x＝－，
为满足S⊆P可使－＝－3或－＝2，
即a＝或a＝－.故所求集合为.
答案　
温馨提醒　(1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．(2)在解答本题时，存在两个典型错误．一是忽略对空集的讨论，如S＝∅时，a＝0；二是易忽略对字母的讨论．如－可以为－3或2.因此，在解答此类问题时，一定要注意分类讨论，避免漏解.

方法与技巧
1． 集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．
2． 对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号．
3． 对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图．这是数形结合思想的又一体现．
失误与防范
1． 空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．
2． 解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．
3． 解答集合题目，认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．
4． Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．
5． 要注意A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁UA⊇∁UB、A∩(∁UB)＝∅这五个关系式的等价性．

A组　专项基础训练

(时间：35分钟，满分：57分)

一、选择题(每小题5分，共20分)
1． (2012·广东)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁UM等于 (　　)
A．U B．{1,3,5} C．{3,5,6} D．{2,4,6}
答案　C
解析　∵U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，∴∁UM＝{3,5,6}．
2． (2011·课标全国)已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有(　　)
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
答案　B
解析　∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，∴M∩N＝{1,3}．
∴M∩N的子集共有22＝4个．
3． (2012·山东)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁UA)∪B为 (　　)
A．{1,2,4} B．{2,3,4}
C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}
答案　C
解析　∵∁UA＝{0,4}，B＝{2,4}，∴(∁UA)∪B＝{0,2,4}．
4． 已知集合M＝{x|≥0，x∈R}，N＝{y|y＝3x2＋1，x∈R}，则M∩N等于 (　　)
A．∅ B．{x|x≥1}
C．{x|x>1} D．{x|x≥1或x<0}
答案　C
解析　由≥0，得
∴x>1或x≤0，∴M＝{x|x>1或x≤0}，N＝{y|y≥1}，
M∩N＝{x|x>1}．
二、填空题(每小题5分，共15分)
5． 已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，则a＝__________.
答案　－1或2
解析　由a2－a＋1＝3得a＝－1或a＝2，经检验符合．由a2－a＋1＝a，得a＝1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去．故a＝－1或2.
6． 已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝_________.
答案　{(0,1)，(－1,2)}
解析　A、B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．
7． (2012·天津)已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝
(－1，n)，则m＝________，n＝________.
答案　－1　1
解析　A＝{x|－5m＋2}，∵A⊆∁RB，
∴m－2>3或m＋2<－1，即m>5或m<－3.
9． (12分)设符号@是数集A中的一种运算：如果对于任意的x，y∈A，都有x@y＝xy∈A，则称运算@对集合A是封闭的．设A＝{x|x＝m＋n，m、n∈Z}，判断A对通常的实数的乘法运算是否封闭？
解　设x＝m1＋n1，y＝m2＋n2，那么xy＝(m1＋n1)×(m2＋n2)＝(m1n2＋m2n1)＋m1m2＋2n1n2.
令m＝m1m2＋2n1n2，n＝m1n2＋m2n1，则xy＝m＋n，
由于m1，n1，m2，n2∈R，所以m，n∈R.
故A对通常的实数的乘法运算是封闭的．

B组　专项能力提升

(时间：25分钟，满分：43分)

一、选择题(每小题5分共15分)
1． (2012·湖北)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0的集合S的个数是 (　　)
A．57 B．56 C．49 D．8
答案　B
解析　由S⊆A知S是A的子集，又∵A＝{1,2,3,4,5,6}，∴满足条件S⊆A的S共有26＝64(种)可能．又∵S∩B≠∅，B＝{4,5,6,7,8}，∴S中必含4,5,6中至少一个元素，而在满足S⊆A的所有子集S中，不含4,5,6的子集共有23＝8(种)，∴满足题意的集合S的可能个数为64－8＝56.
3． (2011·湖北)已知U＝{y|y＝log2x，x>1}，P＝{y|y＝，x>2}，则∁UP等于 (　　)
A. B.
C．(0，＋∞) D．(－∞，0]∪
答案　A
解析　∵U＝{y|y＝log2x，x>1}＝{y|y>0}，
P＝{y|y＝，x>2}＝{y|00}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝____________.
答案　(1,2]
解析　M＝{x|lg x>0}＝{x|x>1}，
N＝{x|x2≤4}＝{x|－2≤x≤2}，
∴M∩N＝{x|x>1}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|1a－1)y＝15}，若M∩N＝∅，则a的值为____________．
答案　1，－1，，－4
解析　集合M表示挖去点(2,3)的直线，集合N表示一条直线，因此由M∩N＝∅知，点(2,3)在集合N所表示的直线上或两直线平行，由此求得a的值为1，－1，，－4.
6． 设A＝{x||x|≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}，若A∩B＝∅，则实数t的取值范围是__________．
答案　(－∞，－3)
解析　A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{y|y≤t}，
由A∩B＝∅知，t<－3.
三、解答题
7． (13分)已知集合A＝{y|y2－(a2＋a＋1)y＋a(a2＋1)>0}，B＝{y|y＝x2－x＋，0≤x≤3}．
(1)若A∩B＝∅，求a的取值范围；
(2)当a取使不等式x2＋1≥ax恒成立的a的最小值时，求(∁RA)∩B.
解　A＝{y|ya2＋1}，B＝{y|2≤y≤4}．
(1)当A∩B＝∅时，
∴≤a≤2或a≤－.
(2)由x2＋1≥ax，得x2－ax＋1≥0，
依题意Δ＝a2－4≤0，∴－2≤a≤2.
∴a的最小值为－2.
当a＝－2时，A＝{y|y<－2或y>5}．
∴∁RA＝{y|－2≤y≤5}，∴(∁RA)∩B＝{y|2≤y≤4}．