圆周角与圆心角复习讲义.doc

知识框架
圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
即：①∟AOB=∟DOE；②AB=DE；
③OC=OF；④ 弧=弧
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵∟AOB和∟ACB是弧所对的圆心角和圆周角
∴∟AOB=2∟ACB
2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：在⊙中，∵∟C、∟D都是所对的圆周角
∴∟C=∟D
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙中，∵是直径 或∵∟C=90°
∴ ∟C=90° ∴是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△中，∵OC=OA=OB
∴△是直角三角形或∟C=90°
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
【典型例题】
考点一：圆心角，弧，弦的位置关系
例1、如图，BE是半径为6的圆D的 四分之一圆周，C点是BE上的任意一点，△ABD是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（　　）

例2、下列语句中正确的是（　　）
A、相等的圆心角所对的弧相等 B、平分弦的直径垂直于弦
C、长度相等的两条弧是等弧 D\经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
例3、有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（　 　）

例4、（2007•重庆）如图AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出下列五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧AE是劣孤DE的2倍；⑤AE=BC．其中正确结论的序号是

考点二：圆周角定理
例1 如图， ABC中，∠A=60°，BC为定长，以BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E．连接DE，已知DE=EC．下列结论：①BC=2DE；②BD+CE=2DE．其中一定正确的有（ 　　）
例2、（2011•衢州）一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD为（　　）

例3、 （2010•荆门）如图，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为 AN^的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（　　）

、

考点三：内接圆的四边形的性质
例1、（2006•宁德）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BCD=110°，则∠BAD为（　　）

例2、（2008•济宁）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，若∠CAD=76°，则∠CBD= 度．

例3、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD交BD于点E，⊙O的半径为4，
∠BAD=60°，∠BCA=15°，则AE=
【课堂练习】
1、（2004•南宁）如图，D、E分别是⊙O的半径OA、OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE，则 AC^与 CB^弧长的大小关系是

2、如图，已知AB是⊙O的直径，PA=PB，∠P=60°，
则弧CD所对的圆心角等于 度．

3、（2009•哈尔滨）如图，在⊙O中，D、E分别为半径OA、OB上的点，且AD=BE．点C为弧AB上一点，连接CD、CE、CO，∠AOC=∠BOC．
求证：CD=CE．

4、 （2011•重庆）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数等于（　　）
5、（2011•福建）如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C=40°，则∠ABD的度数为（　　）

6、（2005•镇江）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，D、E是⊙O上两点，则∠D= 度，∠E= 度
7、在△ABC中，∠A=150°，BC=6cm，则△ABC的外接圆的半径为 cm．
8、如图，点A、B、C、D、E将圆五等分，则∠CAD＝ 度。
9、如图，点A、B、C在⊙O上，∠C＝150°，则∠AOB＝ 。
10、如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径，AD、BC相交于点E，若∠ABC＝50°，通过计算，请再写出其他两个角的度数（不添加新的字母或线段）： 。

第8题 第9题 第10题
11.如图所示，已知：AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，
求证：CE=BE

12．如图所示，△ABC为圆内接三角形，AB＞AC，∠A的平分线AD交圆于D，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：BE=CF

☆ 13．如图所示，在△ABC中，∠BAC与∠ABC的平分线AE、BE相交于点E，延长AE交△ABC的外接圆于D点，连接BD、CD、CE，且∠BDA=60°
（1） 求证△BDE是等边三角形；
（2） 若∠BDC=120°，猜想BDCE是怎样的四边形，并证明你的猜想。

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