偏微数值解复习、练习题.doc

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第一章 复习题
1、建立差分格式的三个主要步骤.
2、差分格式的相容性、收敛性概念。
3、Poisson 方程的5点菱形差分格式，矩形、非矩形区域情形边界条件的处理(离散化)。
4、对长方形区域作正方形网格剖分,求解Poisson方程边值问题的五点菱形差分格式，按什么顺序对节点编号,可使差分方程带宽更窄?
5、差分方程有哪些共同特性，求解选用哪类方法？
6、极值原理。
7、5点菱形差分格式求解Poisson 方程第一边值问题的收敛性。
第一章 练习题
1、设有边值问题

取h=0.1的正方形网格.
（1） 用5点菱形格式在内点建立差分格式；
（2） 用截断误差为的方法离散化第三边界条件（有两种方式)；
（3） 写出整理后的差分方程的矩阵形式

2、定义方形算子如下：

试讨论5点方形差分方程逼近微分方程的截断误差是几阶?
3、设有，
取h=1/3，列出5点方形差分格式所得的差分方程。

第二章 复习题
1、差分格式稳定性与收敛性的定义。
2、有关求特征值的几个结论。
3、判断稳定性的矩阵法和Fourier分析法(Von—Neumann条件）的应用。
4、显隐格式在一般情况下的优缺点。
5、熟悉古典显、隐格式，六点对称隐格式（C-N格式）.
6、叙述Lax等价定理。
7、高维抛物型方程的ADI格式的优点。
8、了解非线性方程差分格式的建立，讨论稳定性的冻结系数法.

第二章 练习题
1、设有求解抛物型方程组的初值问题的差分格式

试写出用Fourier分析法讨论稳定性时的增长矩阵。
2、对上题考虑另一个差分格式

试讨论该格式的稳定性。
3、对抛物型方程，考虑著名的Du Fort—Frankel（1953）格式

(1)推导该格式是否满足稳定性的Von—Neumann条件？
（2）该格式与Richardson格式有什么关系?
4、 讨论求解的古典显格式的稳定性。
5、 写出逼近的古典显格式。
6、 讨论逼近的显格式

的稳定性。
7、 对初值问题:

用截断误差为的方法将右边界条件离散化。

第三章 复习题
1、设有一阶拟线性双曲型方程

（1） 写出相应的特征线方程及特征线上的微分关系;
（2） 熟悉特征线差分计算过程.
2、一阶双曲型方程组的定义、正规形式、特征线及其上的微分关系.
3、对，熟悉以下差分格式：
(1) L-F格式； （2)偏心差分格式；(3）C—I—R格式；
（4) Leap—Frog格式 ; (5） L—W格式.
4、差分格式偏向与特征线走向的关系，CFL条件的几何意义。

第三章 练习题
1、设有,
，取步长h0.2,，试合理选用一阶偏心差分格式（最简显格式）计算u(x,t）在点处的近似值。
2、设有,a,c为常数,考虑差分格式

试讨论（1）该格式的稳定性；（2）该格式的截断误差。

第四章 复习题
1、空间完备性的概念。
2、Banach空间、Hilbert空间的概念。
3、定义、内积、范数.
4、广义导数的定义、唯一性，与古典导数的关系。
5、一阶Sobolev空间的定义、内积、完备性；
二阶Sobolev空间的定义、内积、完备性。
6、变分法基本引理、结论。
7、由边值问题适当选取函数空间（集合），建立双线性泛函与线性泛函，提出两种变分问题。
8、古典解与广义解及其关系.
9、叙述Hilbert空间中变分方程解的存在唯一性定理。
10、变分问题的近似解描述以及Ritz-Galerkin方程的形式。
11、传统（古典）Ritz-Galerkin方法的主要缺点。
12、三角形网格剖分的优点和基本要求.
13、什么是单元形状函数？试探函数？试探函数空间？
14、试探函数的两个基本要求？属于哪个函数集合？、等。
(1)满足强制边界条件（如果有的话）；
（2）有适当的广义导数；
(3)是分段(片）m次多项式。
15、节点基函数有什么特性？会带来什么好处？属于哪个函数空间？、等。
16、提高有限元近似解精度的两个基本原则。
17、按什么原则对节点编号，可使有限元方程组带宽最小？
18、有限元方程组的求解用什么方法较好。
19、（重点）常、偏微分边值问题,m=1，2,3时，分别提出单元形状函数和基函数的插值条件，形成有限元方程组的思路，有限元解的基函数表示。
第四章 练习题
1、对微分方程边值问题

提出两种变分问题.
2、由Green第一公式推导Green第二公式

并对双调和方程边值问题

建立两个相应的变分问题.
3、针对二维Poisson方程,采用线性元求解，对下图的区域网格剖分，如何编号，有限元方程组带宽最小？带宽是多少?有限元方程组是多少阶?

4、设有边值问题

试建立相应的虚功问题和极小位能问题。
5、用线性有限元法求解边值问题

在处的值。（要求导出其相应的变分方程、变分问题，明确写出双线性泛函和线性泛函的具体形式,以及允许函数空间和试探函数空间.在用有限元方法求解时,仅取两个单元即可。)

第五章 复习题
解抛物型方程的有限元方法的思路.

第六章 复习题
1、总纲阵存储方法及特点。
2、有限元节点优化方法。
3、有限元程序设计的预处理。
4、对称性及降维问题.
5、有限元方法与有限差分方法的比较。

第六章 练习题
1、设有一对称矩阵A，其中写有aij的元素都是非零元素，其余全为零元素。

请采用两种方法对该矩阵进行非零元素压缩存储（一维存储），并举例说明如何查找。