平面向量经典模拟题-提高篇.doc

平面向量：
1. 已知向量a＝(1,2)，b＝(2,0)，若向量λa＋b与向量c＝(1，－2)共线，则实数λ等于(　　)
A．－2　　　　　　　　　 B．－
C．－1 D．－
[答案]　C
[解析]　λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)，
∵λa＋b与c共线，
∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1.
2. (文)已知向量a＝(，1)，b＝(0,1)，c＝(k，)，若a＋2b与c垂直，则k＝(　　)
A．－1 B．－
C．－3 D．1
[答案]　C
[解析]　a＋2b＝(，1)＋(0,2)＝(，3)，
∵a＋2b与c垂直，∴(a＋2b)·c＝k＋3＝0，
∴k＝－3.
(理)已知a＝(1,2)，b＝(3，－1)，且a＋b与a－λb互相垂直，则实数λ的值为(　　)
A．－ B．－
C. D.
[答案]　C
[解析]　a＋b＝(4,1)，a－λb＝(1－3λ，2＋λ)，
∵a＋b与a－λb垂直，
∴(a＋b)·(a－λb)＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝.
3. 设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a、b间的夹角为(　　)
A．150° B．120°
C．60° D．30°
[答案]　B
[解析]　如图，在▱ABCD中，
∵|a|＝|b＝|c|，c＝a＋b，∴△ABD为正三角形，
∴∠BAD＝60°，∴〈a，b〉＝120°，故选B.

(理)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a与b的夹角为60°，则|b|＝(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　A
[解析]　∵|a－b|＝，∴|a|2＋|b|2－2a·b＝，
∵|a|＝1，〈a，b〉＝60°，
设|b|＝x，则1＋x2－x＝，∵x>0，∴x＝.
4. 若·＋2＝0，则△ABC必定是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
[答案]　B
[解析]　·＋2＝·(＋)＝·＝0，∴⊥，
∴AB⊥AC，∴△ABC为直角三角形．
5. (文)若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－2,4)，则用a，b表示c为(　　)
A．－a＋3b B．a－3b
C．3a－b D．－3a＋b
[答案]　B
[解析]　设c＝λa＋μb，则(－2,4)＝(λ＋μ，λ－μ)，
∴，∴，∴c＝a－3b，故选B.
(理)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于(　　)
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
[答案]　B
[解析]　∵E为OD的中点，∴＝3，
∵DF∥AB，∴＝，

∴|DF|＝|AB|，∴|CF|＝|AB|＝|CD|，
∴＝＋＝＋＝a＋(－)
＝a＋(b－a)＝a＋b.
6. 若△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·的值为(　　)
A．19 B．14
C．－18 D．－19
[答案]　D
[解析]　据已知得cosB＝＝，故·＝||×||×(－cosB)＝7×5×＝－19.
7. 若向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)相互垂直，则9x＋3y的最小值为(　　)
A．12 B．2
C．3 D．6
[答案]　D
[解析]　a·b＝4(x－1)＋2y＝0，∴2x＋y＝2，∴9x＋3y＝32x＋3y≥2＝6，等号在x＝，y＝1时成立．
8. 若A，B，C是直线l上不同的三个点，若O不在l上，存在实数x使得x2＋x＋＝0，实数x为(　　)
A．－1 B．0
C. D.
[答案]　A
[解析]　x2＋x＋－＝0，∴x2＋(x－1)＋＝0，由向量共线的充要条件及A、B、C共线知，1－x－x2＝1，∴x＝0或－1，当x＝0时，＝0，与条件矛盾，∴x＝－1.
9. (文)已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则·(＋)(　　)
A．最大值为8 B．最小值为2
C．是定值6 D．与P的位置有关
[答案]　C
[解析]　以BC的中点O为原点，直线BC为x轴建立如图坐标系，则B(－1,0)，C(1,0)，A(0，)，＋＝(－1，－)＋(1，－)＝(0，－2)，
设P(x,0)，－1≤x≤1，则＝(x，－)，
∴·(＋)＝(x，－)·(0，－2)＝6，故选C.

(理)在△ABC中，D为BC边中点，若∠A＝120°，·＝－1，则||的最小值是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　∵∠A＝120°，·＝－1，
∴||·||·cos120°＝－1，
∴||·||＝2，
∴||2＋||2≥2||·||＝4，
∵D为BC边的中点，∴＝(＋)，∴||2＝(||2＋||2＋2·)＝(||2＋||2－2)≥(4－2)＝
∴||≥.
10. 如图所示，点P是函数y＝2sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0)的图象的最高点，M，N是该图象与x轴的交点，若·＝0，则ω的值为(　　)

A. B.
C．4 D．8
[答案]　B
[解析]　∵·＝0，∴PM⊥PN，又P为函数图象的最高点，M、N是该图象与x轴的交点，∴PM＝PN，yP＝2，∴MN＝4，∴T＝＝8，∴ω＝.
11. 如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E、F两点，且交其对角线于K，其中＝，＝，＝λ，则λ的值为(　　)

A. B.
C. D.
[答案]　A
[解析]　如图，取CD的三等分点MN，BC的中点Q，则EF∥DG∥BM∥NQ，易知＝，∴λ＝.

12. 已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b与a－2b共线，则m的值为(　　)
A.　　　　　　　　 B．2
C．－2 D．－
[答案]　C
[解析]　ma＋4b＝(2m－4,3m＋8)，a－2b＝(4，－1)，
由条件知(2m－4)·(－1)－(3m＋8)×4＝0，
∴m＝－2，故选C.
13. 在△ABC中，C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足＝2，则·等于(　　)
A．2　　　　 B．3　　　　
C．4　　　　 D．6
[答案]　B

[解析]　·
＝(＋)·
＝(＋)·
＝·＋·
＝||·||·cos45°
＝×3×3×＝3.
14. 在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB＝3，BD＝1，则·＝________.
[答案]　
[解析]　由条件知，||＝||＝||＝3，〈，〉＝60°，〈，〉＝60°，＝，
∴·＝·(＋)＝·＋·＝3×3×cos60°＋×3×3×cos60°＝.

15. 已知向量a＝(3,4)，b＝(－2,1)，则a在b方向上的投影等于________．
[答案]　－
[解析]　a在b方向上的投影为＝＝－.
16. 已知向量a与b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝4，若(2a＋λb)⊥a，则实数λ＝________
[答案]　1
[解析]　∵〈a，b〉＝，|a|＝1，|b|＝4，∴a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＝1×4×cos＝－2，∵(2a＋λb)⊥a，∴a·(2a＋λb)＝2|a|2＋λa·b＝2－2λ＝0，∴λ＝1.
17. 已知：||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设＝m＋n(m，n∈R＋)，则＝________.
[答案]　3
[解析]　设m＝，n＝，则＝＋，

∵∠AOC＝30°，∴||·cos30°＝||＝m||＝m，
||·sin30°＝||＝n||＝n，
两式相除得：＝＝＝，∴＝3.
18. (文)设i、j是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且＝－2i＋j，＝4i＋3j，则△OAB的面积等于________．
[答案]　5
[解析]　由条件知，i2＝1，j2＝1，i·j＝0，∴·＝(－2i＋j)·(4i＋3j)＝－8＋3＝－5，又·＝||·||·cos〈，〉＝5cos〈，〉，
∴cos〈，〉＝－，∴sin〈，〉＝，
∴S△OAB＝||·||·sin〈，〉＝××5×＝5.
19. 已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)．
(1)若a⊥b，求x的值．
(2)若a∥b，求|a－b|.
[解析]　(1)若a⊥b，
则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，
整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
则x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2，
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
∴|a－b|＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|
＝＝2，
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
∴|a－b|＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|
＝＝2.

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