概率论-课后习题解答.doc

以1表示检查到一个正品，例如0110表示第一次与第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可表示为
.
（3）取直角坐标系，则有，若取极坐标系，则有
.
2．设、、为三事件，用、、及其运算关系表示下列事件.
(1) 发生而与不发生；    
(2) 、、中恰好发生一个；      
(3) 、、中至少有一个发生；      
(4) 、、中恰好有两个发生；    
(5) 、、中至少有两个发生；
(6) 、、中有不多于一个事件发生.
解：(1)或或；
(2)；
(3)或；(4).
(5)或；  (6).
3．设样本空间，事件，，具体写出下列事件：
(1)；（2）；（3）；（4）.
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
4. 一个样本空间有三个样本点， 其对应的概率分别为， 求的值.
解：由于样本空间所有的样本点构成一个必然事件，所以

解之得，又因为一个事件的概率总是大于0，所以.
5. 已知=0.3，=0.5，=0.8，求(1)；(2)；
(3).
解：(1)由得
.
(2) .
(3)
6. 设=，且，求.  
解：由=得
，从而
7. 设3个事件、、，，，且，求.  
解：

8. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率.
解：依题意可知，基本事件总数为个.
以表示事件“杯子中球的最大个数为”，则表示每个杯子最多放一个球，共有种方法，故

表示3个球中任取2个放入4个杯子中的任一个中，其余一个放入其余3个杯子中，放法总数为种，故

表示3个球放入同一个杯子中，共有种放法，故

9. 在整数0至9中任取4个，能排成一个四位偶数的概率是多少?  
解：从0至9 中任取4个数进行排列共有10×9×8×7种排法.其中有(4×9×8×7－4×8×7＋9×8×7)种能成4位偶数.  故所求概率为
.
10. 一部五卷的文集，按任意次序放到书架上去，试求下列事件的概率：(1)第一卷出现在旁边；(2)第一卷及第五卷出现在旁边；(3)第一卷或第五卷出现在旁边；(4)第一卷及第五卷都不出现在旁边；(5)第三卷正好在正中.
解：(1)第一卷出现在旁边，可能出现在左边或右边，剩下四卷可在剩下四个位置上任意排，所以.
(2)可能有第一卷出现在左边而第五卷出现右边，或者第一卷出现在右边而第五卷出现在左边，剩下三卷可在中间三人上位置上任意排，所以 .
(3){第一卷出现在旁边}+P{第五卷出现旁边}-P{第一卷及第五卷出现在旁边}.
(4)这里事件是(3)中事件的对立事件，所以 .
(5)第三卷居中，其余四卷在剩下四个位置上可任意排，所以.
11. 把2，3，4，5诸数各写在一张小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率.
解：末位数可能是2或4.当末位数是2(或4)时，前两位数字从剩下三个数字中选排，所以 .
12. 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客.电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率.
解：每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为.事件“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”.所以包含个样本点，于是.
13. 某人午觉醒来,发觉表停了, 他打开收音机,想听电台报时, 设电台每正点是报时一次, 求他(她)等待时间短于10分钟的概率.
解:以分钟为单位, 记上一次报时时刻为下一次报时时刻为60, 于是这个人打开收音机的时间必在 记 “等待时间短于10分钟”为事件 则有于是
14. 甲乙两人相约点在预定地点会面。先到的人等候另一人分钟后离去，求甲乙两人能会面的概率．
解:以分别表示甲、乙二人到达的时刻，那末  ，；若以表示平面上的点的坐标，则样本空间可以用这平面上的边长为4的一个正方形表示，二人能会面的充要条件是，即事件．所以所求的概率为：

15. 现有两种报警系统和，每种系统单独使用时，系统有效的概率，系统的有效概率为，在失灵的条件下，有效的概率为，求
(1) 这两个系统至少有一个有效的概率;
(2) 在失灵条件下，有效的概率.
解：设表示“系统有效”，表示“系统有效”，则

由知.
(1)
(2)
16. 已知事件发生的概率，发生的概率，以及条件概率=0.8，求和事件的概率.  
解：由乘法公式得

所以

17. 一批零件共100个，其中次品有10个．每次从中任取1个零件，取3次，取出后不放回．求第3次才取得合格品的概率．
解：设表示事件“第次取得合格品”，则

18. 有两个袋子，每个袋子都装有只黑球，只白球，从第一个袋中任取一球放入第二个袋中，然后从第二个袋中取出一球，求取得黑球的概率是多少？
解：设从第一个袋子摸出黑球A，从第二个袋中摸出黑球为B，则
，，，，
由全概公式知:
.
19.  一个机床有的时间加工零件，其余时间加工零件．加工零件时，停机的概率是0.3，加工零件时，停机的概率时0.4，求这个机床停机的概率．
解：设表示“机床停机”，表示“加工零件”，表示“加工零件”，则

20. 10个考签中有4个难签，3个人参加抽签考试，不重复地抽取，每人一次，甲先，乙次，丙最后.证明3人抽到难签的概率相同.
证明：设甲、乙、丙分别抽到难签的事件为，则，显然.

  21. 两部机器制造大量的同一种机器零件，根据长期资料总结，甲、乙机器制造出的零件废品率分别是0.01和0.02．现有同一机器制造的一批零件，估计这一批零件是乙机器制造的可能性比它们是甲机器制造的可能性大一倍，现从这批零件中任意抽取一件，经检查是废品．试由此结果计算这批零件是由甲生产的概率．
解：设表示“零件由甲生产”，表示“零件是次品”，则

由贝叶斯公式有

22. 有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4．如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是、、，而乘飞机则不会迟到．结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？
解： 用表示“朋友乘火车来”，表示“朋友乘轮船来”，表示“朋友乘汽车来”，表示“朋友乘飞机来”，表示“朋友迟到了”.则

23. 加工一个产品要经过三道工序，第一、二、三道工序不出现废品的概率分别是0.9、0.95、0.8．若假定各工序是否出废品相互独立，求经过三道工序而不出现废品的概率．
解：设分别表示第一、二、三道工序不出现废品，则由独立性得

24. 三个人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别是0.2、1/3、0.25．求密码被破译的概率．
解：设分别表示第一、二三个人破译出密码，则
由独立性得

25. 对同一目标，3名射手独立射击的命中率是0.4、0.5和0.7，求三人同时向目标各射一发子弹而没有一发中靶的概率?
解：设分别表示第一、二、三个射手击中目标，则
由独立性得
.
26. 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击， 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6， 若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率.
解：设依次表示甲、乙、丙击中飞机，分别表示有人击中飞机，表示飞机被击落，则

由全概率公式，得

27. 证明：若三个事件、、独立则、及都与独立．
证明: (1)
=.
  (2).
(3)=.
28. 15个乒乓球中有9个新球，6个旧球，第一次比赛取出了3个，用完了放回去，第二次比赛又取出3个，求第二次取出的3个球全是新球的概率．
解：设=第一次取出个新球，，表示第二次取出3个新球，则
.
  29. 要验收一批100件的物品，从中随机地取出3件来测试，设3件物品的测试是相互独立的，如果3件中有一件不合格，就拒绝接收该批物品.设一件不合格的物品经测试查出的概率为0.95，而一件合格品经测试误认为不合格的概率为0.01，如果这100件物品中有4件是不合格的，问这批物品被接收的概率是多少？
解： 设=抽到的3件物品中有i件不合格品，.=物品被接收，则

30. 设下图的两个系统和中各元件通达与否相互独立，且每个元件通达的概率均为，分别求系统和通达的概率.

解： 设分别表示系统与通达,
(1)解法一

解法二：

(2)  

习题二参考答案
1. 随机变量的所有可能取值为：1，2，3，4，5，6，分布律为：

1
2
3
4
5
6

2. (1) ；(2) .

3. 随机变量的分布律为：

0
1
2

因为，那么
当时，，

当时，,
当时，
,
当时，
.
综合上述情况得
随机变量的分布函数为：
4. .

5. （1）0.0729；（2）0.00856；（3）0.99954；（4）0.40951.
设表示设备被使用的个数
则
（1）
（2）

（3）
（4）
6. （1）0.321；（2）0.243.
设X为甲投篮中的次数，Y为乙投篮中的次数，则
（1）

（2）

7. (1) ；(2) 猜对3次的概率约为，这个概率很小，根据实际推断原理，可以认为他确有区分能力.
（1）所求概率为：
（2）令试验10次中成功次数为X，则

猜对3次的概率约为，这个概率很小，根据实际推断原理，可以认为他确有区分能力.
8. (1) ；(2) .
设X服从泊松分布，其分布率为：

（1）
（2）
9. 解：此题为P=0.005的n重伯努利试验，设X为同时发生故障的台数，则

（1）设需要配备个维修工人，设备发生故障不能及时排除的事件是，即
               ，                                        

而由于n=200，P=0.005，所以可以用泊松分布近似替代二项分析，λ=np=1。

查泊松分布表得，求得，即配备4人即可。
（2）
因维修工人只有一个，设备发生故障不能及时排除的事件是，则有

（3）由于是2人共同维修100台设备，这里n=100，P=0.005， λ=np=0.5，则有

设备发生故障不能及时排除的事件是，所以

10. 0.2.

11. (1) ，1，；(2) .
12. (1) ；
（2）；
(3) .
13. (1) ；
当时，，所以，；
当时，，所以，．
当时，，所以
综合上述得：
．
(2)
当时，，所以，；
当时，，所以，．
当时，，所以，．
当时，，所以，

综合上述得：

14. ；.
当时，，所以，；

15. 0.9547.
当时，，所以，；
当时，，所以
，
器件的寿命大于1500小时的概率：

设为器件的寿命大于1500小时的个数，至少有2只寿命大于1500小时的概率

16. 当时，，所以，；
当时，，所以
，
分布函数：

某顾客离开的概率：

以表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，则
，即，；

17. (1) 0.5328，0.9996，0.6977，0.5；(2) =3；(3) .
(1)

(2)
（3）因为 ，则

即 ，可知，那么
所以查表得，。
18. 应允许最大为31.25.
根据题意，，所以有，

即，从而
故允许最大为31.25.
19. 129.8.
根据题意，，所以有，

即，从而
20. 0.682.
题意，考生外语成绩

其中，且
于是：
又

查表知：
由的单调增加性，得
因此，
故
查表得，
故
21. 184厘米.
设车门的最低高度
根据题意，，所以有，

即，从而
故车门的最低高度为184.
22. (1)

0

4

0.3
0.2
0.4
0.1
处理后立即得到的分布率

0

4

0.2
0.7
0.1
(2)

-1
0
-1
0

0.3
0.2
0.4
0.1
处理后立即得到的分布率

-1
1

0.7
0.3
23. (1)

-1
1
2

0.3
0.5
0.2
(2)

1
1
2

0.3
0.5
0.2
处理后立即得到的分布率

1
2

0.8

0.2
24. (1) 的密度函数为 ，的分布函数为

    所以的密度函数为  
故
(2) 的密度函数为 ，的分布函数为

    所以的密度函数为  
；
(3) 的密度函数为 ，的分布函数为
    所以的密度函数为  
.
25. 的密度函数为
(1)设，则有
。
  所以 ，因此当及时，由知；
当时，由知，所以所求密度函数为
；
(2) 设，由于在区间上是严格单调递减函数，则有
，当时；
  所以所求密度函数为：
(3)

.

习题三参考答案
1. .

.
2. (1) 有放回摸取时的分布律为
，
，

0
1
0

1

(2) 无放回摸取时的分布律为
，
，

     

0
1
0

1

3. (1) 有放回摸取时，的边缘分布律为

0
1

0

1

(2) 无放回摸取时，的边缘分布律为

0
1

0

1

此结果说明不同的联合分布律可以确定相同的边缘分布律，因此边缘分布不能唯一确定联合分布.
4. (1) 的联合分布律为

0
1
-1

0
0

(2) 离散型随机变量X和Y的联合分布函数为

5.
因为与相互独立，所以

以此类推，得到下表

-
1
3
-2

-1

0

6. 的分布律

1
2
3
4
1

2

3

4

(1) 的边缘分布律
由条件分布率
，
，
在的条件下，的条件分布律；
.

.
.

1
2
3
4
P
0
1
0
0

(2) 的边缘分布律
由条件分布率
，
在的条件下，的条件分布律；
.
.
.
.

1
2
3
4
P
0

0

7. (1)；

(2)；

(3).
8.  (1)

(2).

9. 由题意知命中点与靶心(坐标原点)的距离为，先求的分布函数，
当时，
当时，

令，则变换的雅可比行列式为

故

.
10. (1)
y=2x+1
-1/2  

由轴轴以及直线所围成的三角形区域的面积，
因此的概率密度函数为：
；
(2)分布函数为：
(a)当时，

(b)

当时，

(c)

当时，

综上所述
.
11.

所以
；；1.
12.

所以
；.
13.

所以
；.
14.
由轴，轴以及直线所围成的三角形区域的面积，
因此的概率密度函数为：
；

所以
.
15. 密度函数

所以
；，，.
.
16. (1)
因为

所以和相互独立；
(2) 因为
所以和不相互独立.
17.

1
2
3
1

2

若、独立，则

同理可得

；.
18. 习题12中

；.
因为
所以和相互独立。

习题13中

；.
因为
所以和不相互独立。

习题12中的和相互独立；习题13中的和不相互独立.
19. 由题设知
，
又和相互独立，故和的联合概率密度为

事件{的二次方程有实根}={判别式}=
故得

.
20. 的概率密度函数为

和相互独立.
21.

，因此和相互独立.
22.

(1) 若z≤0,则
不可能事件的概率等于0.
(2) 若0<z<1,

(3) 若z≥1,

于是得随机变量X+Y的密度函数为

23.
的概率密度函数

，先求的分布函数
当时，
当时，

令，则变换的雅可比行列式为

故

24.

令，

满足，

25.

满足，

26. 由和的概率密度函数可得，的分布函数分别为

于是

习题4解答

1.设随机变量X的分布律为

0
1
2

求:, 及.
解: 由期望的定义,可得,
.
从而 ,
.
2.把4个球随机地投入4个盒子中,设X表示空盒子的个数,求:和.
解:先求X的概率分布.X的可能取值为0,1,2,3.于是
,
,
,
.
于是
,
,
.
3.设随机变量X的概率密度为

求:和.
解: .
.
   4.设随机变量X的概率密度为

求:和.
解 ,
.
于是
.
5.设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,求.
解: 由于X服从二项分布,所以和.于是有
.
6.已知随机变量X服从参数为2的泊松分布,求.
解: 因为X服从参数为2的泊松分布,所以,从而
.
7.设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,一周5个工作日,若无故障,可获利润10万元;发生一次故障仍可获利润5万元;若发生两次故障,或利润0元;若发生3次或3次以上故障就要亏损2万元.求一周内的利润期望.
解: 设这部机器内有X天发生故障,一周的利润为Y万元,由题意可知,且

则

 8.设某工厂生产的圆盘,其直径在区间上服从均匀分布,求该圆盘面积的数学期望.
解: 设X表示圆盘的直径,由题意可知X的概率密度为

于是该圆盘面积的数学期望为
.
9.设随机变量X的概率密度为

求: (1) ;(2) 的数学期望.
解: (1) 由于X服从参数为1的指数分布,故.
从而 .
（2）.
10.设随机变量和是相互独立的,且服从同一分布,已知的分布律为
.又设,.
(1) 求二维随机变量(X,Y)的分布律;
(2) 求和.
解: (1) (X,Y)的分布律为

(2) 由(X,Y)的分布律可得关于X的边缘分布律为

故
.
.
   11.设随机变量(X,Y)的概率密度为

求:,,和.
解: .
.
.
.
12.设随机变量X,Y分别服从参数为2和4的指数分布,
(1)求:,.
(2)设X,Y相互独立,求,.
解: (1) 由于X,Y分别服从参数为2和4的指数分布,故,
.
因此
,
又.
从而
.
   (2) ,.
13.设,,且X和Y相互独立,求随机变量的概率密度.
解: 因为,,且X和Y相互独立,于是
,
.
即有
.
从而随机变量的概率密度为
.
14.设有10个猎人正等着野鸭飞过来,当一群野鸭飞过头顶时,他们同时开了枪,但他们每个人都是随机地,彼此独立地选择自己的目标.如果每个猎人独立地射中其目标的概率均为,试求当10只野鸭飞来时,没有被击中而飞走的野鸭数的期望值.
解: 设

飞走的野鸭的期望值可表示为
.
又由于
.
因此
.
15.一个骰子掷10次,求得到的总点数的期望.
解: 令表示第次掷骰子的点数,于是总点数的期望可表示为
.
又
.
因此
.
16.设随机变量X和Y的联合概率密度为

求:,, .
解: 关于X和Y的边缘分布律为

所以
,
.
又

因此
.

17.设随机变量(X,Y)的概率密度为

求:,, .
解:     .
.

故
.

18.设随机变量服从拉普拉斯分布,其概率密度为
.
(1)求和.
(2)求与的协方差，并问与是否不相关?
(3)问与是否相互独立？
解 (1),而
,
所以.
(2)  
,
故X与不相关.
(3),又
,
故.可见X与不相互独立.
19.已知随机变量X服从二项分布,且和,求二项分布的参数的值.
解: 由,可得.由,可得.
从而由上解得
.
20.某流水生产线上每个产品不合格的概率为,各产品合格与否相互独立,当出现一个不合格品时即停机检修.设开机后第一次停机时已产生了的产品个数为X,求和.
解:  记.而X可能取的值为全体自然数.由题意得

.
于是
.
因为
,
所以
.
又因为

.
于是
.
故
.
21.设随机变量X在区间上服从均匀分布,随机变量

求:和.
解: 由题意,X的概率密度为

则
.
.
故
.
.
故
.
22.设随机变量X概率密度为

对X独立地观察4次,用Y表示观察值大于的次数,求的数学期望.
解: 因为
.
故,得
.
所以
.
23.设随机变量Y服从参数为1的指数分布,随机变量

求: (1)的分布律;
(2) .
解: 由已知,Y的概率密度为

所有可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).
(1).
.
.
.
(2)
.
24.设X和Y是两个相互独立且均服从正态分布的随机变量,求.
解: 记,由,知
..
即
.
所以
.
25.已知随机变量，，且和的相关系数为．设．
(1)求和；
(2)求和的相关系数．
解 (1)由题意知, .而

所以

(2)  

，
因此和的相关系数为０．
26.设为随机事件，且，，，令
，
求：(1)二维随机变量的分布律；(2)和的相关系数．
解  又

(1)

故(X,Y)的分布律为

(2) 由(1)易得关于X,Y的边缘分布律分别为

故

而由(X,Y)的分布律,可知

故得

27．将一枚硬币重复掷次，以和分别表示正面向上和反面向上的次数，求和的相关系数．
解 因为,所以.故,

所以X和Y的相关系数为
.
习题5解答

1．设为随机变量，，，试估计．
解:由切比雪夫不等式,有
.
2．某路灯管理所有20000只路灯，夜晚每盏路灯开的概率为0.6，设路灯开关是相互独立的，试用切贝雪夫不等式估计夜晚同时开着的路灯数在11000-13 000盏之间的概率．
解: 记X为晚上开着的路灯数，则，因此
                      ,
.
由切比雪夫不等式有
.
3．在重伯努利试验中，若已知每次试验中事件出现的概率为0.75，请利用切贝雪夫不等式估计，使出现的频率在0.74至0.76之间的概率不小于0.90.
解:假设
, .
,则, ,其中,所以
.
解得.
4．某批产品合格率为0．6，任取10000件，其中合格品在5980件到6020件之间的概率是多少？
解: 假设X表示任取10000件产品中,合格品的数量,则
.
即,
根据中心极限定理,近似服从标准正态分布,则

.
5．某保险公司有3000个同一年龄段的人参加人寿保险，在一年中这些人的死亡率为0.1%．参加保险的人在一年的开始交付保险费100元，死亡时家属可从保险公司领取10000元．求：
(1)保险公司一年获利不少于240000元的概率；
(2)保险公司亏本的概率．
解:假设X表示一年内死亡的人数,则
.
且,并根据中心极限定理, 近似服从标准正态分布,则　(1)保险公司一年内获利不少于240000元的概率为:
.
(2)保险公司亏本的概率为:
.
6．计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差相互独立且在上服从均匀分布，
(1)将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？
(2)最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.9？
解: 假设表示每次计算时,所得到的误差,则
,,
表示1500个数相加,所得到误差总和,,根据中心极限定理, 近似服从标准正态分布,
(1)
(2)假设最多可有n个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90:

解得.
7．对敌人的防御地带进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个均值为2，方差为1.69的随机变量．求在100次轰炸中有180到220颗炸弹命中目标的概率．
解:假设
,
则表示100次轰炸中,击中目标的总次数,则,根据中心极限定理, 近似服从正态分布,则有

.
8．有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3米，现从这批木柱中随机地取100根，求其中至少有30根短于3米的概率．
解: 设,，则表示100根木柱中,短于3米的数目,且
,,
.
9．分别用切比雪夫不等式与德莫弗-拉普拉斯定理确定：当掷一枚硬币时，需要掷多少次才能保证出现正面的频率在0.4和0.6之间的概率不少于0.9？
解: 设,，则表示掷n次硬币,正面向上的次数,,这里是出现正面的频率．下面分别用切比雪夫不等式和德莫弗-拉普拉斯定理估计n,
(1)由切比雪夫不等式:
.
.
(2)由德莫弗-拉普拉斯定理

.
,即n至少要取68.
10．已知在某十字路口，一周内事故发生数的数学期望为2.2，标准差为1.4，
(1)以表示一年内(52周计)此十字路口事故发生数的算术平均，使用中心极限定理求的近似分布，并求；
(2)求一年内事故发生数小于100的概率．
解:(1)经计算,根据中心极限定理, 近似服从期望为2.2,方差为的正态分布,即.且

(2)一年内事故发生数少于100的概率为:

11．为检验一种新药对某种疾病的治愈率为80%是否可靠，给10个患该疾病的病人同时服药，结果治愈人数不超过5人，试判断该药的治愈率为80%是否可靠．
解:假设,.则,表示10个服用该药的患者的治愈人数,则根据德莫弗-拉普拉斯定理X近似服从,所以
.
由此可以看出假定治愈率为80%是不可靠的.
12．一公寓有200个住户，一户住户拥有汽车辆数的分布律为

0
1
2

0.1
0.6
0.3

问需要多少车位，才能使每辆汽车都有一个车位的概率至少为0.95？
解：假设表示第i户人家拥有的汽车数，则, ,根据中心极限定理, 近似服从,所以假设需要n个车位,才能使每辆汽车都具有一个车位的概率至少为0.95,即
.
.
13．甲、乙两个戏院在竞争1000名观众，假设每个观众可随意选择戏院，观众之间相互独立，问每个戏院应该设有多少座位才能保证因缺少座位而使观众离去的概率小于1%．
解:假设,.则表示1000名观众中选择甲戏院的人数,根据题意已知
,
于是
.
根据德莫弗-拉普拉斯定理,X近似服从.由假设每个戏院设有n个座位才能保证因缺少座位而使观众离去的概率小于1%,即
.
.

55