反比例函数压轴题精选(含标准答案).doc

2009-2013年中考反比例函数经典结论： 如图，反比例函数的几何意义： (I) ；图图 (II) 。 下面两个结论是上述结论的拓展.(1) 如图，。 (2)如图， ，。 经典例题例1.(1)(兰州)如图，已知双曲线经过矩形边的中点且交于点，四边形的面积为2，则 2 ； (2)如图，点为直线上的两点，过两点分别作轴的平行线交双曲线于两点，若，则 6 例2(2013陕西) 如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象交，那么值为 24 .解析：因为A，B在反比例函数上，所以，我们知道正比例函数与反比例函数的交点坐标关于原点成中心对称，因此中有，所以例3(2010山东威海) 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A2，5，C5，n，交y轴于点B，交x轴于点D OABCxyD(1) 求反比例函数和一次函数的表达式； (2) 连接OA，OC求AOC的面积 解：(1) 反比例函数的图象经过点A2，5， m=(2)( 5)10 反比例函数的表达式为 点C5，n在反比例函数的图象上， C的坐标为5，2 一次函数的图象经过点A，C，将这两个点的坐标代入，得 解得 所求一次函数的表达式为yx3(2) 一次函数y=x3的图像交y轴于点B， B点坐标为0，3 OB3 A点的横坐标为2，C点的横坐标为5， SAOC= SAOB+ SBOC=例4（2007福建福州）如图，已知直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为（1）求的值；（2）若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积；（3）过原点的另一条直线交双曲线于两点（点在第一象限），若由点为顶点组成的四边形面积为，求点的坐标图1解：（1）点横坐标为，当时，点的坐标为点是直线与双曲线的交点，（2）解法一：如图1，点在双曲线上，当时，点的坐标为过点分别做轴，轴的垂线，垂足为，得矩形，图2解法二：如图2，过点分别做轴的垂线，垂足为，点在双曲线上，当时，点的坐标为点，都在双曲线上，图3，（3）反比例函数图象是关于原点的中心对称图形，四边形是平行四边形图4设点横坐标为，得过点分别做轴的垂线，垂足为，点在双曲线上，若，如图3，解得，（舍去）若，如图4，解得，（舍去）点的坐标是或例5.(山东淄博) 如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）（1）求反比例函数的解析式；（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标；（3）连接OF，OE，探究AOF与EOC的数量关系，并证明【答案】解：（1）设反比例函数的解析式，反比例函数的图象过点E（3，4），即。反比例函数的解析式。（2）正方形AOCB的边长为4，点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4。点D在反比例函数的图象上，点D的纵坐标为3，即D（4,3）。 点D在直线上，解得。 直线DF为。将代入，得，解得。点F的坐标为（2，4）。（3）AOFEOC。证明如下：在CD上取CG=CF=2，连接OG，连接EG并延长交轴于点H。AO=CO=4，OAF=OCG=900，AF=CG=2，OAFOCG（SAS）。AOF=COG。EGB=HGC，B=GCH=900，BG=CG=2，EGBHGC（AAS）。EG=HG。设直线EG：，E（3，4），G（4，2），解得，。直线EG：。令，得。H（5，0），OH=5。在RAOF中，AO=4，AE=3，根据勾股定理，得OE=5。OH=OE。OG是等腰三角形底边EH上的中线。OG是等腰三角形顶角的平分线。EOG=GOH。EOG=GOC=AOF，即AOFEOC。例6.(2009山东威海) 一次函数的图象分别与轴、轴交于点，与反比例函数的图象相交于点过点分别作轴，轴，垂足分别为；过点分别作轴，轴，垂足分别为与交于点，连接（1）若点在反比例函数的图象的同一分支上，如图1，试证明：；OCFMDENKyx（图1）OCDKFENyxM（图2）（2）若点分别在反比例函数的图象的不同分支上，如图2，则与还相等吗？试证明你的结论解：（1）轴，轴，四边形为矩形轴，轴，四边形为矩形轴，轴，四边形均为矩形， ， ， ， 由（1）知，OCDKFENyxM图2轴，四边形是平行四边形同理 （2）与仍然相等，又， ， 轴， 四边形是平行四边形 同理 第一部分练习一、选择题1.(2009年鄂州)如图，直线y=mx与双曲线y=交于A、B两点，过点A作AMx轴，垂足为M，连结BM,若=2，则k的值是 A.2 B.m2 C.m D.42.(2009兰州) 如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数 （）的图象上，则点E的坐标是（ ， ）. 3.(2009泰安）如图，双曲线经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D。若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为 A BC D 4.（2009仙桃）如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C若OBC的面积为3，则k_5.(2009年牡丹江市)如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若则 xyABOyxOP1P2P3P4P5A1A2A3A4A56.（2009年莆田）如图，在轴的正半轴上依次截取，过点分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得直角三角形并设其面积分别为则的值为 第4题图 第5题图 第6题图7.（2009年包头）已知一次函数与反比例函数的图象在第一象限相交于点，与轴相交于点轴于点，的面积为1，则的长为 8.（2010 嵊州市）如图,直线与双曲线交于两点,则的值为 A.5 B.10 C.5 D.10 【答案】B yOxACB9.（2010江苏无锡）如图，已知梯形ABCO的底边AO在轴上，BCAO，ABAO，过点C的双曲线 交OB于D，且OD：DB=1:2，若OBC的面积等于3，则k的值 A等于2B等于C等于D无法确定 【答案】B 第7题图 第8题图 第9题图10.（2010江苏盐城）如图，A、B是双曲线 上的点， A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若SAOC=6则k= 【答案】411.（2010安徽蚌埠二中）已知点（1，3）在函数的图像上。正方形的边在轴上，点是对角线的中点，函数的图像又经过、两点，则点的横坐标为_。 【答案】12.（2010四川内江）如图，反比例函数y(x0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E若四边形ODBE的面积为6，则k的值为 yxOBCAABCDEyxOMA1 B2 C3 D4 【答案】B 第10题图 第11题图 第12题图13.（2011山东东营）如图,直线和双曲线交于A、B亮点,P是线段AB上的点（不与A、B重合）,过点A、B、P分别向x轴作垂线,垂足分别是C、D、E,连接OA、OB、OP,设AOC面积是S1、BOD面积是S2、POE面积是S3、则 A. S1S2S3 B. S1S2S3 C. S1=S2S3 D. S1=S2l)则OAB的面积(用m表示)为 A. B. C. D.答案：B22.（2013江苏苏州）如图，菱形OABC的顶点C的坐标为(3，4)，顶点A在x轴的正半轴上反比例函数y(x0)的图象经过顶点B，则k的值为 A12 B20 C24 D32【答案】D解：过C点作CDx轴，垂足为D点C的坐标为（3，4），OD=3，CD=4OC= OD2+CD2=32+42=5OC=BC=5点B坐标为（8，4），OxyBAC反比例函数y=（x0）的图象经过顶点B，k=3223.（2013山东临沂）如图，等边三角形OAB的一边OA在x轴上，双曲线y在第一象限内的图象经过OB边的中点C，则点B的坐标是 A（1，）B（，1） C（2，）D（，2）【答案】：C24.(2013湖北孝感）如图，函数y=x与函数的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D则四边形ACBD的面积为 A2B4C6D8解答：解：过函数的图象上A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，SAOC=SODB=|k|=2，又OC=OD，AC=BD，SAOC=SODA=SODB=SOBC=2，四边形ABCD的面积为：SAOC+SODA+SODB+SOBC=42=8故选D25.（2013四川内江）如图，反比例函数（x0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为 A1B2C3D4解答：解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则SOCE=，SOAD=，过点M作MGy轴于点G，作MNx轴于点N，则SONMG=|k|，又M为矩形ABCO对角线的交点，S矩形ABCO=4SONMG=4|k|，由于函数图象在第一象限，k0，则+9=4k，解得：k=3 故选C26.(2013四川乐山)如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y = 的图象上，第二象限内的点B在反比例函数 y = 的图象上，且OA0B ，cotA= ，则k的值为 A3 B.6 C. D.227.（2013贵州省黔东南州）如图，直线y=2x与双曲线y=在第一象限的交点为A，过点A作ABx轴于B，将ABO绕点O旋转90，得到ABO，则点A的坐标为 A. B. 或 C. 或 D. 或解答：解：联立直线与反比例解析式得：，消去y得到：x2=1， 解得：x=1或1， y=2或2，A（1，2），即AB=2，OB=1， 根据题意画出相应的图形，如图所示，可得AB=AB=AB=2，OB=OB=OB=1，根据图形得：点A的坐标为（2，1）或（2，1）故选D28. （2013威海）如图，在平面直角坐标系中，AOB=90，OAB=30，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点B，则下列关于m，n的关系正确的是（）Am=3nBm=nCm=nDm=n解答：解：过点B作BEx轴于点E，过点A作AFx轴于点F，设点B坐标为（a，），点A的坐标为（b，），OAB=30，OA=OB， 设点B坐标为（a，），点A的坐标为（b，），则OE=a，BE=，OF=b，AF=， BOE+OBE=90，AOF+BOE=90，OBE=AOF， 又BEO=OFA=90，BOEOAF， =，即=，解得：m=ab，n=， 故可得：m=3n故选A二、填空题1.（2010湖北武汉）如图，直线y与y轴交于点A，与双曲线y在第一象限交于点B，C两点，且ABAC4，则k OxyABC 答案： 2.（2010 福建德化）如图，直线与双曲线（）交于点将直线向下平移个6单位后，与双曲线（）交于点，与轴交于点C，则C点的坐标为_；若，则 【答案】（，123.（2010湖南衡阳）如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C若OBC的面积为3， 则k_ 【答案】24.（2011宁波市）如图，正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数y（x0）的图像上，顶点A1、B1分别在x轴和y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y（x0）的图象上，顶点A3在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为 【答案】（1，1）5.（2011安徽芜湖）如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC，反比例函数经过正方形AOBC对角线的交点，半径为（）的圆内切于ABC，则k的值为 【答案】46.（2011湖北武汉市）如图，ABCD的顶点A，B的坐标分别是A（1，0），B（0，2），顶点C，D在双曲线y=上，边AD交y轴于点E，且四边形BCDE的面积是ABE面积的5倍，则k=_ _【答案】127.（2011湖北孝感） 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且ABx轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD的面积为矩形，则它的面积为 .【答案】28.（2011湖北荆州，16，4分）如图，双曲线经过四边形OABC的顶点A、C，ABC90，OC平分OA与轴正半轴的夹角，AB轴，将ABC沿AC翻折后得到ABC，B点落在OA上，则四边形OABC的面积是.【答案】29.（2012浙江温州）如图，已知动点A在函数(xo)的图象上，ABx轴于点B，ACy轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点，使AE=AC.直线DE分别交x轴，y轴于点P,Q.当QE：DP=4:9时，图中的阴影部分的面积等于_.如图，作EFy轴，DHx轴，由题意得：QEFDHP，QE：DP=4:9设AC= a,则AB=，,HP=，AEDDHP，S阴影=）10.（2012聊城）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（3a，a）是反比例函数y=（k0）的图象上与正方形的一个交点若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为 解答：解答：解：反比例函数的图象关于原点对称，阴影部分的面积和正好为正方形面积的，设正方形的边长为b，则b2=9，解得b=6，正方形的中心在原点O， 直线AB的解析式为：x=3，点P（3a，a）在直线AB上， 3a=3，解得a=1，P（3，1）， 点P在反比例函数y=（k0）的图象上，k=3， 此反比例函数的解析式为：y= 故答案为：y=11.（2012衢州）如图，已知函数y=2x和函数的图象交于A、B两点，过点A作AEx轴于点E，若AOE的面积为4，P是坐标平面上的点，且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P点坐标是 P1（0，4）P2（4，4）P3（4，4） 解答：解：如图AOE的面积为4，函数的图象过一、三象限，k=8，函数y=2x和函数的图象交于A、B两点，A、B两点的坐标是：（2，4）（2，4），以点B、O、E、P为顶点的平行四边形共有3个，满足条件的P点有3个，分别为：P1（0，4），P2（4，4），P3（4，4）故答案为：P1（0，4），P2（4，4），P3（4，4）12.(2012甘肃兰州)如图，M为双曲线y上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线yxm于点D、C两点，若直线yxm与y轴交于点A，与x轴相交于点B，则ADBC的值为 解答：解：作CEx轴于E，DFy轴于F，如图，对于yxm，令x0，则ym；令y0，xm0，解得xm，A(0，m)，B(m，0)，OAB等腰直角三角形，ADF和CEB都是等腰直角三角形，设M的坐标为(a，b)，则ab，CEb，DFa，ADDFa，BCCEb，ADBCab2ab2 故答案为213.（2012.深圳）如图，双曲线与O在第一象限内交于P、Q 两点，分别过P、Q两点向x轴和y轴作垂线，已知点P坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为 【答案】4。【分析】O在第一象限关于y=x对称，也关于y=x对称，P点坐标是（1，3）， Q点的坐标是（3，1）， S阴影=13+13211=4。14.(2012扬州)如图，双曲线y经过RtOMN斜边上的点A，与直角边MN相交于点B，已知OA2AN，OAB的面积为5，则k的值是 12 解答：解：过A点作ACx轴于点C，如图，则ACNM， OACONM，OC：OMAC：NMOA：ON，而OA2AN，即OA：ON2：3，设A点坐标为(a，b)，则OCa，ACb，OMa，NMb， N点坐标为(a，b)，点B的横坐标为a，设B点的纵坐标为y，点A与点B都在y图象上， kabay，yb，即B点坐标为(a，b)，OA2AN，OAB的面积为5，NAB的面积为，ONB的面积5， NBOM，即(bb)a，ab12， k12 故答案为1215.（2012武汉）如图，点A在双曲线y=的第一象限的那一支上，AB垂直于x轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若ADE的面积为3，则k的值为 解答：解：连DC，如图，AE=3EC，ADE的面积为3，CDE的面积为1，ADC的面积为4，设A点坐标为（a，b），则AB=a，OC=2AB=2a，而点D为OB的中点， BD=OD=b，S梯形OBAC=SABO+SADC+SODC，（a+2a）b=ab+4+2ab， ab=，把A（a，b）代入双曲线y=， k=ab=16.(2012成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数(为常数，且)在第一象限的图象交于点E，F过点E作EMy轴于M，过点F作FNx轴于N，直线EM与FN交于点C若(为大于l的常数)记CEF的面积为，OEF的面积为，则 =_ (用含的代数式表示)答案：（k的几何意义，线段比的转化，面积的几种求法）17.（2013湖北黄冈）已知反比例函数y在第一象限的图象如图所示，点A在其图象上，点B为x轴正半轴上一点，连接AO、AB，且AOAB，则SAOB C【答案】6【解析】如下图，过点A作ACOB于点C，AOAB，OCBC而ACAC，AOAB，AOCABCSAOCSABC设点A的坐标为(x，y)(x0，y0)，则xy6，ACy，OCx，SAOB2SAOC2OCACxy618.（2013四川宜宾）如图，直线与双曲线交于点A，将直线向右平移个单位后，与双曲线交于点B，与x轴交于点C，若，则k= 【答案】12【解析】首先求出平移后直线的解析式，然后直线与双曲线两解析式联立方程组求出点A的纵坐标，平移后的直线解析式6与双曲线两解析式联立方程组，求出点B的纵坐标，根据相似三角形对应边成比例的性质可得A、B的纵坐标的比等于AO：BC，然后列出方程求解即可 19.（2013四川泸州）如图，在函数的图像上，都是等腰直角三角形，斜边、，都在轴上（n是大于或等于2的正整数），则点的坐标是 ；点的坐标是 （用含n的式子表示）【答案】；【解析】过点P1作P1Ex轴于点E，过点P2作P2Fx轴于点F，过点P3作P3Gx轴于点G，根据P1OA1，P2A1A2，P3A2A3都是等腰直角三角形，可求出P1，P2，P3的坐标，从而总结出一般规律得出点Pn的坐标21.（2013山东日照）如右图，直线AB交双曲线于、B，交x轴于点C,B为线段AC的中点，过点B作BMx轴于M，连结OA.若OM=2MC,SOAC=12.则k的值为_.【答案】8【解析】过点A作ADx轴于点D,则ADO的面积为k, BMx轴,ADBM, B为线段AC的中点，BM为ADC的中位线，DM=MC, OM=2MC, OD=DM=MC.SOAC=3SOAD,=12=，k=8.22.（2013宁波）如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，BCA=90，AC=BC=2，反比例函数y=（x0）的图象分别与AB，BC交于点D，E连结DE，当BDEBCA时，点E的坐标为 【答案】（，）【解析】如图，BCA=90，AC=BC=2，反比例函数y=（x0）的图象分别与AB，BC交于点D，E，BAC=ABC=45，且可设E（a，），D（b，），C（a，0），B（a，2），A（2a，0），易求直线AB的解析式是：y=x+2a又BDEBCA，BDE=BCA=90，直线y=x与直线DE垂直，点D、E关于直线y=x对称，则=，即ab=3又点D在直线AB上，=b+2a，即2a22a3=0，解得，a=，点E的坐标是（，）23.（2013自贡）如图，在函数的图象上有点P1、P2、P3、Pn、Pn+1，点P1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1、P2、P3、Pn、Pn+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3、Sn，则S1= 4 ，Sn= （用含n的代数式表示）解答：解：当x=2时，P1的纵坐标为4，当x=4时，P2的纵坐标为2，当x=6时，P3的纵坐标为，当x=8时，P4的纵坐标为1，当x=10时，P5的纵坐标为：，则S1=2（42）=4=2；S2=2（2）=2=2；S3=2（1）=2=2；Sn=2=； 故答案为：4，24.（2013遵义）如图，已知直线y=x与双曲线y=（k0）交于A、B两点，点B的坐标为（4，2），C为双曲线y=（k0）上一点，且在第一象限内，若AOC的面积为6，则点C的坐标为 （2，4） 解答：解：点B（4，2）在双曲线y=上，=2，k=8，根据中心对称性，点A、B关于原点对称，所以，A（4，2），如图，过点A作AEx轴于E，过点C作CFx轴于F，设点C的坐标为（a，），则SAOC=SCOF+S梯形ACFESAOE=8+（2+）（4a）8，=4+4，=，AOC的面积为6， =6，整理得，a2+6a16=0，解得a1=2，a2=8（舍去）， =4，点C的坐标为（2，4）故答案为：（2，4）25.(2013年武汉)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC2AB，A，B两点的坐标分别是（1，0），（0，2），C，D两点在反比例函数的图象上，则的值等于 答案：12解析：如图，过C、D两点作x轴的垂线，垂足为F、G，CG交AD于M点，过D点作DHCG，垂足为H，CDAB，CD=AB，CDHABO（AAS），DH=AO=1，CH=OB=2，设C（m，n），D（m1，n2），则mn（m1）（n2）=k，解得n=22m，设直线BC解析式为y=ax+b，将B、C两点坐标代入得，又n=22m，BC，AB，因为BC2AB，解得：m2，n6，所以，kmn1226.(咸宁)如图，一次函数的图像与轴、轴交于两点，与反比例函数的图象相交于两点，分别过两点作轴、轴的垂线，垂足为，连接。有以下四个结论：；.其中正确的结论是 . 三、解答题1.(2010兰州) 如图，P1是反比例函数在第一象限图像上的一点，点A1 的坐标为(2，0) （1）当点P1的横坐标逐渐增大时，P1O A1的面积 将如何变化？ （2）若P1O A1与P2 A1 A2均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及A2点的坐标2.（2010内蒙呼和浩特）在平面直角坐标系中，函数y（x0，m是常数）的图像经过点A（1，4）、点B（a，b），其中a1.过点A作x中的垂线，垂足为C，过点B作y轴的垂线，垂足为D，AC与BD相交于点M，连结AD、DC、CB与AB.（1）求m的值；（2）求证：DCAB；（3）当ADBC时，求直线AB的函数解析式. 【答案】解：（1）点A（1，4）在函数y的图像上，4，得m4.2分（2）点B（a，b）在函数y的图像上，ab4.又ACx轴于C，BDy轴于D交AC于M，ACBD于MM（1，b），D（0，b），C（1，0）tanBAC，tanDCM4分tanBAC tanDCM，所以锐角BACDCM，DCAB6分（3）设直线AB的解析式为ykxbABCD，ADBC，四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形. 四边形ABCD是平行四边形时，AC与BD互相平分，又ACBD，B（2，2），解得直线AB的解析式为：y2x6.8分当四边形ABCD是等腰梯形时，BD与AC相等且垂直，ACBD4，B（4，1）同理可求直线AB的解析式为yx5.10分3.（2010年福建省泉州）我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形.你 可以利用这一结论解决问题.如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将轴所在的直线绕着原点逆时针旋转度角后的图形.若它与反比例函数的图象分别交于第一、三象限的点、，已知点、.（1）直接判断并填写：不论取何值，四边形的形状一定是 ; （2）当点为时，四边形是矩形，试求、和有值；观察猜想：对中的值，能使四边形为矩形的点共有几个？(不必说理)（3）试探究：四边形能不能是菱形？若能, 直接写出B点的坐标, 若不能, 说明理由.【答案】解：（1）平行四边形（3分）（2）点在的图象上，（4分）过作，则在中，=30又点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点，点B、D关于原点O成中心对称 OB=OD=四边形为矩形，且； 能使四边形为矩形的点B共有2个；（3）四边形不能是菱形.法一：点、的坐标分别为、四边形的对角线在轴上.又点、分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点.对角线与不可能垂直.四边形不能是菱形法二：若四边形ABCD为菱形，则对角线ACBD，且AC与BD互相平分，