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2016年全国普通高等学校统一招生测验文科数学及解答

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2016年全国普通高等学校统一招生考试
文科数学
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合，则=
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】
试题分析：依据补集的定义，从集合中去掉集合，剩下的四个元素为，故，故应选答案。
（2）若，则=
（A）1 （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】
试题分析：因，则其共轭复数为，其模为，故，应选答案。
（3）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=
（A）30° （B）45°
（C）60° （D）120°
【答案】A
【解析】：
试题分析：因为，故，又因为

所以，所以，应选答案A
（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是

（A）各月的平均最低气温都在0℃以上
（B）七月的平均温差比一月的平均温差大
（C）三月和十一月的平均最高气温基本相同
（D）平均最高气温高于20℃的月份有5个
【答案】D
【解析】
试题分析：从题设中提供的信息及图中标注的数据可以看出：深色的图案是一年十二个月中各月份的平均最低气温，稍微浅一点颜色的图案是一年十二个月中中各月份的平均最高气温，故结合所提供的四个选项，可以确定是不正确的，因为从图中可以看出：平均最高气温高于20只有7、8两个月份，故应选答案。
（5）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I,N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】
试题分析：前2位共有种可能，其中只有1种是正确的密码，因此所求概率为．故选C．
（6）若tanθ= ，则cos2θ=
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】
试题分析：．故选D．
（7）已知，则
(A)b在中 ，B=
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意得，，
∴，，
∴，故选D.
（10）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为

（A）
（B）
（C）90
（D）81
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意得，该几何体为一四棱柱，∴表面积为，故选B.
（11）在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是
（A） （B）（C）（D）
【答案】B
（12）已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】
试题分析：
由题意得，，，根据对称性，不妨，设，
∴，，∴直线BM：，又∵直线BM经过OE中点，
∴，故选A.
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
（13）设xy满足约束条件 则z=2x+3y–5的最小值为______.
【答案】-10
【解析】
试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线过点B时取最小值-10
（14）函数y=sin x–cos x的图像可由函数y=2sin x的图像至少向右平移______个单位长度得到.
【答案】
【解析】
试题分析：，所以至少向右平移
（15）已知直线l：与圆x2+y2=12交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与x轴交于C、D两点，则|CD|= .
【答案】3
【解析】
试题分析：由题意得：,因此
（16）已知f(x)为偶函数，当 时，，则曲线y= f(x)在点(1,2)处的切线方程式_____________________________.
【答案】
【解析】
试题分析：
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
已知各项都为正数的数列满足，.
（I）求；
（II）求的通项公式.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（I）因为，，
所以，解得
同理可得 ，解得
（II）由已知得，即
因为各项都为正数，所以，即，故数列是首项为，公比为的等比数列，其通项公式为
（18）（本小题满分12分）
下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.

注：年份代码1–7分别对应年份2008–2014.
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
附注：
参考数据：，，，≈2.646.
参考公式：
回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

【答案】（1）可用线性回归模型拟合变量与的关系.（2）我们可以预测2016年我国生活垃圾无害化处理 亿吨.
【解析】
试题分析：（1）变量与的相关系数
，
又，，，，，
所以 ，
故可用线性回归模型拟合变量与的关系.
（2），，所以
,
,

（19）（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥地面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.
（I）证明MN∥平面PAB;
（II）求四面体N-BCM的体积.

【答案】（I）见解析；（II）。
【解析】
试题分析：(1)取PB中点Q，连接AQ、NQ，
∵N是PC中点，NQ//BC，且NQ=BC，
又，且，
∴，且．∴是平行四边形．
∴．
又平面，平面，
∴平面．
(2)由(1)平面ABCD．
∴．
∴．
（20）（本小题满分12分）
已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.
（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.
【答案】（I）见解析；（II）
【解析】
试题分析： (Ⅰ)连接RF，PF，

由AP=AF，BQ=BF及AP//BQ，

∴AR//FQ．
(Ⅱ)设，

，准线为，，
设直线与轴交点为，，
∵，∴，∴，即．
设中点为，由得，
又， ∴，即．
∴中点轨迹方程为．
（21）（本小题满分12分）设函数.
I）讨论的单调性；
（II）证明当时，；
（III）设，证明当时，.
【答案】（I）单调减区间为，增区间为;（II）（III）见解析。
【解析】
试题分析：

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点。
（Ⅰ）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；
（Ⅱ）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD。

【答案】(I)60°（II）见解析
【解析】
试题分析：
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（为参数）。以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（）=.
（I）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（II）设点P在C1上，点Q在C2上，求∣PQ∣的最小值及此时P的直角坐标.
【答案】
【解析】
试题分析：
（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)=∣2x-a∣+a.
（I）当a=2时，求不等式f(x) ≤6的解集；
（II）设函数g(x)=∣2x-1∣.当x∈R时，f(x)+ g(x) ≥3，求a的取值范围。

【答案】(I);(II)
【解析】
试题分析：