中职数学-三角函数教案.doc

三角函数
一、任意角
1. 角的概念的推广
⑴“旋转”形成角

⑵“正角”与“负角”“0角”
我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α＝210°，β＝－150°，γ＝660°。

特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角。记法：角或 可以简记成。
2. “象限角”
角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）
3. 终边相同的角
所有与a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合。

二、弧度制
1. 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad，读做弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．
说明：（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0
（2）角 的弧度数的绝对值公式： （l 为弧长， r为半径）
2. 角度制与弧度制的换算：
∵ 360°＝2p rad ∴180°＝p rad
∴ 1°＝

3. 两个公式
1）弧长公式：
由公式： 比公式简单
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积
2）扇形面积公式 其中是扇形弧长，是圆的半径

4. 一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：
角度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
弧度
0
π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
π
角度
210°
225°
240°
270°
300°
315°
330°
360°

弧度
7π/6
5π/4
4π/3
3π/2
5π/3
7π/4
11π/6
2π

5. 应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系

任意角的集合 实数集R

三、任意角三角函数的定义
1. 设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x，y）
则P与原点的距离

（1）把比值叫做的正弦 记作：
（2）把比值叫做的余弦 记作：
（3）把比值叫做的正切 记作：
上述三个比值都不会随P点在的终边上的位置的改变而改变.当角的终边在纵轴上时，即时，终边上任意一点P的横坐标x都为0，所以tan无意义；
它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.以上三种函数统称为三角函数。
三角函数值的定义域：
R
R

2. 三角函数的符号

3. 终边相同的角的同一三角函数值相等
例如390°和－330°都与30°终边位置相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即
sin390°＝sin30°　　 cos390°＝cos30°
sin（－330°）＝sin30°　cos（－330°）＝cos30°
诱导公式一（其中）: 用弧度制可写成

这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题。

4. 三角函数的集合表示：

例1. 在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角

例2. 写出终边在y轴上的角的集合（用0到360度的角表示）

例3. 用集合的形式表示象限角
第一象限的角表示为{a|k×360°终边相同
2. 与120°角终边相同的角是（ ）
A. －600°＋k·360°，ｋ∈Ｚ
B.－120°＋k·360°，ｋ∈Ｚ
C. 120°＋（2k＋1）·180°，ｋ∈Ｚ
D. 660°＋k·360°，ｋ∈Ｚ
3. 角α的终边落在一、三象限角平分线上，则角α的集合是
4. 角α是第二象限角，则180°＋α是第 象限角；－α是第 象限角；180°－α是第________象限角．
5. 一个扇形OAB的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，求∠AOB和弦AB的长.

6. 确定下列各式的符号
（1）sin100°·cos240° （2）sin5+tan5

四、三角函数
（一）三角函数的几何表示
1、有向线段：规定了方向（即规定了起点与终点）的线段称为有向线段。
有向直线：规定了正方向的直线称为有向直线。
有向线段的数量：有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度加上正号与负号，这样所得的数叫做有向线段的数量。记为AB
如图：AB＝3，BC＝2，CB＝－2

2、三角函数线的定义：

有向线段MP、OM、AT都称为三角函数线
（二）同角三角函数的关系
1. 公式：
2. 采用定义证明：

（三）诱导公式
1、诱导公式一：

（其中）
用弧度制可写成

（其中）
诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为0º―360º之间角的正弦、余弦、正切，其方法是先在0º―360º内找出与角终边相同的角，再把它写成诱导公式（一）的形式，然后得出结果。
2、诱导公式二：
用弧度制可表示如下：

3、诱导公式三：

4、诱导公式四：
用弧度制可表示如下：

5、诱导公式五：

6、诱导公式六：
sin（90° -a） = cosa cos（90° -a） = sina.
tan（90° -a） = cota cot（90° -a） = tana.
sec（90° -a） = csca csc（90° -a） = seca
7、诱导公式七：
sin（90° +a） = cosa cos（90° +a） = -sina.
tan（90° +a） = -cota cot（90° +a） = -tana.
sec（90° +a） = -csca csc（90°+a） = seca

例1. 确定角α为何值时，下面的式子有意义。
（1）cosαtanα （2）

例2. 已知，求sin、tan的值。

例5. 求下列各式的值： （1）sin（－）；（2）cos（－60º）－sin（－210º）

巩固练习
1. 已知sinα＋cosα＝，且0＜α＜π，则tanα的值为（ ）
A. B. C. D.
2. = 。
3. 求下列三角函数值：
（1）； （2）；（3）；（4）

五、三角函数的图象和性质
（一）三角函数的周期性
周期函数：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。
说明： ①周期函数x 定义域M，则必有x+T M
②T往往是多值的（如y=sinx 2 ,4 ,…,-2 ,-4 ,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）；正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π
注：在本书中，如果不加以说明，周期都是指函数的最小正周期。

（二）三角函数的性质
1. 几何法作图

第一步：列表。首先在单位圆中画出正弦线和余弦线。在直角坐标系的x轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成几等份，过圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于角，，,…，2π的正弦线及余弦线（这等价于描点法中的列表）。
第二步：描点。我们把x轴上从0到2π这一段分成几等份，把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点。
第三步：连线。用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象。

将y=sinx的图象向左平移即得y=cosx的图象

2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）
（1）正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：
(0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0)
y
x
o
1
-1
（2）余弦函数y=cosx xÎ[0,2p]的图象中，五个关键点是：
(0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1)
3. 正弦函数的性质
（1）定义域：
正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R
分别记作： y＝sinx，x∈R y＝cosx，x∈R
（2）值域
正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］。
其中正弦函数y=sinx,x∈R
①当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1。

②当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1。
而余弦函数y＝cosx，x∈R
①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1。
②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1。
（3）周期性
正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π。
函数
及函数
（其中A，为常数，且）的周期

（4）奇偶性
y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数
正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称
（5）单调性
正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1。
余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1。

例1、若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示
　 (1)求该函数的周期；
（2）求t＝10s时钟摆的高度。

t /s
h /mm

例2、利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合：

例3、求下列函数的定义域：
(1)y＝ (2)y＝

巩固练习
1. 函数y＝2－sinx，x∈［0，π］的最大值为（ ）
A. 0 B. －1 C. 2 D.
2. 直接写出下列函数的定义域、值域：
y＝ y＝

3. 函数y＝ksinx＋b的最大值为2，最小值为－4，求k，b的值。

4. 求的单调递增区间。

5. 求函数y＝－cosx的单调区间。

六、正切函数的图象和性质
1. 正切函数图象的作法

在的区间作出它的图象

，且的图象，称“正切曲线”

正切函数的性质：
1. 定义域：
2. 值域：R
3. 当时，当时
4. 周期性：
5. 奇偶性：奇函数
6. 单调性：在开区间内，函数单调递增

七、函数y=Asin（ωx+φ） （A>0且A¹1，ω>0） 的图象
（一）函数图象的三种变换
1. 振幅变换y=Asinx，xÎR（A>0且A¹1）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标变为原来的A倍而得到。A称为振幅（物体振动时离开平衡位置的最大距离）。
2. 周期变换:函数y=sinωx，xÎR（ω>0且ω¹1）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标变到原来的倍（纵坐标不变）。ω决定了函数的周期。
3. 相位变换: 函数y＝sin（x＋），x∈R（其中≠0）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当＞0时）或向右（当＜0时）平行移动｜｜个单位长度而得到。

例1. 比较与的大小

例2. 求函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性

巩固练习
1. 判断正误
①y＝Asinωx的最大值是A，最小值是－A
②y＝Asinωx的周期是
③y＝-3sin4x的振幅是3，最大值为3，最小值是-3
2. 函数y＝tan（ax＋）（a≠0）的最小正周期为（ ）

3. 已知函数y＝Asin（ωx＋）（A＞0，ω＞0，0＜＜2π＝图象的一个最高点是（2，），由这个最高点到相邻最低点的图象与x轴交于点（6，0），试求函数的解析式。

4. 如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+φ）+B。

（1）求这段时间的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式。

八、两角和与差的余弦

设向量

所以
又
所以
以-b代b得：
两角和与差的余弦公式:

九、两角和与差的正弦
sin(a+b)＝cos[-(a+b)]＝cos[(-a)-b]
＝cos(-a)cosb+sin(-a)sinb
＝sinacosb+cosasinb
即： S（a+b）
以-b代b得： S（a-b）
两角和与差的正弦公式
十、两角和与差的正切
tan(a+b)公式的推导
∵cos (a+b)¹0
tan(a+b)＝
当cosacosb¹0时, 分子分母同时除以cosacosb得：

以-b代b得：
其中都不等于
两角和与差的正切公式

l 小结：两角和与差的正、余弦、正切公式

例1. 计算① cos105° ②cos15° ③coscos-sinsin

例2. 已知sin(a+b)＝,sin(a-b)＝ 求的值

巩固练习
1. 已知，求函数的值域

2. 求的值

十一、二倍角公式的推导
在公式，，中，当时，得到相应的一组公式：
；
；
；
因为，所以公式可以变形为
或
公式，，，统称为二倍角的三角函数公式，简称为二倍角公式。

二倍角公式

注意：
（1）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题。
（2）二倍角公式为仅限于是的二倍的形式，尤其是“倍角”的意义是相对的。
（3）二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想相应角的公式。
（4）熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）
（5）特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：
这两个形式今后常用。

几个三角恒等式
1、积化和差公式的推导
sin(a + b) + sin(a - b) ＝ 2sinacosb Þ sinacosb ＝[sin(a + b) + sin(a - b)]
sin(a + b) - sin(a - b) ＝ 2cosasinb Þ cosasinb ＝[sin(a + b) - sin(a - b)]
cos(a + b) + cos(a - b) ＝ 2cosacosb Þ cosacosb ＝[cos(a + b) + cos(a - b)]
cos(a + b) - cos(a - b) ＝ - 2sinasinb Þ sinasinb ＝ -[cos(a + b) - cos(a - b)]

2、和差化积公式的推导
若令a + b ＝ q，a - b ＝ φ，则， 代入得：

∴

例1. 已知，求sin2a，cos2a，tan2a的值。

例2. 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值。

例3. 若270°＜α＜360°，则等于 （ Ｄ ）
A. sin B. cos C. －sin D. －cos

巩固练习
1、不查表，求下列各式的值
（1）

（2）

（3）

（4）

2、 求值：cos280°＋sin250°－sin190°·cos320°

3、化简：cos20°cos40°cos80°

4、化简下列各式：（可直接写答案）
（1）
（2）
（3）2sin2157.5° - 1 ＝
（4）

课后作业
一、选择题
1、的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
2、若，则2x在（ ）
A、第一、二象限 B、第三、四象限 C、第二、三象限 D、第二、四象限
3、在中，已知则B为（ ）
A．450 B、600 C、600或1200 D 450 或1350
4、已知为锐角，则为（ ）
A、450 B、1350 C、2250 D、450或1350
5、已知则为（ ）
A、48 B、24 C、 D、
6、在中，则这个三角形为（ ）
A、直角三角形 B、锐角三角形 C等腰三角形 D等边三角形、
7、下列与相等的是（ ）
A、 B、 C、 D、
8、在中，若则一定为（ ）
A．直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、无法确定
10、若则为（ ）
A、 1 　B、－１　　　C、 D、
二、填空题
11、=
12、在△ABC中，已知，则
13、在中，已知的面积为
14在 度
15、在△ABC中，已知，那么C= 。
16、已知，，则
17、已知 则的最大值为
18、在中，已知，则那么内角B =
19、已知直线，则直线绕着它与轴的交点旋转45后的直线的斜率为
20、计算=
三、解下列各题
21计算

22、已知， ，求：的值
23、在△ABC中，已知A=，AC=1，△ABC的面积为，求BC边的长

24、若（为第一象限角） 求的值

25． 若角的终边经过点P（-3，4），求和+的值．

26、在△ABC中，已知：，，△ABC的面积为，求的长

27． 在中，角A、C、B成等差数列，，，求：（6分）
(1)的长；
(2)的面积.