2018-2019学年广东省广州市越秀区高一(上)期末.doc

2018-2019学年广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试题

一、单选题
1．已知集合，，则下列关系中正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据集合中元素满足的性质，我们可以判断出元素与集合的关系．
【详解】
因为集合，所以．故选：A．
【点睛】
本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中正确理解集合元素与集合关系的实质，即元素满足集合中元素的性质，是解答本题的关键．
2．若，，则角是　　
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【解析】利用三角函数的定义，可确定，进而可知在第四象限．
【详解】
根据三角函数的定义有，所以，
所以在第四象限，故选：D．
【点睛】
当的终边在不同象限的时候，其三个三角函数值的符号也发生变化，记忆的口诀是“全正切余”即：第一象限全为正，第二象限正弦正，第三象限切为正，第四象限余弦正．
3．已知幂函数的图象经过点，则的值为　　
A．3 B． C． D．
【答案】A
【解析】推导出，由此能求出．
【详解】
代入点，则有，故，所以，故选A．
【点睛】
本题考查幂函数解析式的求法，属于基础题．
4．已知，则对于任意的a，，下列关系中成立的是　　
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据对数的运算性质可以得到正确的选项．
【详解】
因为函数为对数函数，故B正确
【点睛】
对数的运算性质可以分类如下几类：
（1）；
；
（2）；；
（3）．
5．设，，，则　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据对数函数的单调性及中间数可得三个数的大小关系．
【详解】
因为且，
故，选C．
【点睛】
对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，如果底数不统一，可以利用对数的运算性质统一底数.不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递.
6．函数的零点所在的一个区间是　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用零点存在定理可判断零点所在的区间.
【详解】
为上的增函数，
又，故零点所在对的区间为
，选C．
【点睛】
不可解方程的零点所在区间应该通过零点存在定理来寻找，一般地要先考虑函数的单调性，再选择合适的区间，使得，其中要依据解析式的形式来选取（要容易计算）.
7．函数的最小正周期是　　
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用二倍角公式化简可得，再利用公式求最小正周期．
【详解】
，故最小正周期为，选B．
【点睛】
本题考查三角函数最小正周期的求法，是基础题．
8．已知向量，，且，则的值是　　
A．3 B． C． D．
【答案】C
【解析】先利用得到，再利用两角差的正切得到所求的值．
【详解】
因为，故即即，
所以，故选C．
【点睛】
向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 ；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.
9．为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点　　
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】C
【解析】把函数化成即可得平移的方向及其大小．
【详解】
函数可化简为，也就是，故只需把向左平移个单位即可得到的图像，故选C．
【点睛】
三角函数的图像往往涉及振幅变换、周期变换和平移变换，找寻两个不同函数的图像的变换时，首先它们的函数名要相同其次两者之间的周期变换看，左右平移看．注意周期变换和平移变换（左右平移）的次序对函数解析式的影响，比如，它可以由先向左平移个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的，也可以先保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移.
10．已知是偶函数，且在上是减函数，若，则x的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用偶函数的性质把原不等式转化为，再根据上是减函数得到可得．
【详解】
因为为偶函数且在上是减函数，故即，
解得，故选D．
【点睛】
对于偶函数 ，其在对称两侧的单调性是相反的，并且，对于奇函数 ，其在对称两侧的单调性是相同的．另外解函数不等式要利用函数的单调性去掉对应法则．
11．若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为4，的“孪生函数”共有　　
A．4个 B．5个 C．8个 D．9个
【答案】D
【解析】根据值域可得定义域中应该含有的元素，分类列出可得不同函数的种数．
【详解】
令，则；令，则或；令，则或；
设定义域为，中的自变量对于的函数值为，则可取，共有1种情况；同理中的自变量对于的函数值为，则可取，也可取，也可以取，共有3种情况，中的自变量对于的函数值为，则可取，也可取，也可以取，共有3种情况，故不同的定义域的个数为种，它们分别为：
．，，；
．，，；
，故不同函数的种数为9．
【点睛】
函数有三要素即函数的定义域、对应法则和值域，如果知道前两者，则值域是唯一确定的，如果知道值域和对应法则，则定义域不确定，需结合对应法则考虑原像的不同情况．
12．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：
可以享受折扣优惠金额
折扣率
不超过500元的部分

超过500元的部分

若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为　　
A．1500元 B．1550元 C．1750元 D．1800元
【答案】A
【解析】设此商场购物总金额为元，可以获得的折扣金额为元，可得到获得的折扣金额元与购物总金额元之间的解析式，结合，代入可得某人在此商场购物总金额，减去折扣可得答案．
【详解】
设此商场购物总金额为元，可以获得的折扣金额为元，
由题设可知：，
因为，所以，所以，解得，
故此人购物实际所付金额为（元），故选A．
【点睛】
本题为数学应用题，应依据题意构建数学模型（其数学模型为分段函数）后解一元一次不等式可得实际问题的解，注意利用不同范围上的函数值的范围构建需要的不等式．

二、解答题
13．已知向量，，．
若，求实数k的值；
若向量满足，且，求向量．
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）利用坐标运算可得，解这个方程可得；
（2）因向量共线故可设，利用已知的模长可得的值从而得到所求的向量．
【详解】
（1）由题设有，，
因为 ，故，所以．
（2）因为，故，所以，解得，
所以或．
【点睛】
如果，那么：
（1）若，则存在实数使得 且；
（2）若，则；
14．设全集，集合，．
当时，求集合；
若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）求出集合后可得到；
（2）就分类讨论，再根据建立不等式组，解这个不等式组可得要求的范围．
【详解】
（1）当时，，所以，
而，故 ．

（2）当时，，符合；
当时，因为，所以，解得且．
综上，．
【点睛】
含参数的一元二次不等式，其一般的解法是：先考虑对应的二次函数的开口方向，再考虑其判别式的符号，其次在判别式大于零的条件下比较两根的大小，最后根据不等号的方向和开口方向得到不等式的解．注意解中的不等式时可根据包括关系直接得到两个不等根满足的不等式组．
15．如图，现要在一块半径为，圆心角为的扇形纸板POQ上剪出一个平行四边形OABC，使点B在弧PQ上，点A在半径OP上，点C在半径OQ上．

求S关于的函数关系式；
求S的最大值及相应的值．
【答案】（1），；（2）最大值是，相应的值是.
【解析】（1）过作垂足为，则可用的三角函数来表示平行四边形的面积.
（2）利用的范围求出的最大值即可.
【详解】
（1）过作，垂足为
则，，
设平行四边形的面积为，则

，其中，
因，所以，当时， .

【点睛】
非直角三角形中边、角的关系，可通过作高线把非直角三角形转化为直角三角形来考虑．另外对于形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、最值等.
16．阅读下面材料：解答下列问题：
证明：；
若函数在上有零点，求实数m的取值范围．
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】（1）依据的公式推导过程推导即可.
（2）利用诱导公式和的公式把函数化为
，再利用换元法和参变分离法得到方程在上有解，利用函数可得实数的取值范围．
【详解】
（1）证明：

（2）
，
令，则，所以在有解，
参变分离可得在上有解，
令，设，则，
故，所以在上是增函数，
所以的值域为即．
【点睛】
（1）三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法．
（2）方程的有解问题可通过参变分离把问题转化为不含参数的函数的值域问题．

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