必修2平行垂直的判定和性质.doc

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平行、垂直的判定和性质
平行
1．直线与平面平行的判定
　　(1)直线与平面平行的定义：如果一条直线与一个平面没有公共点,我们就说这条直线与这个平面平行．
　　(2）直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
　　符号表示为：．
　　注意：这个定理是证明直线与平面平行最常用的一个定理，也就是说欲证明一条直线与一个平面平行，一是说明这条直线不在这个平面内，二是要证明已知平面内有一条直线与已知直线平行．
2．两个平面平行的判定
　　(1)两个平面平行的定义：两个平面没有公共点,则两个平面平行．
　　（2)平面与平面的平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行．
　　符号表示为:．
　　注意：这个定理的另外一种表达方式为“如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行"．
　　(3）平行于同一平面的两个平面互相平行．即．
3．直线与平面平行的性质
　　（1) 直线与平面平行的性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．
　　符号表示为：．
　　注意:如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和平面内的无数条直线平行，但不能误解为“如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线就和平面内的任意一条直线平行"．
　　（2)直线与平面平行的性质：过平面内一点的直线与该平面平行的一条直线平行，则这条直线在这个平面内．
　　符号表示为:若，点，且，则．
4．平面与平面平行的性质
　　（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行与另一个平面．
　　此结论可以作为定理用，可用来判定线面平行．
　　(2）两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
　　（3)夹在两个平行平面间的平行线段相等．
垂直
1．直线与平面垂直的判定
　　(1)直线与平面垂直的定义
　　如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面垂直，其中直线叫作平面的垂线，平面叫作直线的垂面．
　　注意：①定义中的“任意一条直线”和“所有直线”是同义语，不能改成“无穷多条直线”．
　　②如果或,那么直线l不可能与平面内的任意一条直线都垂直．由此可知，当时，直线l和一定相交，它们唯一的交点叫做垂足．
　　(2)直线和平面垂直的判定定理
　　如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直与这个平面．
　　(3）关于垂直的存在唯一性
　　命题1：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直．命题2:过一点有且只有一个平面和已知直线垂直．
2．平面与平面垂直的判定
　　(1）平面与平面垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角,则称这两个平面互相垂直．
　　（2）两个平面垂直的判定定理
　　如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
　　符号表示为:．
3．直线与平面垂直的性质
　　如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．
　　符号表示：． 作用：可作线线平行的判定定理．
4．平面与平面垂直的性质
　　（1)两个平面垂直的性质定理
　　如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
　　符号表示为:．
　　(2)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．
　　（3)三个两两垂直的平面的交线两两垂直．
(4）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
空间几何定理公理总结：
1.平面的基本性质
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面。
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面.
公理4 同平行于一条直线的两条直线互相平行。
2。等角定理及其推论
定理：若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.
推论:若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角（或直角)相等.
3。平行关系
（1）.线面平行的判定定理：（线线平行线面平行）
如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。推理模式：．
（2）线面平行的性质定理:(线面平行线线平行）
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。推理模式:．

（3）.两个平面平行的判定定理:线面平行面面平行）
如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面,那么这两个平面平行.
定理的模式：
(4)。推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,那么这两个平面互相平行。
模式：
（5）。两个平面平行的性质(面面平行线面平行、线线平行)
（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。
4．垂直关系
(1）直线与平面垂直的判定定理：（线线垂直线面垂直）
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式：
(2）直线和平面垂直的性质定理：
如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
推理模式：
(3）两平面垂直的判定定理：(线面垂直面面垂直)
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
推理模式：
（4)两平面垂直的性质定理:（面面垂直线面垂直）
若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。
推理模式：
典型例题剖析
例1．下列说法正确的是（　　　）
A．若直线a平行于面内的无数条直线，则 B．若直线a在平面外，则
C．若直线a//b，直线，则 D．若直线a//b，直线，则直线a平行于平面内的无数条直线
例2．M、NP为三个不重合的平面，a、b、c为三条不同直线，则下列命题中,不正确的是（　　)
①　　　　　　　② ③　　　　　
④ ⑤　　　　　　⑥
A．④⑥　　　B．②③⑥ C．②③⑤⑥　　　D．②③
例3．E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点，平面过EH分别交BC、CD于F、G．求证：EH//FG. 

例4．如图所示,已知P为所在平面外一点，分别是的重心．求证：平面//平面ABC．

例5．已知平面//平面,，直线AB与CD交于S,且AS=8，BS=9,CD=34，求CS的长．

例6．P是外的一点，PA，PB,PC两两垂直，PA=1，PB=2，PC=3，则的面积为（　　　)
A．　　　　　B． C．　　　　D．
例7．如图所示，在正方体中，E是的中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：平面．

例8.( 1)。已知直线和平面，则下列命题正确的是 （ )

（2）．与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
(3）。设表示平面，表示直线，给定下列四个命题：
①；②;
③;④。
其中正确命题的个数有( ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
例9。如图所示， 四棱锥PABCD底面是直角梯形, 底面ABCD， E为PC的中点, PA＝AD＝AB＝1。
（1）证明: ；
（2）证明: ；
(3）求三棱锥BPDC的体积V。

例10。已知：正方体,，E为棱的中点．
（Ⅰ) 求证：;
(Ⅱ） 求证:平面；
（Ⅲ)求三棱锥的体积．

B1

A1

C1

B

C

A

M

N

例11.三棱柱中，侧棱与底面垂直，，， 分别是，的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ)求证：平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积．

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1。下列命题正确的是（ ）
A。经过三点确定一个平面
B。经过一条直线和一个点确定一个平面
C。四边形确定一个平面
D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
2.下列命题错误的是( ）
A。平面和平面相交，它们只有有限个公共点
B。经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面
C。经过两条相交直线，有且只有一个平面
D.如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合
3下列命题中正确的个数是（ )
（1)若直线上有无数个点不在平面内,则//
(2)若直线与平面平行，则与平面内任一条直线都平行
(3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
(4）若//，则与平面内的任一条直线都没有公共点
A．0 B．1 C．2 D．3
4设是两条直线，是两个平面，则能得到的一个条件是( ）
A． B．
C． D．
5．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：［来源：学_科_网]
① ②［来源：学科网ZXX]
③ ④
其中正确命题的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
7.下列命题中正确的是（ ）
①如果a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
②如果直线a和平面满足a∥，那么a与内的任何直线平行
③如果直线a,b和平面满足a∥，b∥那么a∥b
④如果直线a,b和平面满足a∥b，a∥，b，那么b∥
A。①② B.②③ C。④ D.②③④
8. 直线a，b异面直线， a和平面平行,则b和平面的位置关系是( ）
（A）bÌ　（B）b∥　(C）b与相交　（D）以上都有可能
9.直线与垂直，又垂直于平面,则与的位置关系是（ ）
A。 B。 C。 D。或

10如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是一个正方形，PD垂直于ABCD，则这个四棱锥的五个面中，互相垂直的平面共有（ ）
A.3对 B.4对 C。5对 D。6对

11。垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）
A。平行 B.相交 C.异面 D。以上都有可能
①;②；③；④
A.1个 B。2个 C。3个 D。4个
12已知直线是异面直线，直线分别与都相交，则直线的位置关系
A。可能是平行直线 B。一定是异面直线
C。可能是相交直线 D.平行、相交、异面直线都有可能
13．已知两条直线，两个平面,给出下面四个命题:［来源:学_科_网]
① ②[来源：学科网ZXX］
③ ④
其中正确命题的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
14。 已知，是两条不同直线， ，是两个不同平面，则下列命题正确的是( ）
A。若，垂直于同一平面，则与平行
B.若，平行于同一平面，则与平行
C。若，不平行,则在内不存在与平行的直线
D。若，不平行,则与不可能垂直于同一平面
15。 用、、表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题:
①若∥，∥，则∥；②若⊥，⊥，则⊥；
③若∥，∥,则∥；④若⊥，⊥则∥.
正确的是（ ）
A。 ①② B. ②③ C. ①④ D。③④
16．已知直线、与平面、,下列命题正确的是（ ）
A．且，则 B．且，则
C．且,则 　 D．且，则
17．已知是直线，是平面，下列命题中：
①若垂直于内两条直线，则；
②若平行于，则内可有无数条直线与平行；
③若m⊥n，n⊥l则m∥l；
④若，则;
正确的命题个数为( ）
A．1 B ．2 C．3 D．4
18．已知m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,给出下列命题：
①若，，则；②若，，且，则；③若,,则； ④若,，且，则．其中正确命题的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．①③
19。设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则能得出的是( )
A．，， B．，，
C．，， D．，，
20.如图，已知六棱锥的底面是正六边形，则下列结论正确的是（ ）

A. B。
C。 直线∥ D. 直线所成的角为45°
21。【2015高考浙江】设，是两个不同的平面,，是两条不同的直线，且，（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
22．已知l,m，n是三条不同的直线,α，β是不同的平面，则下列条件中能推出α⊥β的是（ )
A．lα，mβ，且l⊥m
B．lα，mβ，nβ，且l⊥m，l⊥n
C．mα，nβ,m//n，且l⊥m
D．lα，l//m，且m⊥β
23．下面四个命题：
①分别在两个平面内的两直线平行;
②若两个平面平行,则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面;
③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行;
④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行.
其中正确的命题是（　　)
A。①②           B.②④           C。①③           D。②③
24．已知直线，直线,给出下列命题:
①∥；②∥m；③∥;④∥
其中正确命题的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③ D．②④
25.如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且,则下列结论中错误的是（ ）

A．
B．平面
C．三棱锥的体积为定值
D．的面积与的面积相等
26。下列四个命题中，正确命题的个数是（ ）个
① 若平面平面，直线平面，则；
② 若平面平面，且平面平面，则；
③ 平面平面,且，点，,若直线,则;
④ 直线为异面直线，且平面，平面,若，则。
（A） （B） （C） (D）
27。 如图, 在直三棱柱中，,，点是的中点，
（1）求证:;
（2)求证:;

28.如图所示，在直四棱柱中, ，点是棱上一点.
(1）求证:面；
（2）求证：;

29．如图，P是所在平面外一点，，PA=PB=PC，求证:平面PAC平面ABC．

30。如图：在四棱锥中，底面ABCD是菱形,,平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且
（I） 证明：平面AMN；
（II） 求三棱锥N的体积;
（III） 在线段PD上是否存在一点E，使得平面
ACE；若存在，求出PE的长，若不存在，说明
理由.

31.如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，，且，点是的中点．
（1）求证：；
（2）∥平面．

第19题图

32. 一个多面体的直观图（斜二侧画法）及三视图如图所示，，分别为，的中点．
（Ⅰ)求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：平面;
（Ⅲ）求三棱锥的体积．

A
B
C
D
E
F
G
33.如图，矩形中，，,为上的点，且。
（Ⅰ）求证：;
（Ⅱ）求证；;
（Ⅲ）求三棱锥的体积。

34. 如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC=2a，E为AB上一点，将B点沿线段EC折起至点P，连接PA、PC、PD，取PD的中点F，若有AF∥平面PEC。

（1）试确定E点位置;
(2）若异面直线PE、CD所成的角为60°，并且PA的长度大于a，求证：平面PEC⊥平面AECD。

35. 如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，
且，，分别为,的中点．
(I）求证：平面；
（II)求证:平面平面；
（III）求三棱锥的体积．

36。 如图,在直三棱柱中，已知，，设的中点为,。求证：（1）;
（2）.
A
B
C
D
E
A1
B1
C1

37. 如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，，

(I）证明：平面平面;
（II）若， 三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积。
38. 如图2，四边形为矩形，平面，，，作如图3折叠,折痕.其中点、分别在线段、上，沿折叠后点在线段上的点记为，并且。
（1）证明：平面;
（2）求三棱锥的体积.

[基础训练A组]
一、选择题
1．下列四个结论:
⑴两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线平行。
⑵两条直线没有公共点,则这两条直线平行。
⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。
⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线和这个平面平行。
其中正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
2．下面列举的图形一定是平面图形的是( ）
A．有一个角是直角的四边形 B．有两个角是直角的四边形
C．有三个角是直角的四边形 D．有四个角是直角的四边形
3．垂直于同一条直线的两条直线一定（ )
A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能
4．如右图所示，正三棱锥(顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中,分别是 的中点,为上任意一点，则直线与所成的角的大小是（　　)
A． B． C． D．随点的变化而变化。

5．互不重合的三个平面最多可以把空间分成( )个部分
A． B． C． D．
6．把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线和平面所成的角的大小为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
1． 已知是两条异面直线，，那么与的位置关系____________________。
2． 直线与平面所成角为,,则与所成角的取值范围是 _________
3．棱长为的正四面体内有一点，由点向各面引垂线，垂线段长度分别为
，则的值为 。
4．直二面角－－的棱上有一点，在平面内各有一条射线，
与成，，则 。
5．下列命题中：
（1)、平行于同一直线的两个平面平行;
(2）、平行于同一平面的两个平面平行；
（3)、垂直于同一直线的两直线平行;
（4）垂直于同一平面的两直线平行.
其中正确的个数有_____________。
三、解答题
1．已知为空间四边形的边上的点,
且．求证：。

[综合训练B组］
一、选择题
1．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形,且侧棱垂直于底面）高为，体积为，则这个球的表面积是（ ）
Ａ．　　　　Ｂ．　　　　
Ｃ．　　　　Ｄ．
2．已知在四面体中，分别是的中点,若,
则与所成的角的度数为（　　）
Ａ．　　　Ｂ．　　　
Ｃ．　　 Ｄ．
3．三个平面把空间分成部分时，它们的交线有（　　）
Ａ．条　　Ｂ．条　　
Ｃ．条　　Ｄ．条或条
4．在长方体，底面是边长为的正方形，高为,
则点到截面的距离为( ）
A． B．
C． D．
5．直三棱柱中,各侧棱和底面的边长均为，点是上任意一点,
连接，则三棱锥的体积为( ）
A． B． C． D．
6．下列说法不正确的是（ ）
A．空间中,一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；
B．同一平面的两条垂线一定共面；
C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内；
D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。

二、填空题
1．正方体各面所在的平面将空间分成_____________部分。翰林汇
2．空间四边形中，分别是的中点,则与的
位置关系是_____________;四边形是__________形；当___________时，四边形是菱形；当___________时，四边形是矩形;当___________时，四边形是正方形
3．四棱锥中,底面是边长为的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角的平面角为_____________.翰林汇
4．三棱锥则二面角
的大小为____翰林汇
5．为边长为的正三角形所在平面外一点且,则到
的距离为______.翰林汇
三、解答题
1．已知直线,且直线与都相交,求证：直线共面。

2．求证:两条异面直线不能同时和一个平面垂直；

3． 如图:是平行四边形平面外一点，分别是上的点，且=， 求证：平面

[提高训练C组]
一、选择题
1．设是两条不同的直线,是三个不同的平面,给出下列四个命题：
①若，,则 ②若，，，则
③若，，则 ④若，,则
其中正确命题的序号是 （ )
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④
2．若长方体的三个面的对角线长分别是，则长方体体对角线长为（ ）
A． B．
C． D．
3．在三棱锥中,底面,
则点到平面的距离是（ )
A． B． C． D．
4．在正方体中,若是的中点，则直线垂直于（ ）
A． B． C． D．
5．三棱锥的高为，若三个侧面两两垂直，则为△的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
6．在四面体中，已知棱的长为，其余各棱长都为，则二面角
的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．四面体中，各个侧面都是边长为的正三角形，分别是和的中点,则异面直线与所成的角等于（ )
A． B． C． D．
二、填空题
1．点到平面的距离分别为和,则线段的中点到平面的距离为_________________．
2．从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为_______。
3．一条直线和一个平面所成的角为,则此直线和平面内不经过斜足的所有直线所成的角中最大的角是____________．
4．正四棱锥（顶点在底面的射影是底面正方形的中心）的体积为,底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于_____.
5．在正三棱锥（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，,过作与分别交于和的截面，则截面的周长的最小值是________
三、解答题
1．正方体中，是的中点．求证：平面平面．

2．求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。

3。在三棱锥中，△是边长为的正三角形,平面平面,、分别为的中点。
（Ⅰ)证明：⊥;
（Ⅱ）求二面角-—的大小；
（Ⅲ）求点到平面的距离。

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