常见递推数列通项的求解方法.doc

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个性化教学辅导教案

学科：数学 任课教师:叶雷 授课时间：2011 年 月 日(星期 ） ： ~ :
姓名
阳丰泽
年级
高三
性别
男
教学课题
常见递推数列通项的求解方法
教学
目标
递推数列的通项公式的求法,虽无固定模式，但也有规律可循;主要靠观察分析、累加、累积、待定系数法，或是转化为等差或等比数列的方法解决；再或是归纳、猜想、用数学归纳法证明的方法来解决，同学们应归纳、总结它们的规律,通过练习，巩固掌握它。
重点
难点

利用多种方法求数列和.
课前检查
作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议__________________________________________
常见递推数列通项的求解方法

类型一：（可以求和)累加法
【例1】在数列中，已知=1，当时，有，求数列的通项公式。
解析：
上述个等式相加可得： ， 。
评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。

1、已知，（),求.
2、已知数列，=2，=+3+2,求。
3、已知数列满足,求数列的通项公式.
4、已知中,，求。
5、已知,，求数列通项公式.
6、 已知数列满足求通项公式？
7、若数列的递推公式为,则求这个数列的通项公式。
8、 已知数列满足，求数列的通项公式。
9、已知数列满足，，求。
10、数列中,，（是常数，），且成公比不为的等比数列．
（I）求的值； c=2
(II）求的通项公式．
11、设平面内有n条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用表示这条直线交点的个数，则　 　； 5　
当时，　　　　　（用表示)．

类型二: （可以求积）累积法
【例1】在数列中，已知有，()求数列的通项公式.
解析：。
又也满足上式； .
评注：一般情况下，累积法里的第一步都是一样的。

1、 已知，（）,求.
2、已知数列满足，,求.
3、已知中,,且,求数列的通项公式。
4、已知， ,求.
5、已知,，求数列通项公式。
6、已知数列满足，求通项公式?
7、已知数列满足，求数列的通项公式。
8、已知数列｛an},满足a1=1， (n≥2)，求｛an｝.
9、设{an}是首项为1的正项数列， 且（n + 1）a- na+an+1·an = 0 (n = 1， 2, 3， …)，求｛an｝.
10、数列的前n项和为,且，＝，求数列的通项公式.

类型三：待定常数法
可将其转化为，其中，则数列为公比等于A的等比数列,然后求即可。
【例1】 在数列中， ，当时，有，求数列的通项公式。
解析:设,则，
，于是,
是以为首项，以3为公比的等比数列。
.

1、 在数列中, ，，求数列的通项公式.
2、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式.
3、已知数列｛a}中,a=1,a= a+ 1求通项a．
4、在数列（不是常数数列）中，且，求数列的通项公式.
5、在数列｛an｝中，求.
6、已知数列满足求数列的通项公式。
7、设二次方程x—x+1=0（n∈N)有两根α和β，且满足6α—2αβ+6β=3．
(1）试用表示a；
（2）求证：数列是等比数列；
（3）当时，求数列的通项公式。
8、在数列中，为其前项和，若，，并且，试判断是不是等比数列？ 是

类型四：
可将其转化为——-—-（＊）的形式，列出方程组,解出还原到（*)式，则数列是以为首项， 为公比的等比数列，然后再结合其它方法，就可以求出。
【例1】 在数列中, ,，且求数列的通项公式。
解析：令
得方程组 解得 .
则数列是以为首项以2为公比的等比数列， ，
.
.
评注：在中,若A+B+C=0,则一定可以构造为等比数列。
【例2】 已知、,，求
解析:令，整理得，

；
两边同除以得，，
令，
令，得
，，
故是以为首项,为公比的等比数列。
,即，
得 。

1、已知数列中，,,,求.
2、 已知 a1=1，a2=，=-,求数列｛｝的通项公式.
3、已知数列中,是其前项和，并且，
⑴设数列，求证：数列是等比数列；
⑵设数列，求证：数列是等差数列；
⑶求数列的通项公式及前项和。
4、数列:， ，求数列的通项公式。

类型五: （且)
一般需一次或多次待定系数法，构造新的等差数列或等比数列。
【例1】 设在数列中， ，求数列的通项公式。
解析:设 ，
展开后比较得
这时
是以3为首项，以为公比的等比数列， ，
即，.
【例2】 在数列中， ，求数列的通项公式。
解析：
，两边同除以得是以=1为首项，2为公差的等差数列。
即
【例3】 在数列中， ，求数列的通项公式。
解析：在中，先取掉，得
令，得，即；
然后再加上得； ，
两边同除以，得
是以为首项,1为公差的等差数列。
， .
评注：若中含有常数，则先待定常数。然后加上n的其它式子，再构造或待定。
【例4】 已知数列满足，求数列的通项公式。
解析：在中取掉待定
令，则
, ；再加上得,
，整理得:，
令，则
令 ；

即；数列是以为首项,为公比的等比数列。
，即；整理得

1、设数列的前n项和，求数列的通项公式.
2、已知数列中，点在直线上，其中
（1） 令求证:数列是等比数列;
（2） 求数列的通项 .
3、已知，，求。
4、设数列:，求.
5、已知数列满足，求通项。
6、在数列中，，求通项公式。
7、已知数列中，,,求。
8、已知数列｛a},a=1， n∈N，a= 2a＋3 n ,求通项公式a．
9、已知数列满足,求数列的通项公式。
10、若数列的递推公式为,则求这个数列的通项公式。
11、已知数列满足,求。
12、 已知数列满足，，求数列的通项公式.
13、已知数列满足，求数列的通项公式。
14、 已知,，求.
15、 已知中，，，求.
16、已知数列中，是其前项和，并且，
⑴设数列,求证：数列是等比数列;
⑵设数列，求证：数列是等差数列；
⑶求数列的通项公式及前项和.

类型六：（)倒数法
【例1】 已知，，求.
解析：两边取倒数得:，设则；
令；展开后得，；;
是以为首项为公比的等比数列。
；即，得。
评注:去倒数后，一般需构造新的等差(比）数列.

1、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式。
2、已知数列｛｝满足时,，求通项公式。
3、已知数列{an}满足：,求数列{an｝的通项公式。
4、设数列满足求
5、已知数列｛}满足a1=1，，求。
6、在数列中求数列的通项公式.
7、若数列{a｝中，a=1,a= n∈N，求通项a．

类型七：
【例1】 已知数列前n项和.
求与的关系；（2）求通项公式.
解析：时，，得；
时,；
得。
（2）在上式中两边同乘以得；
是以为首项，2为公差的等差数列;
；得.

1、数列｛an}的前N项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn.求数列｛an｝的通项an.
2、已知在正整数数列中,前项和满足，求数列的通项公式.
3、已知数列｛an}的前n项和为Sn = 3n – 2， 求数列{an}的通项公式.
4、设正整数{an｝的前n项和Sn =,求数列｛an}的通项公式。
5、如果数列{an}的前n项的和Sn =,求这个数列的通项公式。 an = 2·3n
6、已知无穷数列的前项和为，并且,求的通项公式?

类型八：周期型
【例1】 若数列满足，若，则的值为___________。
解析:根据数列的递推关系得它的前几项依次为：
；我们看出这个数列是一个周期数列，三项为一个周期，。
评注：有些题目，表面看起来无从下手，但你归纳出它的前几项后，就会发现规律，出现周期性，问题迎刃而解。

1、已知数列满足，则= （ B ）
A．0 B． C． D．
2、 在数列中, -4

类型九、利用数学归纳法求通项公式
【例1】 已知数列满足，求数列的通项公式。
解析：根据递推关系和得，
所以猜测，下面用数学归纳法证明它;
时成立（已证明）
假设时,命题成立，即，
则时，=
=。
时命题成立；
由可知命题对所有的均成立。
评注:归纳、猜想数学归纳法证明是我们必须掌握的一种方法.

1。 设数列满足：，且，则的一个通项公式为 ，
2、已知是由非负整数组成的数列，满足，，（n=3，4，5…）。
（1)求; = 2
（2）证明（n=3，4，5…）；(数学归纳法证明)
（3)求的通项公式及前n项的和。 ;

3、已知数列中=，。
（1）计算，。
（2）猜想通项公式，并且数学归纳法证明.

课后反思：

课堂检测
听课及知识掌握情况反馈_________________________________________________________。
测试题(累计不超过20分钟）_______道；成绩_______；
教学需:加快□；保持□;放慢□；增加内容□
课后巩固
作业_____题; 巩固复习____________________ ； 预习布置_____________________
签字
教学组长签字： 学习管理师：
老师
课后
赏识
评价
老师最欣赏的地方:
老师想知道的事情：
老师的建议：

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