对数公式及对数函数总结.doc

对数运算和对数函数
对数的定义
①若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数．
②负数和零没有对数。③对数式与指数式的互化：。
常用对数与自然对数
常用对数：，即；自然对数：，即（其中…）．
对数函数及其性质
函数名称
对数函数
定义
函数且叫做对数函数
图象

0
1

0
1

定义域

值域

过定点
图象过定点，即当时，
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的
变化情况

变化对图象的影响
在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高。
类型一、对数公式的应用
1计算下列对数

2 解对数的值：
0 -1
的值0
提示：对数公式的运算
如果，那么
（1）加法： （2）减法：
（3）数乘： （4） （5）
（6）换底公式： 7） （8）
类型二、求下列函数的定义域问题
1函数的定义域是
2设，则的定义域为
3 函数的定义域为（ ）
提示：（1）分式函数，分母不为0，如。
（2） 二次根式函数，被开方数大于等于0，。
（3） 对数函数，真数大于0，。
类型三、对数函数中的单调性问题
1函数的单调递增区间为（ ）
2函数的单调递增区间是
3函数的递增区间是（ ）
4已知，则的最小值为（ -2 ）
5若函数在区间上是增函数，的取值范围。
6不等式的解集为
7设函数，且满足，求的最大值。12.
提示：（1）在对数函数中中，当，在其定义域上是增函数；当，在其定义域上是减函数。
（2）在复合函数中，函数的单调性复合同增异减。
类型四、对数函数中的大小比较
1已知，比较，的大小。
2已知，比较的大小关系
3设，则 的大小关系
4若，，则B （A）（B）（C）（D）
5若，且，则与之间的大小关系是（ ）
提示：在比较大小题型中，当，；当，。
类型五、对数函数求值问题
1已知函数，若，则 2
2解方程 或
3已知,若，，则，。
4已知函数，若，则的值为_____0___．
提示：在对数函数求值过程中，主要用到对数公式
类型六、对数函数中的分段函数问题
1设函数，则的值为（ 2 ）
2已知则___7________.
3已知函数满足：当，则＝；当时＝，则＝
提示：分段函数中涉及到对数公式，需要注意函数的定义域问题
类型七、对数函数中含参数问题
1若，则的取值范围是 ．
2 若关于的方程的所有解都大于1，求的取值范围。
3函数，当时，，则的取值范围是（ ）
4设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则 4
提示：对数函数中有参数以及求参数的取值范围，需要考虑对数函数的单调性，综合性很强。
类型八、对数函数中的图像问题
1当时，函数和的图象只可能是(　　)

2函数的大致图象是(　　)

3图2-2-2中的曲线是对数函数的图象，已知取四个值。则相应的值依次为（ ）

提示：函数的图像题型，先看奇偶性再看单调性，然后用特指排除。
类型九、对数函数中的奇偶性问题
1若函数是奇函数，则 。
2若函数为偶函数，则 1
3若函数是偶函数，则____________.
4 若函数是偶函数，且在上最大值为2，则的值 2
提示：偶函数必有，然后求参数。
类型十、对数函数中的绝对值问题
1 已知函数，若，求的取值范围
2已知函数，若且，则的取值范围是
3已知函数,若,且,则的取值范围是
提示：已知对数函数的图像，只需要把轴下方的图像翻到轴上方。如果当，且，必有，以及。
类型十一、对数函数中的综合问题
1若函数在上的最大值和最小值之和为，则a的值为(　2　)
2若，则的最小值为（ ）
3设点在曲线上，点 在曲线上，则的最小值为（ ）
4已知两个函数，，(1)若，在的最大值为18，求值；(2)对任意的时，，求的取值范围。 【答案】（1）；（2）。
提示：对数函数中可以和不等式，单调性，导数等进行综合，解答中需要多个知识点相结合多种考虑。
习题
类型一、关于对数公式的应用
1求下列各式中的的值：
(1)；(2)；(3)； (4)；(5)；（6）
2化简下列各式：
1)；(2)；(3)；(4)
(5) (6)(7) (8)
(9)； (10) （11）
3设，且，则
4计算 的值 2.
5计算：的值
6计算：的值 102
7 计算：＝ -1
8计算：的值是(0 )
9计算： 的值是( 2 )
10已知为正数，且，求使的值。1
11已知，是方程的两个根，则的值是（ 2 ）
12已知，，且，则与的大小关系_______
13设方程的两个根分别为，求的值
14已知，求的值。4
15实数，且，，求的值。1，5，9
16已知为正整数，且，且，
求的值。
类型二、对数函数的应用
1函数的定义域是____． 2函数的定义域为 .
3函数的定义域是(　) 4函数的定义域__。
5若，则的定义域为（ ）
6函数的定义域是()7求函数的定义域． 8函数的定义域为(　　)
9函数的定义域是（）10函数的定义域是（） 11函数的定义域是（ ） 12函数的定义域是（ ）
13函数的定义域是，则函数的定义域是_______．
14 函数的定义域是（ ）
15函数的定义域是（ ） 16函数的定义域是（ ） 17函数的定义域是（ ）
18已知函数的值域为，则函数的定义域是(　　)
19函数的值域是（ ）
20函数的值域是( )
21函数在上的值域是(　　)
22函数的值域是（ ）
23函数的值域是( ).
24函数的值域是( ).
25函数的值域是( ).
26函数的单调减区间是（ ）
27若函数在区间内单调递增，则的取值范围是
28已知函数，使是单调增函数的值的区间是( )
29如果函数与的增减性相同，则的取值范围是________．
30函数的单调递减区间是________．
31函数是单调增函数的区间是(　　　　)
32函数在定义域上(　A　) A．是增函数 B．是减函数 C．先增后减 D．先减后增
33已知，如果，则的取值范围是________．
34设偶函数在上单调递减，则与的大小关系是（ A ）
A. B. C. D. 不能确定
35函数（ B ）
A. 是偶函数，在区间上单调递增 B. 是偶函数，在区间上单调递减
C. 是奇函数，在区间上单调递增 D. 是奇函数，在区间上单调递减
36已知函数,若，求的取值范围；
37设是奇函数，则使的的取值范围是（ ）
38若，那么满足的关系（ ）
39三个数的大小关系是（ ）
40如果，那么下面不等关系式中正确的是( )
41设，则的大小关系(　　)
42若，且，则下列不等式成立的是C
（A） （B）
（C） （D）
43若，则的大小关系（<< ）
44若，，，则的大小关系（ ）
45设则的大小关系
46设均为正数，且，，.则的大小关系（ ）
47已知则的大小关系
48若,则的大小关系
49已知，比较的大小关系
50若，令，则的大小关系( )
51已知则________.
52已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
53已知函数,若,则（ ）
54函数，若,则的值是（ 2）
55已知函数＝则＝________．
56已知，那么 .
57设函数,( 9 )
58已知函数，且，则=-
59已知函数，则满足不等式的实数的取值范围为 ．
60已知函数，若，求的值．
61函数的最大值是_5_____.
62若，则_____________．
63若，使，那么______10_______．
64若，使，那么____2_________．
65已知函数，求的值．
66已知函数 ，若则= 1
67对数函数的图象过点(8,3)，则此函数的解析式为________．
68设且，函数和的图象关于(　A　)
A．x轴对称　　　　　B．y轴对称 C．y＝x对称 D．原点对称
69已知函数的图象关于原点对称，则实数的值为___1_____．
70已知函数的图象关于原点对称，则实数的值为_____1___．
71函数的图象关于（ 原点 ）对称
72若，则实数的取值范围是(　　)
73若，则实数的取值范围是(　　)
74等比数列的各项均为正数,且,则( 10 )
75已知函数是奇函数，当时，，且，则点的值为（）
76函数的图象关于轴对称，且对任意都有，若当时，，则（ ）
77函数的图象与函数的图象关于直线对称，则_________
78设（且），若（，），则的值等于____3____。
79将函数的图象向左平移一个单位，得到图象C1，再将C1向上平移一个单位得到图象C2，则C2的解析式为________。
80已知是方程的根，是方程的根，求的值．2008
81设常数，实数、满足，若的最大值为，则的值为（ ）
82已知对数函数 ，且在区间上的最大值与最小值之积为，则 （ ）
83若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则的值为________．
84若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则的值为( 2 )
85若函数在区间上的最大值是最小值的差为，则的值为( 2 )
86若函数的定义域和值域都是，则 3
87已知函数，当时，函数的最大值比最小值大3，则实数的值8
88若函数在上的最大值和最小值之和为，则的值为(　　)
89若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则的值为________．
90函数 在上的最大值与最小值之差为，求在上的最小值为2
91若满足 ,求最大值和最小值。2
92设函数有两个极值点，且，求的取值范围，
93若函数的值域为，则实数的取值范围为_______。
94若函数的定义域为，则实数的取值范围是________。
95函数在上恒有，则取值范围是________．
96已知是上的增函数，求的取值范围．
97已知是上的减函数，求的取值范围．
98已知函数在上是的减函数，则的取值范围是（ ）
99已知函数,当时，函数恒有意义，求实数的取值范围。
100若不等式在内恒成立，则的取值范围是（
101函数在上是减函数，求实数的取值范围．
102当时，，则的取值范围是（ ）
103已知函数，则实数的取值范围是( )
104如果的解集为，则实数的值是( 2 )
105函数的定义域是，则实数的取值范围是___
106函数，若，则实数的取值范围是_____________．
107已知，其定义域为，试判断的奇偶性并证明．
108判断下列函数的奇偶性：
（1） （2） （3）
109试比较的大小。
110函数的图象过定点________．
111函数的图象过定点________
112函数的图象过定点________
112函数的图象过定点________
113使成立的取值范围
114函数，其中，若对任意，有，则的取值范围是_
115设，函数，则使的的取值范围是（ ）
116函数的图象必过的定点坐标为_____.
117已知函数满足：且.（ B ）
A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则
118函数的值域为 .
119已知函数,若,则的取值范围是
120函数 若均不相等，且，则的取值范围是
121设函数的图像与关于直线对称，且，则2
122已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）
123已知两条直线：和：，与函数的图象从左至右相交于点，与函数的图象从左至右相交于点,记线段和在轴上的投影长度分别为,当变化时，求的最小值．
124若满足, 满足,则+＝
125函数的图象与函数的图象关于直线_____________对称．
126函数的图象和函数的图象的交点个数是（ 3 ）
127当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（ ）

128已知，则的图象（ ）

129函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（ c ）

130函数的图象大致是（ D ）

131已知，且，函数与的图象只能是图中的（ ）

132已知函数；则的图像大致为（ ）

133已知函数，函数（，且）
（1）求函数的定义域
（2）求使函数的值为负数的的取值范围：
答案：当时，的取值范围是；当时，的取值范围是．
134已知函数其中.
（1）求函数的定义域；
（2）若函数的最小值为-4，求的值.
135已知函数，．
（1）求出使成立的的取值范围；
（2）在（1）的范围内求的最小值．当时，，从而
136已知函数
(1)求函数的定义域；．
(2)判断函数的奇偶性；
(3)求函数的值域
137已知函数满足，且对于任意的，恒有成立．
（1）求实数，的值；即，
（2）解不等式．
138已知函数.
（1）设,函数的定义域为, 求的最大值;4
（2）当时，求使的的取值范围.
139已知函数．
（1）若，且为偶函数，求实数的值；
（2）当，时，若函数的值域为，求实数的取值范围．
140已知，函数=.
（1）当 时，解不等式；
（2）若关于的方程+=0的解集中恰有一个元素，求的值；或．
（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
141设函数
（1）求的定义域；
（2）时，求使的所有值．
142已知。
（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性；奇函数（3）求使的的取值范围。故当时，；当时，。
143已知函数。
（1）求函数的解析式；（2）求的值；1（3）解方程。或。
144已知函数（）。
（1）求的定义域、值域；（2）判断的单调性；所以函数在上是减函数；
145已知函数（，且为常数）。
（1）求这个函数的定义域；（2）函数的图象有无平行于轴的对称轴？
（3）函数的定义域与值域能否同时为实数集？证明你的结论。
146已知函数．
(1)分别求这两个函数的定义域；
(2)求使的的值；
(3)求使的值的集合．
147已知函数
(1)求函数的定义域；
(2)证明:是减函数．

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