安徽省亳州市第三十二中学2023届高一上数学期末考试试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知圆和圆，则两圆的位置关系为
A.内含 B.内切

C.相交 D.外切
2．设a>0，b>0，化简的结果是（ ）
A. B.
C. D.-3a
3．已知锐角终边上一点A的坐标为,则的弧度数为（）
A.3 B.
C. D.
4．集合，集合，则等于（ ）
A. B.
C. D.
5．函数lgx＝3，则x＝（ ）
A 1000 B.100
C.310 D.30
6．如图，四边形ABCD是平行四边形，则（）

A. B.
C. D.
7．已知矩形，，，将矩形沿对角线折成大小为的二面角，则折叠后形成的四面体的外接球的表面积是
A. B.
C. D.与的大小有关
8．用二分法求方程的近似解时,可以取的一个区间是
A. B.
C. D.
9．设，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
10．要得到函数的图像，只需将函数图的图像
A.向右平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向左平移个单位
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若，，则______
12．如图是某个铁质几何体的三视图，其中每个小正方形格子的边长均为个长度单位，将该铁质几何体熔化，制成一个大铁球，如果在熔制过程中材料没有损耗，则大铁球的表面积为_______________________.

13．对于定义在上的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：
①在区间上是单调递增的；②当时，函数的值域也是，则称是函数的一个“递增黄金区间”.下列函数中存在“递增黄金区间”的是：___________.（填写正确函数的序号）
①；②；③；④.
14．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为______
15．已知两点,,以线段为直径的圆经过原点,则该圆的标准方程为____________.
16．在直角坐标系中，直线的倾斜角________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图所示，四棱锥的底面 是边长为1的菱形，，
E是CD中点，PA底面ABCD，
（I）证明：平面PBE平面PAB；
（II）求二面角A—BE—P和的大小

18．如图，以Ox为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于P，Q两点，已知点P的坐标为

（1）求的值；
（2）若，求的值
19．近年来，国产手机因为其炫酷的外观和强大的功能，深受国人喜爱，多次登顶智能手机销售榜首.为了调查本市市民对某款国产手机的满意程度，专卖店的经理策划了一次问卷调查，让顾客对手机的“外观”和“性能”打分，其相关得分情况统计如茎叶图所示，

且经理将该款手机上市五个月以来在本市的销量按月份统计如下：
月份代码t
1
2
3
4
5
销售量y（千克）
5.6
5.7
6
6.2
6.5
（1）记“外观”得分的平均数以及方差分别为，，“性能”得分的平均数以及方差分别， .若，求茎叶图中字母表示的数；并计算与；
（2）根据上表中数据，建立关于的线性回归方程，并预测第6个月该款手机在本市的销售量.
附：对于一组数据（）其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
， 参考数据：
20．已知函数（其中）的图象上相邻两个最高点的距离为
（Ⅰ）求函数的图象的对称轴；
（Ⅱ）若函数在内有两个零点，求的取值范围及的值
21．如图，甲、乙是边长为的两块正方形钢板，现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的全面积都等于一个正方形的面积（不计焊接缝的面积）

（1）将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明；
（2）试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】由于圆，即 
表示以 为圆心，半径等于1的圆
圆，即，表示以为圆心，半径等于3的圆
由于两圆的圆心距等于 等于半径之差，故两个圆内切
故选B
2、D
【解析】由分数指数幂的运算性质可得结果.
【详解】因为，，所以.
故选D.
3、C
【解析】先根据定义得正切值，再根据诱导公式求解
【详解】由题意得，选C.
【点睛】本题考查三角函数定义以及诱导公式，考查基本分析化简能力，属基础题.
4、B
【解析】直接利用交集的定义求解即可.
【详解】由题得.
故选：B
5、A
【解析】由lgx＝3，可得直接计算出结果.
【详解】由lgx＝3，有：
则，
故选：A
【点睛】本题考查对数的定义，属于基础题.
6、D
【解析】由线性运算的加法法则即可求解.
【详解】如图，设交于点，则.

故选：D
7、C
【解析】
由题意得，在二面角内的中点O到点A,B,C,D的距离相等，且为，所以点O即为外接球的球心，且球半径为，所以外接球的表面积为．选C
8、A
【解析】分析：根据零点存在定理进行判断
详解：令，
因为
，，
所以可以取的一个区间是，
选A.
点睛：零点存在定理的主要内容为区间端点函数值异号，是判断零点存在的主要依据.
9、B
【解析】分别求出两个不等式的的取值范围，根据的取值范围判断充分必要性.
【详解】等价于，解得：；等价于，解得：，可以推出，而不能推出，所以是的必要不充分条件，所以“”是“”的必要不充分条件
故选：B
10、D
【解析】根据三角函数图像变换的知识，直接选出正确选项.
【详解】依题意，故向左平移个单位得到，故选D.
【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换的知识，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】利用指数的运算性质可求得结果.
【详解】由指数的运算性质可得.
故答案为：.
12、
【解析】由已知得该铁质几何体是由一个小铁球和一个铁质圆锥体拼接而成，根据圆锥和球体的体积公式可得答案.
【详解】该铁质几何体是由一个小铁球和一个铁质圆锥体拼接而成，体积之和为，
设制成的大铁球半径为，则，得，故大铁球的表面积为.
故答案为：.
13、②③
【解析】由条件可得方程有两个实数解，然后逐一判断即可.
【详解】∵在上单调递增，由条件②可知，即方程有两个实数解；
∵x+1=x无实数解，∴①不存在“递增黄金区间”；
∵的两根为：1和2，不难验证区间[1，2]是函数的一个“递增黄金区间”；
在同一坐标系中画出与的图象如下：

由图可得方程有两个根，∴③也存在“递增黄金区间”；
在同一坐标系中画出与的图象如下：

所以没有实根，∴④不存在.
故答案为：②③.
14、1
【解析】根据题意，由函数在（﹣∞，0）上的解析式可得f（﹣1）的值，又由函数为奇函数可得f（1）=﹣f（﹣1），即可得答案
【详解】根据题意，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2，
则f（﹣1）=2×（﹣1）3+（﹣1）2=﹣1，
又由函数奇函数，
则f（1）=﹣f（﹣1）=1；
故答案为1
【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，注意利用奇偶性明确f（1）与f（﹣1）的关系
15、
【解析】由以线段为直径的圆经过原点,则可得,
求得参数的值，然后由中点坐标公式求所求圆的圆心，用两点距离公式求所求圆的直径，
再运算即可.
【详解】解：由题意有,，
又以线段为直径的圆经过原点,
则,
则，解得，
即，
则的中点坐标为，即为，
又，
即该圆的标准方程为，
故答案为.
【点睛】本题考查了圆的性质及以两定点为直径的圆的方程的求法，重点考查了运算能力，属基础题.
16、##30°
【解析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角
【详解】试题分析：直线化成，可知，而，故
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（I）同解析（II）二面角的大小为
【解析】解：解法一（I）如图所示, 连结

由是菱形且知，
是等边三角形.因为E是CD的中点，所以
又 所以
又因为PA平面ABCD，平面ABCD，
所以而 因此 平面PAB.
又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.
（II）由（I）知，平面PAB, 平面PAB, 所以
又所以 是二面角的平面角
在中,
故二面角的大小为
解法二：如图所示,以A为原点，建立空间直角坐标系

则相关各点的坐标分别是：

（I）因为平面PAB的一个法向量是 所以和 共线.
从而平面PAB.又因为平面PBE，所以平面PBE平面PAB.
（II）易知设 是平面PBE的一个法向量,
则由得 所以
故可取而平面ABE的一个法向量是
于是,
故二面角的大小为
18、（1）（2）
【解析】(1)由三角函数的定义首先求得的值，然后结合二倍角公式和同角三角函数基本关系化简求解三角函数式的值即可；
(2)由题意首先求得的关系，然后结合诱导公式和两角和差正余弦公式即可求得三角函数式的值.
【详解】（1）由三角函数定义得，，
∴原式
（2）∵，且，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，二倍角公式及其应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19、（1）,,;（2）回归方程为;预测第6个月该款手机在本市的销售量为6.69（千台）.
【解析】（1）由茎叶图求出，利用即可得出值，利用方差公式计算与；
（2）由题意知代入可得，代入可得，得出回归方程为，即可预测第6个月该款手机在本市的销售量.
【详解】解：（1）由茎叶图可知

解得

（2）由题意知

所求回归方程为
令，
故预测第6个月该款手机在本市的销售量为6.69（千台）.
【点睛】本题考查了统计图，茎叶图的认识和平均数，方差的公式应用，以及线性回归方程的应用，属于中档题
20、（Ⅰ）；（Ⅱ），.
【解析】（Ⅰ）由题意，图象上相邻两个最高点的距离为，即周期，可得，即可求解对称轴；
（Ⅱ）函数在，内有两个零点，，转化为函数与函数有两个交点，即可求解的范围；在，内有两个零点，是关于对称轴是对称的，即可求解的值
【详解】（Ⅰ）∵已知函数（其中）的图象上相邻两个最高点的距离为，
∴，
故函数．
令，
得+，
故函数的图象的对称轴方程为+，；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数．
∵x∈，
∴∈[，]
∴-≤≤，
要使函数在内有两个零点
∴-＜m＜，且m
即m的取值范围是（-， ）∪（，）
函数在内有两个零点，
可得是关于对称轴是对称的，
对称轴为=2x-，
得x=，
在内的对称轴x=或
当m∈（-，1）时，可得=，
=
当m∈（-1，-）时，可得x1+x2=，
∴= =
21、 (1)见解析(2) 正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大
【解析】该四棱柱的底面为正方体，侧棱垂直底面，可知其由两个一样的正方形和四个完全相同的长方形组成，对图形进行切割，画出图形即可，画法不唯一；
正四棱柱的底面边长为，高为，正四棱锥的底面边长为，高为，结合体积公式求得体积，然后比较大小即可；
解析：（1）将正方形甲按图中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个长方形为侧面，焊接成一个底面边长为，高为的正四棱柱
将正方形乙按图中虚线剪开，以两个长方形焊接成边长为的正方形为底面，三个等腰三角形为侧面，两个直角三角形合拼成为一侧面，焊接成一个底面板长为，斜高为的正四棱锥

（2）∵正四棱柱的底面边长为，高为，∴其体积，
又∵正四棱锥的底面边长为，高为，
∴其体积
∵，
即，，∴，
故所制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大
（说明：裁剪方式不唯一，计算的体积也不一定相等）
点睛：本题考查了四棱锥和四棱柱的知识，需要掌握二者的特征以及其体积的求法，对于图形进行分割，画出图形即可，注意画法不唯一，结合体积公式求得体积，然后比较大小即完成解答