2022-2023学年江西省吉安吉州区五校联考数学九年级第一学期期末达标检测模拟试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．π﹣2 B． C．π﹣4 D．
2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣a＝0的一个根是1，则实数a的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．如图，菱形的边长是4厘米，，动点以1厘米/秒的速度自点出发沿方向运动，动点以2厘米/秒的速度自点出发沿方向运动至点停止，同时点也停止运动若点，同时出发运动了秒，记的面积为厘米2，下面图象中能表示与之间的函数关系的是（ ）

A． B． C． D．
4．如果两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个三角形的面积比为（　　）
A．2：3 B．： C．4：9 D．9：4
5．若与相似且对应中线之比为，则周长之比和面积比分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
6．如图，点，，均在坐标轴上，，过，，作，是上任意一点，连结，，则的最大值是（ ）

A．4 B．5 C．6 D．
7．如图，在中，，，，点为上任意一点，连结，以，为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
8．若点都是反比例函数的图象上的点，并且，则下列各式中正确的是（（ ）
A． B． C． D．
9．一元二次方程x2﹣4x+5＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
10．如图，等腰直角三角形的顶点A、C分别在直线a、b上，若a∥b，∠1=30°，则∠2的度数为（　　）

A．30° B．15° C．10° D．20°
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_______________．
12．一元二次方程x2﹣4=0的解是．_________
13．一个不透明的口袋中装有个红球和个黄球，这些球除了颜色外，无其他差别，从中随机摸出一个球，恰好是红球的概率为__________.
14．方程的解是_______．
15．已知关于x的一元二次方程的常数项为零，则k的值为_____．
16．因式分解：= ．
17．如图，在矩形ABCD中，，对角线AC,BD交于点O，点M,N分别为OB,OC的中点，则的面积为____________.

18．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，将矩形沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE交AD于点F，则BF的长为________.

三、解答题(共66分)
19．（10分）天猫商城某网店销售童装，在春节即将将来临之际，开展了市场调查发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件；如果每件童装降价1元，那么平均每天可售出2件.
（1）假设每件童装降价元时，每天可销售 件，每件盈利 元；（用含人代数式表示）
（2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利最多？每天最多盈利多少元？
20．（6分）如图，是□ ABCD的边延长线上一点，连接，交于点．求证：△∽△CDF．

21．（6分）某企业设计了一款工艺品，每件成本40元，出于营销考虑，要求每件售价不得低于40元，但物价部门要求每件售价不得高于60元．据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每涨1元，每天就少售出2件，设单价上涨元．
（1）求当为多少时每天的利润是1350元？
（2）设每天的销售利润为，求销售单价为多少元时，每天利润最大？最大利润是多少？
22．（8分）在综合实践课中，小慧将一张长方形卡纸如图1所示裁剪开，无缝隙不重叠的拼成如图2所示的“”形状，且成轴对称图形.裁剪过程中卡纸的消耗忽略不计，若已知，，.
求（1）线段与的差值是___
（2）的长度.

23．（8分）如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD．已知∠CAD=∠B,
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若BC=8，tanB=，求⊙O 的半径．

24．（8分）如图，抛物线 经过点，与轴相交于，两点，
（1）抛物线的函数表达式；
（2）点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿沿直线翻折得到，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点的坐标；
（3）设是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点在抛物线的对称轴上，当为等边三角形时，求直线的函数表达式.

25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，有一个，顶点的坐标分别是.将绕原点顺时针旋转90°得到，请在平面直角坐标系中作出，并写出的顶点坐标.

26．（10分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
（1）求的最小整数值；
（2）当时，求的值．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】先证得三角形OBC是等腰直角三角形，通过解直角三角形求得BC和BC边上的高，然后根据S阴影=S扇形OBC-S△OBC即可求得．
【详解】∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∵OB＝2，
∴△OBC的BC边上的高为：，

∴
∴S阴影=S扇形OBC-S△OBC=，
故选：A．
【点睛】
本题考查了扇形的面积公式：（n为圆心角的度数，R为圆的半径）．也考查了等腰直角三角形三边的关系和三角形的面积公式．
2、D
【分析】方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把x=1代入方程，即可得到一个关于a的方程，即可解得实数a的值；
【详解】解：由题可知，一元二次方程x2+2x﹣a＝0的一个根是1，
将x=1代入方程得，，
解得a=3；
故选D.
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解是解题的关键.
3、D
【分析】用含t的代数式表示出BP，BQ的长，根据三角形的面积公式就可以求出S，从而得到函数的解析式，进一步即可求解．
【详解】解：由题意得
BP=4-t，BQ=2t，
∴S=×2t××（4-t）=-t2+2t，
∴当x=2时，S=-×4+2×2=2.
∴选项D的图形符合．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了动点问题的函数图象，利用图形的关系求函数的解析式，注意数形结合是解决本题的关键．
4、C
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答．
【详解】∵两个相似三角形的相似比为2：3，
∴这两个三角形的面积比为4：9，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
5、B
【分析】直接根据相似三角形的性质进行解答即可．
【详解】解：与相似，且对应中线之比为，
其相似比为，
与周长之比为，
与面积比为，
故选：B.
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比，相似三角形面积比是相似比的平方是解答此题的关键．
6、C
【分析】连接，，如图，利用圆周角定理可判定点在上，易得，，，，，设，则，由于表示点到原点的距离，则当为直径时，点到原点的距离最大，由于为平分，则，利用点在圆上得到，则可计算出，从而得到的最大值．
【详解】解：连接，，如图，

，
为的直径，
点在上，
，
，，，，，
设，

，
而表示点到原点的距离，
当为直径时，点到原点的距离最大，
为平分，
，
，
，
即
，
此时，
即的最大值是1．
故选：．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理等，作出辅助线，得到是解题的关键．
7、A
【分析】设PQ与AC交于点O，作⊥于，首先求出，当P与重合时，PQ的值最小，PQ的最小值=2．
【详解】设与AC交于点O，作⊥于，如图所示：

在Rt△ABC中，∠BAC=90，∠ACB=45，
∴，
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴，
∵⊥，∠ACB=45，
∴，
当与重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，
∴PQ的最小值
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质，利用垂线段最短求线段的最小值是解题的关键．
8、B
【详解】解：根据题意可得：
∴反比例函数处于二、四象限，则在每个象限内为增函数，
且当x＜0时y＞0，当x＞0时，y＜0，
∴＜＜.
9、A
【解析】首先求出一元二次方程根的判别式，然后结合选项进行判断即可．
【详解】解：∵一元二次方程，
∴△＝，
即△＜0，
∴一元二次方程无实数根，
故选A．
【点睛】
本题主要考查了根的判别式的知识，解题关键是要掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
10、B
【解析】分析：由等腰直角三角形的性质和平行线的性质求出∠ACD=60°，即可得出∠2的度数．
详解：如图所示：

∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，∠ACB=45°，
∴∠1+∠BAC=30°+90°=120°，
∵a∥b，
∴∠ACD=180°-120°=60°，
∴∠2=∠ACD-∠ACB=60°-45°=15°；
故选B．
点睛：本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，由平行线的性质求出∠ACD的度数是解决问题的关键．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、a＜2且a≠1．
【分析】利用一元二次方程根的判别式列不等式，解不等式求出a的取值范围．
【详解】试题解析：∵关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+l=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac＞0，即4-4×（a-2）×1＞0，
解这个不等式得，a＜2，
又∵二次项系数是（a-1），
∴a≠1．
故a的取值范围是a＜2且a≠1．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两不等的实数根，得到判别式大于零，求出a的取值范围，同时方程是一元二次方程，二次项系数不为零．
12、x=±1
【解析】移项得x1=4，
∴x=±1．
故答案是：x=±1．
13、
【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】∵一个不透明的口袋中装有3个红球和9个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，
∴从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率为：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14、
【分析】根据提公因式法解一元二次方程直接求解即可．
【详解】
提公因式得
解得．
故答案为．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是关键．
15、1
【分析】由一元二次方程（k﹣1）x1+6x+k1﹣3k+1＝0的常数项为零，即可得 ，继而求得答案．
【详解】解：∵一元二次方程（k﹣1）x1+6x+k1﹣3k+1＝0的常数项为零，
∴，
由①得：（k﹣1）（k﹣1）＝0，
解得：k＝1或k＝1，
由②得：k≠1，
∴k的值为1，
故答案为：1．
【点睛】
本题是对一元二次方程根的考查，熟练掌握一元二次方程知识是解决本题的关键.
16、．
【详解】解：=．
故答案为．
考点：因式分解-运用公式法．
17、
【分析】由矩形的性质可推出△OBC的面积为△ABC面积的一半然后根据中位线的性质可推出△OMN的面积为△OBC面积的，即可得出答案.
【详解】∵四边形ABCD为矩形
∴∠ABC=90°，BC=AD=4，O为AC的中点，
∴
又∵M、N分别为OB、OC的中点
∴MN=BC，MN∥BC
∴△OMN∽△OBC
∴
∴
故答案为：.
【点睛】
本题考查了矩形的性质，中位线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方.
18、5
【解析】由翻折的性质可以知道,由矩形的性质可以知道: ,从而得到,于是,故此BF=DF,在中利用勾股定理可求得BF的长.
【详解】由折叠的性质知,CD=ED,BE=BC.
四边形ABCD是矩形,
在和中,
,
,
;
设BF=x,则DF=x,AF=8-x,
在中,可得: ,即,
计算得出:x=5,
故BF的长为5.
因此，本题正确答案是:5
【点睛】
本题考查了折叠的性质折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，也考查了勾股定理,矩形的性质.

三、解答题(共66分)
19、（1）20+2x，；（2）降价为15元时，盈利最多为1250元
【分析】（1）根据：销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量，每件利润=实际售价-进价，列式即可；
（2）把函数关系式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）设每件童装降价x元时，每天可销售20+2x件，每件盈利40-x元，
故答案为：（20+2x），（40-x）；
（2）设每件童装降价x元，盈利y元，
根据题意得，y=（20+2x）（40-x）=-2x2+60x+800=-2（x-15）2+1250，
答：每件童装降价15元时，每天可获得最多盈利，最多盈利是1250元．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程和二次函数的应用，根据题意列出函数表达式并熟练运用性质是解决问题的关键．
20、详见解析
【分析】利用平行四边形的性质即可证明.
【详解】证明： ∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠∠，∥，
∴∠∠．
∴△∽△
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定，掌握平行四边形的性质是解题的关键.
21、（1）时，每天的利润是1350元；（2）单价为60元时，每天利润最大，最大利润是1600元
【分析】（1）根据每天的利润=单件的利润×销售数量列出方程，然后解方程即可；
（2）根据每天的利润=单件的利润×销售数量表示出每天的销售利润，再利用二次函数的性质求最大值即可．
【详解】（1）由题意得，即，
解得：，
∵物价部门要求每件不得高于60元，
∴，即时每天的利润是1350元；
（2）由题意得：，
∵抛物线开口向下，对称轴为，在对称轴左侧，随的增大而增大，且，
∴当时，（元），当时，售价为（元），
∴单价为60元时，每天利润最大，最大利润是1600元．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程和二次函数的应用，掌握一元二次方程的解法和二次函数的性质是解题的关键．
22、9 6
【分析】如图1，延长FG交BC于H，设CE＝x，则E'H'＝CE＝x，根据轴对称的性质得：D'E'＝DC＝E'F'＝9，表示GH，EH，BE的长，证明△EGH∽△EAB，则，可得x的值，
即可求出线段、及FG的长，故可求解.
【详解】(1)如图1，延长FG交BC于H，
设CE＝x，则E'H'＝CE＝x，
由轴对称的性质得：D'E'＝DC＝E'F'＝9，
∴H'F'＝AF＝9＋x，
∵AD＝BC＝16，
∴DF＝16−（9＋x）＝7−x，
即C'D'＝DF＝7−x＝F'G'，
∴FG＝7−x，
∴GH＝9−（7−x）＝2＋x，EH＝16−x−（9＋x）＝7−2x，
∴EH∥AB，
∴△EGH∽△EAB，
∴，
∴，
解得x＝1或31（舍），、及FG
∴AF=9+x=10，EC=1，故AF-EC=9
故答案为：9;
(2)由（1）得FG＝7−x =7-1=6.

【点睛】
本题考查了图形的拼剪，轴对称的性质，矩形、直角三角形、相似三角形等相关知识，积累了将实际问题转化为数学问题经验，渗透了数形结合的思想，体现了数学思想方法在现实问题中的应用价值．
23、（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）连接OD，由OD=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到∠1=∠3，求出∠4为90°，即可得证；
（2）设圆的半径为r，利用锐角三角函数定义求出AB的长，再利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】（1）证明：连接，

，
，
，
，
在中，，
，
，
则为圆的切线；
（2）设圆的半径为，
在中，，
根据勾股定理得：，
，
在中，，
，
根据勾股定理得：，
在中，，即，
解得：．
【点睛】
此题考查了切线的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
24、（1）；（2）点的坐标为；（3）直线的函数表达式为或.
【分析】（1）根据待定系数法确定函数关系式即可求解；
（2）设抛物线的对称轴与轴交于点，则点的坐标为，.
由翻折得，求出CH’的长，可得，求出DH的长，则可得D的坐标；
（3）由题意可知为等边三角形，分两种讨论①当点在轴上方时，点在轴上方，连接，，证出，可得垂直平分，点在直线上，可求出直线的函数表达式；②当点在轴下方时，点在轴下方，同理可求出另一条直线解析式.
【详解】（1）由题意，得
解得
抛物线的函数表达式为.
（2）抛物线与轴的交点为，
，抛物线的对称轴为直线.
设抛物线的对称轴与轴交于点，则点的坐标为，.
上翻折得.
在中，由勾股定理，得.’
点的坐标为，.
.
由翻折得.
在中，.
点的坐标为.
（3）取（2）中的点，，连接.
，.
为等边三角形，
分类讨论如下：
①当点在轴上方时，点在轴上方.

连接，
，为等边三角形，
，，.
，
.
,
点在抛物线的对称轴上，
，
，
又，
垂直平分.
由翻折可知垂直平分.
点在直线上，
设直线的函数表达式为，
则解得
直线的函数表达式为.
②当点在轴下方时，点在轴下方.

，为等边三角形，
，，.
.
.

.
，
.
.
设与轴相交于点.
在中，.
点的坐标为，
设直线的函数表达式为，
则解得
直线的函数表达式为.
综上所述，直线的函数表达式为或.
【点睛】
此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、三角函数、等边三角形的性质.
25、作图见解析，
【分析】连接OA、OB、OC，以O为圆心，分别以OA、OB、OC为半径，顺时针旋转90°，分别得到OA1、OB1、OC1，连接A1B1、A1 C1、B1 C1即可；然后过点A作AD⊥x轴于D，过点A1作A1E⊥x轴于E，利用AAS证出△OAD≌△A1OE，然后根据全等三角形的性质即可求出点A1的坐标同理即可求出点B1、C1的坐标．
【详解】解：连接OA、OB、OC，以O为圆心，分别以OA、OB、OC为半径，顺时针旋转90°，分别得到OA1、OB1、OC1，连接A1B1、A1 C1、B1 C1，如下图所示，即为所求；

过点A作AD⊥x轴于D，过点A1作A1E⊥x轴于E
∵根据旋转的性质可得：OA=A1O，∠AOA1=90°
∴∠AOD＋∠OAD=90°，∠AOD＋∠A1OE=90°
∴∠OAD=∠A1OE
在△OAD和△A1OE中

∴△OAD≌△A1OE
∴AD= OE，OD= A1E
∵点A的坐标为
∴AD=OE=4，OD= A1E=2
∴点A1的坐标为4,2）
同理可求点B1的坐标为（1,5），点C1的坐标为（1,1）
【点睛】
此题考查的是图形与坐标的变化：旋转和全等三角形的判定及性质，掌握旋转图形的画法和构造全等三角形是解决此题的关键．
26、（1）1；（2）
【分析】（1）若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2-4ac＞0，建立关于a的不等式，求出a的取值范围，进而得出a的最小整数值；
（2）利用根与系数的关系得出x1+x2和x1x2，进而得出关于a的一元二次方程求出即可．
【详解】（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
，，，
∴，且，
∴，
故的最小整数值为1；
（2）由题意：，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理，得：，
解之，得：，满足，
故的值为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．