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常微分方程期终考试试卷(1)一、 填空题（30%）1、方程有只含的积分因子的充要条件是（ ）。有只含的积分因子的充要条件是_。、_称为黎卡提方程，它有积分因子_。、_称为伯努利方程，它有积分因子_。、若为阶齐线性方程的个解，则它们线性无关的充要条件是_。、形如_的方程称为欧拉方程。、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是_。、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_时，零解是稳定的，对应的奇点称为_。二、计算题（）1、若试求方程组的解并求expAt、求方程经过（0，0）的第三次近似解6.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（）、阶齐线性方程一定存在个线性无关解。试卷答案一填空题、 、 、零稳定中心二计算题、解：因为，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子，两边同乘得所以解为 即另外y=0也是解、线性方程的特征方程故特征根 是特征单根，原方程有特解代入原方程A=-B=0 不是特征根，原方程有特解代入原方程B=0 所以原方程的解为、解：解得此时 k=1 由公式expAt= 得、解：方程可化为令则有（*）（*）两边对y求导：即由得即将y代入（*）即方程的 含参数形式的通解为：p为参数又由得代入（*）得：也是方程的解 、解： 、解：由解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则因为=1+1 0故有唯一零解（0，0）由得故（3，-2）为稳定焦点。三、 证明题由解的存在唯一性定理知：n阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n解：考虑从而是线性无关的。常微分方程期终试卷(2)一、填空题 30%1、 形如_的方程，称为变量分离方程，这里.分别为x.y的连续函数。2、 形如_的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n3、 如果存在常数_对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。4、 形如_-的方程，称为欧拉方程，这里5、 设的某一解，则它的任一解_-。二、 计算题40%1、 求方程2、 求方程的通解。3、 求方程的隐式解。 4、 求方程三、 证明题30%1.试验证=是方程组x=x,x=，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值. 常微分方程期终试卷答卷一、 填空题（每空5分）1 2、 z=34、5、二、 计算题（每题10分）1、这是n=2时的伯努利不等式，令z=,算得代入原方程得到，这是线性方程，求得它的通解为z=带回原来的变量y，得到=或者，这就是原方程的解。此外方程还有解y=0.2、解：积分：故通解为：3、解：齐线性方程的特征方程为，故通解为不是特征根，所以方程有形如把代回原方程 于是原方程通解为4、解 三、证明题（每题15分）1、证明：令的第一列为(t)=,这时(t)=(t)故(t)是一个解。同样如果以(t)表示第二列，我们有(t)= (t)这样(t)也是一个解。因此是解矩阵。又因为det=-t故是基解矩阵。2、证明：（1）,(t- t)是基解矩阵。 （2）由于为方程x=Ax的解矩阵，所以(t)也是x=Ax的解矩阵，而当t= t时，(t)(t)=E, (t- t)=（0）=E. 故由解的存在唯一性定理，得(t)=(t- t)常微分方程期终试卷(3) 一 . 解下列方程(10%*8=80%)1. 1. 2xylnydx+dy=02. =6-x3. =24. x=+y5. 5. tgydx-ctydy=06. 6. y-x(+)dx-xdy=07一质量为m质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为）的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为）。试求此质点的速度与时间的关系。8. 已知f(x)=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。 二 证明题(10%*2=20%)9. 试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M、N试同齐次函数，且xM+yN0,则是该方程的一个积分因子。10. 证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解。试题答案：1. 解：=2xlny+2x , =2x,则 =,故方程有积分因子=，原方程两边同乘以得dx+dy=0是恰当方程. d(lny)+ydy=0,两边积分得方程的解为lny+=C。2. 解：1）y=0是方程的特解。2）当y0时，令z=得=z+x. 这是线性方程，解得它的通解为z=代回原来的变量y得方程解为=；y=0.3. 解：令x=u+3, y=v2, 可将原方程变为=，再令z=，得到z+=，即=，分离变量并两端积分得=+lnC即ln+2arctgz=+lnC，ln=2arctgz+lnC 代回原变量得v=C所以，原方程的解为y+2=C.4. 解：将方程改写为 =+ （*） 令u=,得到x=x+ u,则(*)变为x =, 变量分离并两边积分得 arcsinu=ln+lnC, 故方程的解为arcsin=lnCx。5. 解：变量分离 ctgxdy=tgydx, 两边积分得 ln(siny)= ln+C或sinycosx=C (*) 另外，由tgy=0或ctgx=0得 y=k(k=0、1) ，x=t+(t=0、1)也是方程的解。 tgy=0或ctgx=0的解是(*)当C=0时的特殊情况，故原方程的解为sinycosx=C。6. 解：ydx-xdy-x(+)dx=0,两边同除以+得xdx=0,即d(arctg)d=0,故原方程的解为arctg=C。7 解：因为F=ma=m，又F=，即m=(v(0)=0)，即=(v(0)=0)，解得v=+(t).8 解：令f(x)=y，=，两边求导得=y，即=y，即=dx，两边求积得=2x+C，从而y=，故f(x)= .9. 证明：如M、N都是n次齐次函数，则因为x+y=nM，x+y=nN，故有=0.故命题成立。10. 解：1）先找到一个特解y=。2）令y=+z，化为n=2的伯努利方程。证明：因为y=为方程的解，所以=P(x)+Q(x)+R(x) (1)令y=+z，则有+= P(x)+Q(x)+R(x) (2)(2)(1)得= P(x)+Q(x)z即=2P(x)+Q(x)z+P(x)此为n=2的伯努利方程。常微分方程期终试卷（4）一、填空题1、（ ）称为变量分离方程,它有积分因子( )。、当（）时，方程称为恰当方程，或称全微分方程。、函数称为在矩形域上关于满足利普希兹条件，如果（）。、对毕卡逼近序列，。、解线性方程的常用方法有（）。、若为齐线性方程的个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可表为（）。、方程组（）。、若和都是的基解矩阵，则和具有关系：（）。、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部（）时，零解是稳定的，对应的奇点称为（）。、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时，则当（）时，零解是渐近稳定的，对应的奇点称为（）。当（）时，零解是不稳定的，对应的奇点称为（）。、若是的基解矩阵，则满足的解（）。二、计算题求下列方程的通解。、。、。、求方程通过的第三次近似解。求解下列常系数线性方程。、。、。试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：、。三、证明题。、 、设为方程（为常数矩阵）的标准基解矩阵（即，证明其中为某一值。答案：一、 填空题、形如的方程、存在常数0，对于所有都有使得不等式成立、常数变异法、待定系数法、幂级数解法、拉普拉斯变换法、，其中是任意常数、个线性无关的解称之为的一个基本解组、为非奇异常数矩阵、等于零稳定中心、两根同号且均为负实数稳定结点两根异号或两根同号且均为正实数不稳定鞍点或不稳定结点、二、 计算题、 解：方程可化为令，得由一阶线性方程的求解公式，得所以原方程为：、 解：设，则有，从而，故方程的解为，另外也是方程的解、 解：、 解：对应的特征方程为：，解得所以方程的通解为：、 解：齐线性方程的特征方程为，解得，故齐线性方程的基本解组为：，因为是特征根，所以原方程有形如，代入原方程得，所以，所以原方程的通解为、 解： 解得所以奇点为（经变换，方程组化为因为又所以，故奇点为稳定焦点，所对应的零解为渐近稳定的。三、 证明题、证明：为方程的基解矩阵为一非奇异常数矩阵，所以也是方程的基解矩阵，且也是方程的基解矩阵，且都满足初始条件，所以常微分方程期终考试试卷（5）一 填空题 （30分）1称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 _ 。2函数称为在矩形域上关于满足利普希兹条件，如果 _ 。3 若为毕卡逼近序列的极限，则有_ 。4方程定义在矩形域上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 _ 。5函数组的伏朗斯基行列式为 _ 。6若为齐线性方程的一个基本解组，为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 _ 。7若是的基解矩阵，则向量函数= _是的满足初始条件的解；向量函数= _ 是的满足初始条件的解。8若矩阵具有个线性无关的特征向量，它们对应的特征值分别为，那么矩阵= _ 是常系数线性方程组的一个基解矩阵。9满足 _ 的点，称为驻定方程组。二 计算题 （60分）10求方程的通解。11求方程的通解。12求初值问题 的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。13求方程的通解。14试求方程组的解 15试求线性方程组的奇点，并判断奇点的类型及稳定性。 三证明题 （10分） 16如果是满足初始条件的解，那么 常微分方程期终考试试卷答案一填空题 （30分） 1 2在上连续，存在，使，对于任意 3 4 5 6 7 8 9二计算题 （60分） 10解： 积分因子 两边同乘以后方程变为恰当方程： 两边积分得： 得： 因此方程的通解为： 11解：令 则 得： 那么 因此方程的通解为： 12解： ， 解的存在区间为 即 令 又 误差估计为： 13解： 是方程的特征值， 设 得： 则 得： 因此方程的通解为： 14解： 得 取 得 取 则基解矩阵 因此方程的通解为： 15解： （1，3）是奇点 令 ，那么由 可得： 因此（1，3）是稳定中心三证明题 （10分） 16证明：由定理8可知 又因为 所以 又因为矩阵 所以常微分方程期终考试试卷(6)三 填空题 （共30分，9小题，10个空格，每格3分）。1、 当_时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全 微分方程。2、_称为齐次方程。3、求=f(x,y)满足的解等价于求积分方程_的连续解。 4、若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足利普希兹条件，则方程的解 y=作为的函数在它的存在范围内是_。5、若为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是_。6、方程组的_称之为的一个基本解组。7、若是常系数线性方程组的基解矩阵，则expAt =_。8、满足_的点（），称为方程组的奇点。9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部_时，零解是稳定的，对应的奇点称为_。二、计算题（共6小题，每题10分）。1、求解方程：=2、 2、解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=03、讨论方程在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解4、求解常系数线性方程：5、试求方程组的一个基解矩阵，并计算6、试讨论方程组 （1）的奇点类型，其中a,b,c为常数，且ac0。三、证明题（共一题，满分10分）。试证：如果满足初始条件的解，那么 常微分方程期末考试答案卷一、 一、 填空题。（30分）1、2、3、y=+4、连续的5、w6、n个线性无关解7、8、X(x,y)=0,Y(x,y)=09、为零 稳定中心二、计算题。（60分）1、解： (x-y+1)dx-(x+3)dy=0 xdx-(ydx+xdy)+dx-dy-3dy=0 即d-d(xy)+dx-3dy=0 所以2、解：，令z=x+y则所以 z+3ln|z+1|=x+， ln=x+z+即3、解： 设f(x,y)= ,则 故在的任何区域上存在且连续， 因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件， 显然，是通过点（0，0）的一个解； 又由解得，|y|= 所以，通过点（0，0）的一切解为及|y|=4、解： (1) 齐次方程的通解为x= (2)不是特征根，故取代入方程比较系数得A=，B=-于是 通解为x=+5、解： det()= 所以， 设对应的特征向量为 由 取 所以，= 6、解： 因为方程组（1）是二阶线性驻定方程组，且满足条件 ，故奇点为原点（0，0） 又由det(A-E)=得 所以，方程组的奇点（0，0）可分为以下类型： a，c为实数三、证明题。 （10分）证明： 设的形式为= （1） （C为待定的常向量） 则由初始条件得= 又= 所以，C= 代入（1）得= 即命题得证。常微分方程期终试卷(7)一、选择题1阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个（A） （B）-1 （C）+1 （D）+22李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（ ）条件（A）充分 （B）必要 （C）充分必要 （D）必要非充分3. 方程过点共有（ ）个解（A）一 （B）无数 （C）两 （D）三4方程（ ）奇解（A）有一个 （B）有两个 （C）无 （D）有无数个5方程的奇解是（ ）（A） （B） （C） （D）二、计算题1.x=+y2.tgydx-ctydy=03. 4. 5.三、求下列方程的通解或通积分1.2. 3. 四证明1.设，是方程的解，且满足=0，这里在上连续，试证明：存在常数C使得=C2在方程中，已知，在上连续求证：该方程的任一非零解在平面上不能与x轴相切试卷答案一、选择题1.A 2.B 3.B 4.C 5.D二、计算题1 解：将方程改写为=+（*） 令u=,得到 =x+u,则(*)变为x=, 变量分离并两边积分得 arcsinu=ln+lnC, 故方程的解为arcsin=lnCx。2 解：变量分离 ctgxdy=tgydx, 两边积分得 ln(siny)=-ln+C或sinycosx=C (*) 另外，由tgy=0或ctgx=0得 y=k(k=0、1) ，x=t+(t=0、1)也是方程的解。 tgy=0或ctgx=0的解是(*)当C=0时的特殊情况，故原方程的解为sinycosx=C。3. 方程化为 令，则，代入上式，得 分量变量，积分，通解为 原方程通解为 4解 齐次方程的通解为 令非齐次方程的特解为 代入原方程，确定出 原方程的通解为 +5解 因为，所以原方程是全微分方程 取，原方程的通积分为 即三、求下列方程的通解或通积分1解 当时，分离变量得 等式两端积分得 方程的通积分为 2解 令，则，代入原方程，得 ， 当时，分离变量，再积分，得 ，即通积分为： 3解 齐次方程的通解为 令非齐次方程的特解为 代入原方程，确定出 原方程的通解为 + 四证明1.证明 设，是方程的两个解，则它们在上有定义，其朗斯基行列式为 由已知条件，得 故这两个解是线性相关的 由线性相关定义，存在不全为零的常数，使得， 由于，可知否则，若，则有，而，则，这与，线性相关矛盾故 2证明 由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是 显然，该方程有零解 假设该方程的任一非零解在x轴上某点处与x轴相切，即有= 0，那么由解的惟一性及该方程有零解可知，这是因为零解也满足初值条件= 0，于是由解的惟一性，有这与是非零解矛盾常微分方程期终试卷(8)一、 填空（每空3分）1、 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。2、函数称为在矩形域上关于满足利普希兹条件，如果 。3、若为阶齐线性方程的个解，则它们线性无关的充要条件是 。4、形如 的方程称为欧拉方程。5、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系： 。6、若向量函数在域上 ，则方程组的解存在且惟一。7、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部 ，零解是稳定的，对应的奇点称为 。二、 求下列方程的解1、 （6分）2、 （8分）3、 （8分）4、 （8分）5、 （6分）6、 （8分）7、 （8分）三、 求方程组的奇点，并判断奇点的类型和稳定性（8分）答案一、 填空（每空4分）1、 形如的方程，2、 存在常数，使得，有3、4、5、 （C为非奇异方程）6、 连续且关于y满足利普希兹条件7、 等于零，稳定中心二、 求下列方程的解 1、（6分） 解：故方程的通解为 2、（8分）解：两边除以： 变量分离： 两边积分：即： 3、（8分）解：令则于是 得 即 两边积分 于是，通解为4、（8分）解：积分：故通解为：5、（6分）解：齐线性方程的特征方程为，故通解为不是特征根，所以方程有形如把代回原方程 于是原方程通解为6、（8分）解：齐线性方程的特征方程为，解得于是齐线性方程通解为令为原方程的解，则得，积分得；故通解为7、（8分）解：则 从而方程可化为 ， 积分得 三、 求方程组的奇点，并判断奇点的类型和稳定性（8分）解：解方程组，解得所以（1，3）为奇点。令则 而，令，得为虚根，且，故奇点为稳定中心，零解是稳定的。常微分期中测试卷(2) 一 . 解下列方程(10%*8=80%)2. 1. x=+y3. 2. tgydx-ctydy=04. 3. y-x(+)dx-xdy=05. 4. 2xylnydx+dy=05. =6-x6. =27. 已知f(x)=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。8一质量为m质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为）的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为）。试求此质点的速度与时间的关系。 二 证明题(10%*2=20%)1. 证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解。2 试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M、N试同齐次函数，且xM+yN0,则是该方程的一个积分因子。试题答案：1 解：将方程改写为 =+ （*） 令u=,得到x=x+ u,则(*)变为x =, 变量分离并两边积分得 arcsinu=ln+lnC, 故方程的解为arcsin=lnCx。2 解：变量分离 ctgxdy=tgydx, 两边积分得 ln(siny)= ln+C或sinycosx=C (*) 另外，由tgy=0或ctgx=0得 y=k(k=0、1) ，x=t+(t=0、1)也是方程的解。 tgy=0或ctgx=0的解是(*)当C=0时的特殊情况，故原方程的解为sinycosx=C。3 ydx-xdy-x(+)dx=0,两边同除以+得xdx=0,即d(arctg)d=0,故原方程的解为arctg=C。4 解：=2xlny+2x , =2x,则 =,故方程有积分因子=，原方程两边同乘以得dx+dy=0是恰当方程. d(lny)+ydy=0,两边积分得方程的解为lny+=C。5 解：1）y=0是方程的特解。2）当y0时，令z=得=z+x. 这是线性方程，解得它的通解为z=代回原来的变量y得方程解为=；y=0.6解：令x=u+3, y=v2, 可将原方程变为=，再令z=，得到z+=，即=，分离变量并两端积分得=+lnC即ln+2arctgz=+lnC，ln=2arctgz+lnC代回原变量得v=C所以，原方程的解为y+2=C.9 解：令f(x)=y，=，两边求导得=y，即=y，即=dx，两边求积得=2x+C，从而y=，故f(x)= .10 解：因为F=ma=m，又F=，即m=(v(0)=0)，即=(v(0)=0)，解得v=+(t).11 解：1）先找到一个特解y=。2）令y=+z，化为n=2的伯努利方程。证明：因为y=为方程的解，所以=P(x)+Q(x)+R(x) (1)令y=+z，则有+= P(x)+Q(x)+R(x) (2)(2)(1)得= P(x)+Q(x)z即=2P(x)+Q(x)z+P(x)此为n=2的伯努利方程。12 证明：如M、N都是n次齐次函数，则因为x+y=nM，x+y=nN，故有=0.故命题成立。常微分方程期终试卷(9)一、填空题（每小题5分，本题共30分）1方程的任一解的最大存在区间必定是 2方程的基本解组是 3向量函数组在区间I上线性相关的_条件是在区间I上它们的朗斯基行列式4李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件5阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间6向量函数组在其定义区间上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式，二、计算题（每小题8分，本题共40分）求下列方程的通解7. 8. 910求方程的通解11求下列方程组的通解 三、证明题（每小题15分，本题共30分）12设和是方程的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式，其中为常数13设在区间上连续试证明方程 的所有解的存在区间必为 常微分方程期末试卷参考答案一、填空题（每小题5分，本题共30分） 1 23必要4充分5n6必要二、计算题（每小题8分，本题共40分）7解 齐次方程的通解为 令非齐次方程的特解为 代入原方程，确定出 原方程的通解为 + 8解 由于，所以原方程是全微分方程 取，原方程的通积分为 即 。 9解 令，则原方程的参数形式为 由基本关系式 积分有 得原方程参数形式通解 。10解 方程的特征根为， 齐次方程的通解为 因为不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为 代入原方程，比较系数得 确定出 ， 。原方程的通解为 。 11解 特征方程为 即 。 特征根为 ， 。 对应特征向量应满足 可确定出 同样可算出对应的特征向量为 所以，原方程组的通解为 。 三、证明题（每小题15分，本题共30分）12证明 由已知条件，该方程在整个平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件 显然是方程的两个常数解 任取初值，其中,记过该点的解为，由上面分析可知，一方面可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过，下方不能穿过，否则与惟一性矛盾故该解的存在区间必为 13证明 如果和是二阶线性齐次方程 的解，那么由刘维尔公式有 现在，故有 。 常微分方程期终试卷(10)一、 填空（30分）1、称为齐次方程，称为黎卡提方程。2、如果在上连续且关于满足利普希兹条件，则方程存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件，其中，。3、若1，2，是齐线性方程的个解，为其伏朗斯基行列式，则满足一阶线性方程。4、对逼卡逼近序列，。5、若和都是的基解矩阵，则和具有关系。6、方程有只含的积分因子的充要条件是。有只含的积分因子的充要条件是。7、方程经过点的解在存在区间是。二、 计算（60分）1、 求解方程。解：所给微分方程可写成 即有 上式两边同除以，得 由此可得方程的通解为 即 2、 求解方程解：所给方程是关于可解的，两边对求导，有（1） 当时，由所给微分方程得；（2） 当时，得。因此，所给微分方程的通解为 ， （为参数）而是奇解。3、 求解方程解：特征方程，故有基本解组，对于方程，因为不是特征根，故有形如的特解，将其代入，得，解之得，对于方程，因为不是特征根，故有形如的特解，将其代入，得，所以原方程的通解为4、 试求方程组的一个基解矩阵，并计算，其中解：，均为单根，设对应