数学公式及知识点汇总2.doc

代数
简易逻辑
1、四种命题：原命题：“若,则” 逆命题： “若，则"
否命题:“若，则” 逆否命题：“若，则”
四种命题的真假性之间的关系：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
四种命题的真假性：
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
真
假
假
假
假
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系
2、若，则是的充分条件,是的必要条件．
若,则是的充要条件（充分必要条件）．
3、逻辑联结词:⑴且（and) ：命题形式；⑵或（or):命题形式；
⑶非（not）：命题形式.

真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真

数列
一、等差、等比数列的有关知识

等差数列
等比数列
定义
常数
的常数
通项公式
①
②
③叠加公式

①
②
③叠乘：
前n项和

中 项
A为a、b的等差中项

G为a、b的等比中项
1、若是等差数列，且(、、、），则；若是等差数列，且(、、），则．
2、若是等比数列，且（、、、)，则；若是等比数列，且（、、）,则．

不等式
1、；；．
2、不等式的性质： ①；②;③；
④，；⑤；
⑥；⑦；
⑧．
3、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
判别式

二次函数
的图象

一元二次方程
的根
有两个相异实数根

有两个相等实数根
没有实数根
一元二次不等式的解集

4、设、是两个正数,则称为正数、的算术平均数，称为正数、的几何平均数．
5、均值不等式定理： 若,,则，即．
6、常用的基本不等式:①；②；
③；④．
7、极值定理：设、都为正数,则有
⑴若（和为定值），则当时，积取得最大值．
⑵若(积为定值）则当时，和取得最小值．

导数及其应用
1、函数从到的平均变化率：
2、导数定义：在点处的导数记作；．
3、函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率．
4、常见函数的导数公式:
①；②； ③；④；
⑤；⑥； ⑦;⑧
5、导数运算法则：
；
；
．
6、在某个区间内，若，则函数在这个区间内单调递增；
若，则函数在这个区间内单调递减．
7、求函数的极值的方法是：解方程．当时：
如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值；
如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值．
8、求函数在上的最大值与最小值的步骤是：
求函数在内的极值;
将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
9、导数在实际问题中的应用:最优化问题。

复数
1．概念：
（1) z=a+bi∈Rb=0 （a，b∈R)z= z2≥0；
(2） z=a+bi是虚数b≠0(a,b∈R);
（3） z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0(a，b∈R)z＋＝0（z≠0）z2〈0；
(4) a+bi=c+dia=c且c=d（a,b,c,d∈R)；
2．复数的代数形式及其运算：设z1= a + bi , z2 = c + di （a，b，c，d∈R）,则：
(1） z 1±z2 = （a + b）± (c + d）i；

（2） z1.z2 = （a+bi)·（c+di）＝（ac-bd)+ （ad+bc)i;
（3) z1÷z2 = (z2≠0） ；
3．几个重要的结论:
(1) ；⑷
（2） 性质： ；
(3） 。
4．运算律：（1）
5．共轭的性质：⑴ ;⑵ ；⑶ ；⑷ 。
6．模的性质：⑴;⑵；⑶；⑷

三角
1、正弦定理:在中，、、分别为角、、的对边,为的外接圆的半径，则有．
2、正弦定理的变形公式:①，，;
②，，；③；
④．
3、三角形面积公式:．
4、余弦定理：在中，有，， ．
5、余弦定理的推论：，，．
6、设、、是的角、、的对边，则：①若，则；
②若，则；③若，则．

平面解析几何
圆锥曲线
一、椭圆
1、平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆．
即：.
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．

2、椭圆的几何性质：
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形

标准方程

范围
且
且
顶点
、
、
、
、
轴长
短轴的长 长轴的长
焦点
、
、
焦距

对称性
关于轴、轴、原点对称
离心率

准线方程

二、双曲线
1、平面内与两个定点,的距离之差的绝对值等于常数(小于）的点的轨迹称为双曲线．即：。
这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距．

2、双曲线的几何性质：
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形

标准方程

范围
或，
或，
顶点
、
、
轴长
虚轴的长 实轴的长
焦点
、
、
焦距

对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
离心率

准线方程

渐近线方程

3、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
三、抛物线
1、平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线．

2、抛物线的几何性质：

标准方程

图形

顶点

对称轴
轴
轴
焦点

准线方程

离心率

范围

3、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径"，即．

参数方程
1、概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数 并且对于的每一个允许值,由这个方程所确定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数,简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
2、圆的参数方程可表示为
3、椭圆的参数方程可表示为。
4、 抛物线的参数方程可表示为。
5、 经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数).
6．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致。

立体几何
空间向量
1、概念：
在空间,具有大小和方向的量称为空间向量．
向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．
向量的大小称为向量的模（或长度）,记作．
模（或长度)为的向量称为零向量;模为的向量称为单位向量．
与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量，记作．
方向相同且模相等的向量称为相等向量．
2、空间向量的加法和减法：
求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点为起点的两个已知向量、为邻边作平行四边形,则以起点的对角线就是与的和，这种求向量和的方法,称为向量加法的平行四边形法则．
求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即:在空间任取一点，作，,则．
3、实数与空间向量的乘积是一个向量，称为向量的数乘运算．当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时,为零向量，记为．的长度是的长度的倍．
4、设，为实数，，是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．
分配律：；结合律:．
5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量称为共线向量或平行向量,并规定零向量与任何向量都共线．
6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量,，的充要条件是存在实数，使．
7、平行于同一个平面的向量称为共面向量．
8、向量共面定理:空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，，使；或对空间任一定点，有；或若四点，，，共面，则．
9、已知两个非零向量和，在空间任取一点，作，，则称为向量,的夹角，记作．两个向量夹角的取值范围是：．
10、对于两个非零向量和，若,则向量，互相垂直，记作．

11、已知两个非零向量和,则称为,的数量积，记作．即．零向量与任何向量的数量积为．
12、向量数乘积的运算律：；；
．
13、空间向量的坐标形式的运算：设，，则．
．
．
．
若、为非零向量，则．
若，则．
．
．
，,则．
14、若空间不重合两条直线,的方向向量分别为，，则
，．
15、设异面直线，的夹角为，方向向量为，,其夹角为，则有
．
补充：1、诱导公式
2、同角三角函数的基本关系
3、两角和与差的正弦、余弦公式，二倍角公式
3、概率与统计初步
4、平面向量
5、立体几何中旋转体的体积和侧面积公式