山东省济宁育才中学高三第二学期阶段测试(理数).doc

济宁育才中学2009级2011－2012学年度第二学期阶段测试
数学试题（理）（2012．03）
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．
一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
1．若，为虚数单位，且则（ ）
A．， B. C. D.
2．设集合，则 “”是“的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．等差数列的前项和为，已知，则当取最大值时的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（ ）

A． 8 B． C．10 D．
6．在中，是的中点，，点满足，则（ ）
A．2 B． C． D．
7．已知，，，则（ ）
A．　　 B． C．　　　　　 D．
8．的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）
A． B． C．20 D．40
9．已知，，则关于的方程有实根的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，设点是单位圆上的一定点，动点从出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点所转过的弧的长为，弦的长度为，则函数的图像大致是（ ）

11．奇函数满足对任意都有，且，则的值为（　 　）
A． B． C． D．
12．设、分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二．填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
13．将名新来的同学分配到、、三个班级中，每个班级至少安排名学生，其中甲同学不能分配到班，那么不同的分配方案方法种数为 ▲ （用数字作答）
14．已知函数，则 ▲ ．
15．已知圆经过直线与坐标轴的两个交点，又经过抛物线的焦点，则圆的方程
为 ▲ ．
16．给出下列结论．
①命题“”的否定是“”；
②将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度变为函数的图象；
③已知～，若，则；
④已知函数，若，且，则的取值范围是；
其中真命题的序号是 ▲ （把所有真命题的序号都填上）．
三．解答题（本大题共6个小题，共74分）
17．（本题满分12分）
设函数．
（Ⅰ）求的最大值，并写出使取最大值时的集合；
（Ⅱ）已知中，角的对边分别为．若，．求的最小值.
18．（本题满分12分）
在全市摸底数学考试中，从甲、乙两个班级各抽取名同学的成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于分为及格．

（Ⅰ）从两班10名同学中各抽取一人，在已知有人及格的条件下，求乙班同学不及格的概率；
（Ⅱ）从甲班10人中取一人，乙班10人中取两人，三人中及格人数记为，求的分布列和期望．
19．（本题满分12分）
等差数列中， 分别是下表第一、二、三列中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一行.

第一列
第二列
第三列
第一行

第二行

第三行

（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足：，设数列的前项和（），证明：.
20．（本题满分12分）
已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）判断并说明上是否存在点，使得∥平面；
（Ⅲ）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．

21．（本题满分12分）
如图，椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合，过作与轴垂直的直线与椭圆交于、两点，与抛物线交于、两点，且．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设是椭圆上的任意一点，为圆的任意一条直径（、为直径的两个端点），求的最大值．

22．（本小题满分14分）
已知函数（为常数，）．
（Ⅰ）若是函数的一个极值点，求的值；
（Ⅱ）求证：当时，在上是增函数；
（Ⅲ）若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围．
济宁育才中学2009级2011－2012学年度第二学期阶段测试数学试题参考答案（理）（2012．03）
一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
DABBC BCDAC AC
二．填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
13. 24 ； 14. ； 15. ；16. ①③
三．解答题（本大题共6个小题，共74分）
17． 解：（Ⅰ）
……3分
的最大值为，……4分
要使取最大值， ，故的集合为……分
【注：未写“”扣1分；结果未写成集合形式扣1分，如果两者都不符合也扣1分】
（Ⅱ）由题意，，即
化简得 ………………8分
，，只有，在中，由余弦定理， ………………10分
由知，即，当时取最小值 ………………分
18．（本题满分12分）
解：（Ⅰ）甲班有4人及格，乙班有5人及格．事件“从两班10名同学中各抽取一人，已知有人及格”记作，
事件“从两班10名同学中各抽取一人，乙班同学不及格”记作，
则．………………6分
（Ⅲ）X取值为0,1,2,3
；；
；．………………10分
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P(X)

所以．………………12分
19．（本题满分12分）
解：（Ⅰ）当时，不合题意；当时，不合题意；当时，当且仅当，时符合题意；因此，，，所以等差数列的公差，故。……………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知则。……………5分
又 ①
得 ② ……………8分
①—②得： 故
所以 ……………12分
20．（本题满分12分）
解法一：（Ⅰ）∵ 平面，，，，建立如图所示的空间直角坐标系，则．……………2分
不妨令∵，
∴，即．……………4分
（Ⅱ）设平面的法向量为，
由，得，令，解得：．∴． ……………6分
设点坐标为，，则，
要使∥平面，只需，即，得，
从而满足的点即为所求．……………8分
（Ⅲ）∵，∴是平面的法向量，易得， 又∵平面，∴是与平面所成的角，得，，平面的法向量为 ……………10分
∴，
故所求二面角的余弦值为．……………12分
解法二：（Ⅰ）证明：连接，则，，又，∴，
∴………………2分
又平面，∴，又，∴。………4分
（Ⅱ）过点作交于点，则平面，且，……………6分
再过点作交于点，则平面且，
∴平面平面，∴平面。故的点即为所求。……………8分
（Ⅲ）∵平面，∴是与平面所成的角，且，∴
取的中点，则，平面，在平面中，过作于，连接，则平面，则即为二面角的平面角。……………10分
∵∽，∴ ，∵，且∴ ，，∴ ……………12分
21．（本题满分12分）
解析：（Ⅰ）由条件可知椭圆的焦点坐标为，易知，，由可得：，又，则解得：，，所以椭圆的方程为．……………4分
（2）方法1：设圆的圆心为，
则．
从而求的最大值转化为求的最大值．……………6分
因为是椭圆上的任意一点，设， 所以，即．……………8分
因为点，所以．……………10分
因为，所以当时，取得最大值12． 所以的最大值为11．……………12分
方法2：设点，因为的中点坐标为，所以
所以
．……………6分
因为点在圆上，所以，即．
因为点在椭圆上，所以，即．……………10分
所以．

因为，所以当时，．……………12分
方法3：①若直线的斜率存在，设的方程为，
由，解得．……………6分
因为是椭圆上的任一点，设点，所以，即．
所以，…………8分
所以．…………10分
因为，所以当时，取得最大值11．
②若直线的斜率不存在，此时的方程为，
由，解得或．
不妨设，，． 因为是椭圆上的任一点，设点，
所以，即．所以，．
所以．
因为，所以当时，取得最大值11．
综上可知，的最大值为11．……………12分
22．（本小题满分14分）
解： ……………1分
（Ⅰ）由已知，得即， 经检验，满足条件.…………4分
（Ⅱ）当时， …………5分
当时，.又，故在上是增函数………………6分
（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知，在上的最大值为
于是问题等价于：对任意的，不等式恒成立. ………………8分
记，则
当时，有，且在区间（1，2）上递减，且，则不可能使恒成立，故必有…………10分
当，且
若，可知在区间上递减，在此区间上有，与恒成立矛盾，故，这时，即在（1，2）上递增，恒有满足题设要求.
，即，所以，实数的取值范围为.……………………………14分