微积分部分多元函数微分学.doc

第五部分 多元函数微分学（1）
[选择题]
容易题1—36，中等题37—87，难题88—99.
1．设有直线及平面，则直线 ( )
(A) 平行于. (B) 在上.(C) 垂直于. (D) 与斜交.
答：C
2．二元函数在点处 ( )
(A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在
(C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在
答：C
3．设函数由方程组确定，则当时，( )
(A) (B) (C) (D)
答：B
4．设是一二元函数，是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( )
(A) 若在点连续，则在点可导.
(B) 若在点的两个偏导数都存在，则在点连续.
(C) 若在点的两个偏导数都存在，则在点可微.
(D) 若在点可微，则在点连续.
答：D
5．函数在点处的梯度是( )
(A) (B) (C) (D)
答：A
6．函数在点处具有两个偏导数 是函数存在全
微分的（ ）.
（A).充分条件 （B).充要条件
(C).必要条件 (D). 既不充分也不必要
答C
7．对于二元函数，下列有关偏导数与全微分关系中正确的命题是（ ）.
(A).偏导数不连续，则全微分必不存在 (B).偏导数连续，则全微分必存在
(C).全微分存在，则偏导数必连续 (D).全微分存在，而偏导数不一定存在
答B
8．二元函数在处满足关系（ ）.
(A).可微（指全微分存在） 可导（指偏导数存在）连续
(B).可微可导连续
(C).可微可导或可微连续，但可导不一定连续
(D).可导连续，但可导不一定可微
答C
9．若，则在是 ）
(A).连续但不可微 (B).连续但不一定可微
(C).可微但不一定连续 (D).不一定可微也不一定连续
答D
10．设函数在点处不连续，则在该点处（ ）
(A).必无定义 (B)极限必不存在
(C).偏导数必不存在 (D).全微分必不存在.
答D
11．二元函数的几何图象一般是：( )
(A) 一条曲线
(B) 一个曲面
(C) 一个平面区域
(D) 一个空间区域
答 B
12．函数的定义域为( )
(A) 空集
(B) 圆域
(C) 圆周
(D) 一个点
答 C
13．设则( )
(A)
(B)
(C)
(D)
答 A
14．=( )
(A) 存在且等于0.
(B) 存在且等于1.
(C) 存在且等于
(D) 不存在.
15．指出偏导数的正确表达( )
(A)
(B)
(C)
(D)
答 C
16．设 （其中 ），则（ ）.
（）；（）；（）；（）.
答案
17． 函数在点处（ ）
（）无定义； （）无极限； （）有极限，但不连续； （）连续.
答案
18． 函数在点间断，则（ ）
（）函数在点处一定无定义；
（）函数在点处极限一定不存在；
（）函数在点处可能有定义，也可能有极限；
（）函数在点处有定义，也有极限，但极限值不等于该点的函数值.
答案
19． 设函数，由方程组确定，，则
（ ）
（）； （）；
（）； （）.
答案
20． 在点处的梯度（ ）
（）； （）；
（）； （）.
答案
21． 设函数在点处可微，且，，则
函数在处（ ）
（）必有极值，可能是极大，也可能是极小；
（）可能有极值，也可能无极值；
（）必有极大值；
（）必有极小值.
答案
22．设则=( )
(A) 0
(B) 不存在
(C)
(D) 1
答 A.
23．设,则=( )
(A)
(B)
(c)
(D) 0
答 B.
24．设则=( )
(A)
(B)
(C)
(D)
答 A
25．设,确定则=( )
(A)
(B)
(C)
(D)
答B
26．已知则 )
(A)
(B)
(C) 1
(D) 0
答D
27．设由方程确定,则=( )
(A)
(B)
(C)
(D)
答 D
28．设,则=( )
(A)
(B)
(C)
(D)
答 C
29．设,则=( )
(A)
(B)
(C)
(D)
答 D
30．下列做法正确的是( )
(A) .设方程,代入,得.
(B) 设方程,代入,得.
(C) 求平行于平面的切平面,因为曲面法向量
,
切平面方程为.
(D) 求平行于平面的切平面,因为曲面法向量
,
切平面方程为
答 B
31．设为平面上的点,且该点到两定点的距离平方之 和
为最小,则此点的坐标为( )
(A)
(B)
(C)
(D)
答 B
32．若函数在点可微，则在该点（ ）
(A)一定存在.
(B) 一定连续.
(C) 函数沿任一方向的方向导数都存在，反之亦真.
(D) 函数不一定连续.
答章纪
33．在矩形域内，是（常数）的（ ）
(A)必要条件 (B) 充分条件
(C) 充要条件 (D)既非充分也非必要条件
答C
34．若函数均具有一阶连续偏导数，则( )
(A) ( B)
(C) (D)
答B
35．设函数具有二阶连续导数，则函数满足关系（ ）
(A) (B)
(C) (D)
答D
36．二元函数的极大值点是
(A) (1,1) (B) (0,1) (C) (1,0) (D) (0,0)
答D
37． 直线与之间的关系是( )
(A) 重合 (B) 平行 (C) 相交 (D) 异面
答：B
38． 曲面的与平面平行的切平面方程是( )
(A) (B)
(C) (D)
答：D
39． 下列结论中错误的是( )
(A) (B)
(C) . (D) 不存在.
答：B
40．已知二阶连续可导，，记，则下列结论中正确的是( )
(A) . (B)
(C). (D)
答：D
41．设函数，又，则下列结论中正确的是( )
(A) . (B) . (C) . (D) .
答：D
42．设则在原点处（ ）
(A).偏导数不存在，也不连续 (B).偏导数存在但不连续
(C).偏导数存在且可微 (D).偏导数不存在也不可微
答:(B)
43．设则（ ）
(A). 0 (B). 1 (C). 2 (D).不存在
答：(B)
44．设则=（ ）
(A). 1 (B). (C). 2 (D). 0
答： (B)
45．设则（ ）
(A). (B).
(C). (D).
答：(B)
46．设，则（ ）
(A). 3/2 (B). 1/2 (C). (D).0
答：(B)
47．设方程确定隐含数（其中可微），且
,则( )
(A). 1/7 (B). (C). (D).
答：（B)
48．曲面上平行于平面的切平面方程是（ ）
(A). (B).
(C). (D).
答：(A)
49．二元实值函数在区域上的最小值为
（ ）
(A). 0 (B). (C). (D).
答：(C)
50．平面是曲面在点（1/2，1/2，1/2）处的切平面，则
的值是（ ）.
(A).4/5 (B). 5/4 (C)2 (D).1/2
答：(C)
51．已知曲面，在其上任意点处的切平面方程
为，则切平面在三坐轴走上的
截距之和为（ ）
(A) (B). (C). (D).
答：(C)
52．指出与不相同的函数( )
(A)
(B)
(C)
(D)
答 B
53．指出错误的结论：( )
(A) 按等价无穷小的替换原则，有
(B) 按无穷大量与无穷小量的关系，有，
因当时， .
(C) 按变量代换的方法，有，
此处.
(D) 按根式有理化方法，有.
答 B
54．以下各点都是想说明不存在的，试问其理由是否正确？( )
(A) 对，理由是时函数无定义.
(B) 对理由是令或将得到不同的极限值.
(C) 对理由是令，即知极限不存在.
(D) 对理由是当或时极限已经不存在，故二重极限更不可能存在了.
答 B
55． 在具备可微性的条件下，等式
的成立，对还有什麽限制？( )
(A) 没什麽限制（除作分母时不为 0）.
(B) 只能是自变量.
(C) 是自变量或某自变量的一元函数.
(D) 是自变量或某自变量的一次函数.
答 A
56．对二元函数而言，指出下列结论中的错误.( )
(A) 两个偏导数连续任一方向导数存在.
(B) 可微任一方向导数存在.
(C) 可微连续
(D) 任一方向导数存在函数连续.
答 D
57．设满足隐函数定理的条件，问如何？( )
(A) 该式
(B) 该式
(C) 因为一个方程可以确定一个函数，不妨设为函数，另两个变量则为自变量，于是，故所给表达式为.
(D) 仿(C)不妨设由确定为的函数,因无意义,故所给表达式无意义.
答 B
58．设，试求对的导数.( )
(A) 由第一个方程两边对求导，得，故.
(B) 由第二个方程两边对求导，同理得.
(C) 由两个方程消去得，再对求导，得故.
(D) 视为的函数，在方程组两边对求导，得，故解出.
答 D
59．设，则由两边对求导的结果为：( )
(A) ,其中.
(B) .
(C) .
(D) .
答 A
60．（ ）
（）； （）； （）； （）不存在.
答案：（）
61．设函数 ，则（ ）
（）极限存在，但在点处不连续；
（）极限存在，且在点处连续；
（）极限不存在，故在点处不连续；
（）极限不存在，但在点处连续.
答案：（）
62．设分别为函数在区域上的最小值和最大值，且，则（ ）
（）函数在定义域内一定有点，使满足：；
（）当为闭区域，为连续函数时，则在上至少有一点，使
；
（）当为有界区域，为连续函数时，则在上至少有一点
，使；
（）当为连通区域，为上的连续函数时，则在上至少有一点
，使.
答案：（）
63． 函数在点偏导数存在是在该点连续的（ ）
（）充分条件但不是必要条件；
（）必要条件但不是充分条件；
（）充分必要条件；
（）既不是充分条件也不是必要条件.
答案：（）
64． 二元函数在处满足关系（ ）
（）可微（指全微分存在）可导（指偏导数存在）连续；
（）可微可导连续；
（）可微可导，或可微连续，但可导不一定连续；
（）可导连续，但可导不一定可微.
答案：（）
65． 若，，则在是（ ）
（）连续且可微；
（）连续但不一定可微；
（）可微但不一定连续；
（）不一定可微也不一定连续.
答案：（）
66．设 则（ ）
（）； （）；
（）； （）不存在.
答案：（）
67．二元函数在点处的两个偏导数，存在是
在该点连续的（ ）
（）充分条件而非必要条件；
（）必要条件而非充分条件；
（）充分必要条件；
（）既非充分条件又非必要条件.
答案：（）
68．已知为某函数的全微分，则（ ）
（）； （）； （）； （）.
答案：（）
69．下列命题中正确的是( )
(A)与等价
(B) 函数在点连续,则极限必定存在.
(C) 与都存在,则在点必连续
(D)在点沿任何方向的方向导数存在,则在点必连续
答 B
70．如在点不可微, 则一定不成立的是( )
(A)在点不连续
(B)在点沿任何方向的方向导数不存在
(C)在点两个偏导数都存在且连续
(D)在点两个偏导数存在且至少有一个不连续
答 C
71．下列条件中 ( ) 成立时, 在点必有全微分
(A) 在点两个偏导数
(B)在点的全增量,
(C)在点的全增量
(D) 在点的全增量
答 D
72．下列结论中正确的是( )
(A) 设,如在点存在偏导, 在点
存在偏导,则一定成立.
(B) 只要存在,必有
(C) 偏导数只要存在必定连续
(D) 初等函数在有定义的点必定连续
答 D
73．设,则在点( )
(A) 连续,但偏导数不存在.
(B) 偏导数存在,但不可微
(C) 可微
(D) 偏导数连续,但不可微
答 B
74．, 则在点( )
(A) 不连续,偏导数存在且可微
(B) 连续,偏导数存在,但不可微
(C) 沿任何方向的方向导数存在,且可微
(D) 不连续,但沿任何方向的方向导数存在,并且不可微
答 D
75．设在(1,1)点可微,又有
则( )
(A) .
(B)
(C)
(D)
答 A
76．下列极限中存在的是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
答 C
77．设有,下列结论中正确的是( )
(A) 方程在点邻域内不能确定隐函数
(B) 方程在点邻域内不能确定隐函数
(C) 方程在点邻域内不能确定隐函数
(D) 以上均不正确
答 C
78．若函数为可微函数，且满足
则当时，( )
(A) 1 (B) (C) (D)
答B
79．设函数在[-1，1]上连续，则( )
(A) (B)
(C) (D)
答C
80．设，则( )
(A) (B),不存在 (C)1，0 (D) 不存在，0
答C
81．当( )时，由方程总能确定，且就具有连续导函数
(A) (B) (C) (D)
答A
82．在( 　)条件下，由方程　所确定的函数满足方程

(A)连续 (B) 可微
(C) 可微且 (D) 可微且
答D
83．已知曲面上点P的切平面，则点P的坐标是( )
(A ) (1,-1,2) (B) (-1,1,-2)
(C) (1,1,2) (D) (-1,-1,2)
答C
84．曲面在的切平面方程是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
答C
85．若函数在点的某个邻域内具有连续的偏导数，则函数在该点沿
　　　（其中为轴到的转角）的方向导数为( )
(A) (B)
(C) (D)
答B
86．若函数点的某个邻域内具有连续的偏导数，则在该点梯
度( )
(A) (B)
(C) (D)
答C
87．若函数在区域内连续，关于极值的陈述( )是正确的
(A)在偏导数不存在的点也可能取到极值
(B)若在D内有唯一驻点，则至多有一极值点
(C) 若函数有两个极值点，则其中之一必为极大值点，另一个必为极小值点
(D)在驻点处，若，则
不 为极值点
答 A
88．下列命题中错误的是( )
(A) 若在上可导，且存在唯一的极小值点，则必是在上的最小值.
(B) 若在有界闭域内存在唯一的极小值点，则必是在上的最小值.
(C) 若在有界闭域内取到最小值，且是在内的唯一极小值点，则必是在上的最小值.
(D) 连续函数在有界闭域上的最大、最小值可以都在上取到.
答：B
89．下列命题中正确的是( )
(A) 设为曲面外一点，为曲面上的点，若，则是在处的法向量.
(B) 设为光滑曲面外一点，为曲面上的点，若，则是在处的法向量.
(C) 设为光滑曲面外一点，为曲面上的点，若是在处的法向量，则.
(D) 设为光滑曲面外一点，为曲面上的点，若是在处的法向量，则.
答：B
90．下列命题中正确的是( )
(A) 若二元函数连续，则作为任一变量或的一元函数必连续.
(B) 若二元函数作为任一变量或的一元函数都连续，则必连续.
(C) 若二元函数可微，则其必存在连续的一阶偏导数.
(D) 若二元函数不连续，则其必不可导.
答：A
91．设在区域上有定义，是的一个内点，则下列命题中正确的是( )
(A) 若存在，则存在，且=.
(B) 若与都存在且相等，则存在.
(C) 若与都存在，则=.
(D) 若不存在，则不存在.
答：C
92．设是一二元函数，是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是 )
(A) 若在点的两个偏导数都存在，则在点的梯度是.
(B)若在点的两个偏导数都存在，则在点沿方向方向导数是.
(C )若在点的两个偏导数都存在，则在点的微分是.
(D)若在点可微，则在点的微分是.
答：D
93．记，.设指出错误的结论：( )
(A) 对任给存在，当时，有.
(B) 在点连续对任给，存在，当及时，有.
(C) 对任给存在当及时，有.
(D) 在点连续对任给存在当时，有.
答 C
94．设可微，，偏导数.求
在处的导数( )
(A) 因，故.
(B) 因，故.
(C) 由解得，故.
(D) 因，故.
答 D

95．设，，其中具有二阶连续偏导数，则( )
（）；
（）；
（）；
（）.
答：（）
96．设为可微函数，且当时，有及，则当
时，（ ）
（）； （）； （）； （）.
答：（）
97．设而由方程所确定的的函数，其中都具有
一阶连续的偏导数，则（ ）
（）； （）；
（）； （）.
答：（）
98．二元函数 在点处（ ）
（）连续，偏导数存在； （）连续，偏导数不存在；
（）不连续，偏导数存在； （）不连续，偏导数不存在.
答：（）
99．已知函数在点的某个邻域内连续，且，则[ ]
(A) 点不是的极值点.
(B) 点是的极大值点.
(C) 点是的极小值点.
(D) 根据所给条件无法判断点是否为的极值点.
答：A
27 / 27