第四章线性方程打印.doc

第四章 线性方程（组）与不等式线性方程（组）与不等式在生活中有着十分广泛的应用,它能将问题中未知数与已知数的联系用等式或不等式的形式表现出来，人们通过分析数量关系，用字母表示未知数,列出方程或不等式,然后求出未知数,因而解决许多实际问题。4.1一元一次方程-知识要点 一元一次方程的概念 一元一次方程的解法能力要求 掌握一元一次方程的概念及解法-首先，我们通过学习一元一次方程,将感受到方程的作用，并学习一元一次方程的解题方法。一、一元一次方程的概念含有未知数的等式叫做方程。在一个方程中，只含有一个未知数(元)，并且未知数的次数是1(次），这样的方程叫做一元一次方程。方程（其中是未知数，并且）叫做一元一次方程的标准形式。二、 一元一次方程的解法解一元一次方程,一般要通过去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1等步骤，把一个一元一次方程“转化”成的形式.例1 解下列方程 (1） (2）解:（1)去括号,得 移项，得 合并同类项，得 (2）去分母，得 去括号，得 移项,得 合并同类项，得 方程两边同除以,得从上面的例题可以看到，解方程时，并不是所有的步骤都要用到，而是要根据方程的形式灵活地安排求解步骤,有时一些步骤还可以合并简化.但是,有一点要强调:移项时要变号。三、可化为一元一次方程的分式方程的解法分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解分式方程的一般步骤是:（1）在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母，化成整式方程。(2）解这个整式方程。(3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零。使最简公分母为零的根是原方程的增根,必须舍去。例2 解方程 解：方程的两边都乘以，约去分母，得 解这个整式方程，得 检验:当时，所以是原方程的根。例3 解方程 解:方程的两边都乘以时，约去分母，得 解这个整式方程，得 检验:当时, ，所以是增根，原方程无解.习题 4.11. 选择题（1）方程的解是（）.A。 B。 C。 D。 (2）下列方程中，是以为根的方程为（)A。 B。 C D. 2. 已知是关于方程的解，求的值.3. 解下列方程（1) （2) 4。2二元一次方程组-知识要点 二元一次方程组的概念 二元一次方程组的解法能力要求 掌握二元一次方程组的解法及其应用-在本节中，我们将了解二元一次方程组的概念，并掌握用“代入法”、“加减法”解二元一次方程组.一、二元一次方程和二元一次方程组含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组。二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解.二、二元一次方程组的解法解二元一次方程组的基本思路是“消元”把“二元”变为“一元。主要方法有以下两种：1. 代入消元法 在一个二元一次方程组中，将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来,并代入另一个方程中，从而消去一个未知数,化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法例1 解方程组解：由得 将代入,得解得 将代入,得 所以原方程组的解是 例2解方程组解：由得 将代入得： 即将代入，得 所以所以原方程组的解是2. 加减消元法 在一个二元方程组中，通过将两式相加（减），从而消去其中的一个未知数,化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为加减消元法，简称加减法.例3解方程组解：+，得将代入得 得所以原方程组的解为例4解方程组解: 3，得 2,得 ，得 将代入，得 所以原方程组的解是习题 4。21。 选择题（1） 下列方程:， ， ,， ，其中为二元一次方程的个数有（ ）A.1 B.2 C。3 D.4（2）下列方程组中，是二元一次方程组的是( ）A。 B。 CD。 2。 解下列二元一次方程组(1 ） （2） 3. 解下列二元一次方程组（1） （2） 4。3三元一次方程组-知识要点 三元一次方程组的概念 三元一次方程组的解法能力要求 掌握三元一次方程组的解法-在一些实际问题中,我们所需要解决的问题往往涉及三个或多个未知数，因而求解多元方程组的问题是我们继续讨论的课题。如甲、乙、丙三数之和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比丙数大18，求这三个数。如果设甲数是，乙数是，丙数是 ，根据题意，可以得到下列几个方程, ,，这个问题的解必须同时满足上述三个方程，因此，我们把上述三个方程合在一起写成这就构成了方程组，该方程组中含有三个未知数，且方程组的每个方程的未知数的次数都是1，这就是我们要学习的三元一次方程。三元一次方程组与二元一次方程组的求解思想是一致的，都是通过一定的方法进行“消元”，即“三元”化“二元”、“二元”化“一元”的化归思想方法。前面我们学习了“代入法”、“加减法解二元一次方程组，这两种方法的实质都是消元,即把“二元”转化为“一元”,从而使问题得到解决。解三元一次方程组与解二元一次方程组一样，也需要利用代入法、加减法，从而达到“消元”的目的。例解方程组 解法一：由，得 将分别代入、得解这个方程组，得把代入，得所以原方程解法2：， 由，组成方程组 解这个方程组，得 把代入中，得,所以原方程组的解为 解法3：由+，得把代入,得 把，代入，得所以原方程组的解为 习题 4.31。选择题（1）下列方程是三元一次方程的是（ )A. B. C。 D。 （2）下列各组数值中，满足方程59y+7z=8的是( ）A B。 C D. (3)三元一次方程组的解为（ ）AB。 C D。 （4）已知方程组则的值为（ ）A.14 B。2C。-14 D。22.解三元一次方程组(1） （2）4.4 一元二次方程-知识要点 一元二次方程的概念 一元二次方程的解法能力要求 掌握一元二次方程的概念及解法-生活中，你会设计小区内绿地的形状吗？你知道如何计算银行储蓄的年利率吗？ 生活中有许多问题涉及一种新的数学模型“一元二次方程”。这是一种常用的工具，有了它,你就能圆满地解决许多类似这样的问题。一、 一元二次方程指等号两边都是整式，且只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.使一元二次方程左右两边相等的未知数的值,叫做一元二次方程的解（或者根）。 一般地,任何一个关于的一元二次方程,经过整理，都能化成如下形式这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中是二次项，是二次项系数; 是一次项，是一次项系数；是常数项。（1)求根公式 （2）判别式，时，方程有两个不相等的实数根； 时，方程有两个相等的实数根； 时,方程没有实数根。二、一元二次方程的解法 直接开平方法：即利用平方根定义直接开平方求一元二次方程的解。 配方法：即通过配成完全平方形式来解一元二次方程。 公式法：即解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根。 因式分解法：即先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次的解法。根和系数的关系 如果的两根是、，那么，。例1解方程解:因为是的平方根所以即或解得，例2解方程解法1(配方法）原方程配方,得整理得 所以解得， 解法2（因式分解法） 原方程可化为解得，解法3(公式法) 所以 解得，习题 4.41.填空（1） 如果方程有两个实数根和,_， _ 。（2） 如果方程的一个根为0，则=_,另一个根为_.（3） 已知两个数的和为10，积为9，则这两个数分别为_。2.解方程（1) （2） （3） （4） 4。5不等式-知识要点 不等式的基本性质 一元一次不等式的解法 一元二次不等式的解法能力要求 掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法-一、 一元一次不等式数量有大小之分，它们之间有相等关系，也有不等关系，人们常常把要比较的对象数量化，再考虑它们的大小，这就是研究不等关系.在这一节里，我们首先学习利用一元一次不等式解决一些问题.我们已经知道用“”“”或“”号链接而成表示大小关系的式子叫不等式。类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。与方程类似，把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。实数可以比较大小,两个不同的实数，之间具有以下性质：如果是正数，那么；如果是负数，那么；如果等于零，那么。反过来也对。这就是说，;； .因此,比较两个实数大小，只需要考察他们的差即可。例 2002年某城市空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数之比达到55，如果到2008年这样的比值要超过70%，那么2008年空气质量良好的天数要比2002年至少增加多少？解:设2008年比2002年空气质量良好的天数增加了x。2002年有天空质量良好，2008年有天空质量良好，并且 去分母，得移项，合并同类项,得由应为正整数，得答：2008年要比2002年空气质量良好的天数至少增加56天，才能使这一年空气质量良好的天数超过全年天数的70%.从上面的问题可以看出，一元一次不等式的解法与一元一次方程类似，只是不等式两边同乘（或除以）一个数时，要注意不等号的方向.二、一元二次不等式由一元一次不等式的定义我们可知，含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式。它的一般形式为：或。1.不等式的基本性质性质1 如果，且，那么.证明：，于是因此 性质1叫做不等式的传递性.性质2如果，那么.性质2叫做不等式的加法性质。推论 如果，那么。性质3如果，那么；如果，那么。性质3叫做不等式的乘法性质.推论 如果，那么。2一元二次不等式的解法我们已经学习过一元一次不等式的解法。现在我们来学习一元二次不等式的解法。不等式的解集也可用区间来表示。1） 区间介于两个实数之间的所有实数的集合叫做区间.这两个实数叫做区间的端点。设，为任意两个实数,且，规定：不等式集合区间图示（闭区间）（开区间）（左开区间）（右开区间） 2)一元二次不等式含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式.它的一般形式为： 或。 一元二次不等式的解集与一元二次方程的根及二次函数的图像密切相关，如下表所示。一元二次方程的根有两个相异实根（取)有两个相等实根没有实根二次函数的图像一元二次不等式的解集实数集R例1 解下列各一元二次不等式：(1）；(2) ； (3）； （4) 分析：首先判定二次项系数是否为正数,再研究对应一元二次方程解的情况，最后对照表格写出不等式的解集。解：(1）因为二次项系数为10，且方程的解，故不等式的解集为。（2)可化为,因为二次项系数为10,且方程的解为，故的解集为（-3，3)。（3）中，二次项系数为-30，将不等式两边同乘1,得。方程的解为。故不等式的解集为，即的解集为.（4） 因为二次项系数为-20，将不等式两边同乘1，得，由于判别式,故方程,没有实数解，所以不等式的解集为，即的解集为.例2 是什么实数时,有意义？解：根据题意需要解不等式。解方程得。由于二次项系数为30，所以不等式的解集为。即当时，有意义。习题 4。51. 填空题（1)设，用“”或“填空: _； _（2） 若有意义，则的取值范围是_.(3）下列数学表达式：;；其中是不等式的有_。2. 用不等式表示是负数 与2的差大于1的一半与3的和大于-1 的倒数与1的和不小于1是不小于2且小于5的数 是非负数3. 解下列不等式（1） （2）（3） (4）4。的方程有两个不等的实根,求实数的取值范围.本章内容小结1本意主要内容一元一次方程、二元一次方程组、三元一次方程组、一元二次方程与不等式.2应注意的问题(1）一元一次方程与二元一次方程组的联系。（2）解方程组时,通常用“消元” 即“三元”化“二元”、“二元”化“一元”，从而达到解方程组的目的。(3）对二（三）元一次方程组理解不清，容易误认为组成方程组的两个方程都必须是二（三）元一次方程,常在判断一个方程（组）是否为二（三）元一次方程(组）时出错。（4）解方程组要认真细致,方程两边同时乘（或除以）同一个不为零的数时,常忘记数项的运算，这样整个方程组就解错了。（5）容易忽略不等式两边同时乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向应该改变。（6)不等式解集的表示常常出错。第四章 复习题1. 已知是关于的方程的解,求的值。2. 解一元二次方程(1）（2）（3）（4)（5）3. 解下列二元一次方程组（1） （2）（3）(4)4. 解三元一次方程组（1） （2）5。 如果方程有两个相等的实数根，则_。6.选择题（1)如果，那么（ ）A。B. C.与都不等于0D。 、中至少有一个不等于0(2)以为解集的不等式是（ ）A B. CD. 7。解下列不等式（1） （2)8。 是什么实数时，方程没有实数根？部分习题答案习题4.11. (1）(2） 2. 3. （1） ； (2)习题4.21. （1）（2) 2。(1)(2) 3.（1） (2) 习题4.31. (1）(2）(3)(4) 2。(1) (2） 习题4.41.（1) ，（2)，（3)，2。（1) ; （2) ； (3） ； (4) ；习题4。51。（1） ， (）3.（1） (2) (3) (4) 4。 复习题四1。 2.(1） ,(2） (3) (4) (5) ,3. (1） (2） （3) （4) 4.（1） （2） 5。 6. （1）（2) 7。 (1)(2) 8。