2022年北京市教院附中数学九上期末学业质量监测试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，是等边三角形，且与轴重合，点是反比例函数的图象上的点，则的周长为（ ）

A． B． C． D．
2．下列一元二次方程中，两个实数根之和为2的是（　　）
A．2x2+x﹣2＝0 B．x2+2x﹣2＝0 C．2x2﹣x﹣1＝0 D．x2﹣2x﹣2＝0
3．如图，在中，∠B=90°，AB=2，以B为圆心，AB为半径画弧，恰好经过AC的中点D，则弧AD与线段AD围成的弓形面积是（　　）

A． B． C． D．
4．抛物线y=(x－4)(x＋2)的对称轴方程为（ ）
A．直线x=-2 B．直线x=1 C．直线x=-4 D．直线x=4
5．已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（　　）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
6．如图，若绕点按逆时针方向旋转后能与重合，则（ ）．

A． B． C． D．
7．若用圆心角为120°，半径为9的扇形围成一个圆锥侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面直径是（　　）

A．3 B．6
C．9 D．12
8．小敏打算在某外卖网站点如下表所示的菜品和米饭.已知每份订单的配送费为3元，商家为促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满60元减30元，满100元减45元.如果小敏在购买下表的所有菜品和米饭时，采取适当的下单方式，那么他的总费用最低可为（ ）
菜品
单价（含包装费）
数量

水煮牛肉（小）
30元
1

醋溜土豆丝（小）
12元
1

豉汁排骨（小）
30元
1

手撕包菜（小）
12元
1

米饭
3元
2
A．48元 B．51元 C．54元 D．59元
9．如图，抛物线的对称轴为，且过点，有下列结论：①＞0；②＞0；③；④＞0.其中正确的结论是（ ）

A．①③ B．①④ C．①② D．②④
10．点P(-6，1)在双曲线上，则k的值为( )
A．-6 B．6 C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，若∠BOC=100°，则∠BAC=______．

12．已知一组数据：12，10，1，15，6，1．则这组数据的中位数是__．
13．用配方法解方程时，原方程可变形为 _________ ．
14．一只蚂蚁在如图所示的方格地板上随机爬行，每个小方格形状大小完全相同，当蚂蚁停下时，停在地板中阴影部分的概率为________．

15．如图，矩形纸片中，，，将纸片沿折叠，使点落在边上的处，折痕分别交边、于点、，且.再将纸片沿折叠，使点落在线段上的处，折痕交边于点.连接，则的长是______.

16．某商品连续两次降低10%后的价格为a元，则该商品的原价为______．
17．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，若AF＝3，E为AB上一个动点，把△AEF沿着EF折叠，得到△PEF，若△BPE为直角三角形，则BP的长度为____．

18．如图，点在双曲线上，且轴于，若的面积为，则的值为__________．

三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，抛物线过点，交x轴于A，B两点点A在点B的左侧．

求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标；
连接OC，CM，求的值；
若点P在抛物线的对称轴上，连接BP，CP，BM，当时，求点P的坐标．
20．（6分）如图，AB是€⊙O的直径，点C是€€⊙O上一点，AC平分∠DAB，直线DC与AB的延长线相交于点P，AD与PC延长线垂直，垂足为点D，CE平分∠ACB，交AB于点F，交€€⊙O于点E．
（1）求证：PC与⊙O相切；
（2）求证：PC＝PF；
（3）若AC＝8，tan∠ABC＝，求线段BE的长．

21．（6分）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为B（3，4）、A（﹣3，2）、C（1，0），正方形网格中，每个小正方形的边长是一个单位长度．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是　 　；
（2）以点B为位似中心，在网格上画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为1：2，点C2的坐标是　 　；（画出图形）
（3）若M（a，b）为线段AC上任一点，写出点M的对应点M2的坐标　 　．

22．（8分）初三（1）班要从2男2女共4名同学中选人做晨会的升旗手．
（1）若从这4人中随机选1人，则所选的同学性别为男生的概率是　 　．
（2）若从这4人中随机选2人，求这2名同学性别相同的概率．
23．（8分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用32m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm．
（Ⅰ）若花园的面积是252m2，求AB的长；
（Ⅱ）当AB的长是多少时，花园面积最大？最大面积是多少？

24．（8分）先化简，再求值:，其中.
25．（10分）解方程：x2﹣6x+8＝1．
26．（10分）⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）．

（1）如图1，AC=BC；
（2）如图2，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】设△OAB的边长为2a，根据等边三角形的性质，可得点B的坐标为（-a，a），代入反比例函数解析式可得出a的值，继而得出△OAB的周长．
【详解】解：如图，设△OAB的边长为2a，过B点作BM⊥x轴于点M．

又∵△OAB是等边三角形，
∴OM=OA=a，BM=a，
∴点B的坐标为（-a，a），
∵点B是反比例函数y=− 图象上的点，
∴-a•a=-8，
解得a=±2（负值舍去），
∴△OAB的周长为：3×2a=6a=12．
故选：A．
【点睛】
此题考查反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，设△OAB的边长为2a，用含a的代数式表示出点B的坐标是解题的关键．
2、D
【分析】利用根与系数的关系进行判断即可．
【详解】方程1x1+x﹣1=0的两个实数根之和为；
方程x1+1x﹣1=0的两个实数根之和为﹣1；
方程1x1﹣x﹣1=0的两个实数根之和为；
方程x1﹣1x﹣1=0的两个实数根之和为1．
故选D．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x1是一元二次方程ax1bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x1，x1x1．
3、B
【分析】如图（见解析），先根据圆的性质、直角三角形的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，然后根据直角三角形的性质、勾股定理可得，从而可得的面积，最后利用扇形BAD的面积减去的面积即可得．
【详解】如图，连接BD，
由题意得：，
点D是斜边AC上的中点，
，
，
是等边三角形，
，
，
在中，，
又是的中线，
，
则弧AD与线段AD围成的弓形面积为，
故选：B．

【点睛】
本题考查了扇形的面积公式、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造等边三角形和扇形是解题关键．
4、B
【解析】把抛物线解析式整理成顶点式解析式，然后写出对称轴方程即可．
【详解】解：y=（x+2）（x－4），
=x2－2x－8，
=x2－2x+1－9，
=（x－1）2－9，
∴对称轴方程为x=1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，是基础题，把抛物线解析式整理成顶点式解析式是解题的关键．
5、D
【解析】由图可知，OA=10，OD=1．根据特殊角的三角函数值求出∠AOB的度数，再根据圆周定理求出∠C的度数，再根据圆内接四边形的性质求出∠E的度数即可．
【详解】由图可知，OA=10，OD=1，
在Rt△OAD中，
∵OA=10，OD=1，AD==，
∴tan∠1=，∴∠1=60°，
同理可得∠2=60°，
∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，
∴∠C=60°，
∴∠E=180°-60°=120°,
即弦AB所对的圆周角的度数是60°或120°，
故选D．

【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的对角互补、解直角三角形的应用等，正确画出图形，熟练应用相关知识是解题的关键.
6、D
【分析】根据旋转的性质知，，然后利用三角形内角和定理进行求解．
【详解】∵绕点按逆时针方向旋转后与重合，
∴，，
∴，
故选D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟知旋转角的定义与旋转后对应边相等是解题的关键．
7、B
【详解】设这个圆锥的底面半径为r，
∵扇形的弧长==1π，
∴2πr=1π，
∴2r=1，即圆锥的底面直径为1．
故选B．
8、C
【分析】根据满30元减12元，满60元减30元，满100元减45元，即可得到结论．
【详解】小宇应采取的订单方式是60一份，30一份，所以点餐总费用最低可为60−30＋3＋30−12＋3＝54元，
答：他点餐总费用最低可为54元．
故选C.
【点睛】
本题考查了有理数的加减混合运算，正确的理解题意是解题的关键．
9、C
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．
【详解】由抛物线的开口向下可得：a＜0，
根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b＜0，
根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
直线x=-1是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以-=-1，可得b=2a，
a-2b+4c=a-4a+4c=-3a+4c，
∵a＜0，
∴-3a＞0，
∴-3a+4c＞0，
即a-2b+4c＞0，故②正确；
∵b=2a，a+b+c＜0，
∴2a+b≠0，故③错误；
∵b=2a，a+b+c＜0，
∴b+b+c＜0，
即3b+2c＜0，故④错误；
故选：C．
【点睛】
此题考查二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．
10、A
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可直接得到答案．
【详解】解：∵点P（）在双曲线上，
∴；
故选：A.
【点睛】
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、50°
【解析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得．
【详解】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=100°，
∴∠BAC=∠BOC=×100°=50°．
故答案为：50°．
【点睛】
本题考查圆周角定理，题目比较简单．
12、2
【解析】根据这组数据是从大到小排列的，求出最中间的两个数的平均数即可
【详解】解：将数据从小到大重新排列为：6、1、1、10、12、15，
所以这组数据的中位数为 ，
故答案为：2．
【点睛】
此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）即可
13、
【分析】将常数项移到方程的右边，将二次项系数化成1，再两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得．
【详解】∵，
方程整理得：，
配方得：，
即．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解本题的关键．
14、
【解析】分析：首先确定阴影的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出蚂蚁停在阴影部分的概率．
详解：∵正方形被等分成9份，其中阴影方格占4份，
∴当蚂蚁停下时，停在地板中阴影部分的概率为，
故答案为．
点睛：此题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
15、
【分析】过点E作EG⊥BC于G，根据矩形的性质可得：EG=AB=8cm，∠A=90°，，然后根据折叠的性质可得：cm，，，，根据勾股定理和锐角三角函数即可求出cos∠，再根据同角的余角相等可得，再根据锐角三角函数即可求出，从而求出，最后根据勾股定理即可求出.
【详解】过点E作EG⊥BC于G

∵矩形纸片中，，，
∴EG=AB=8cm，∠A=90°，
根据折叠的性质cm，，，
∴BF=AB－AF=3cm
根据勾股定理可得：cm
∴cos∠
∵，
∴
∴
解得：cm
∴AE=10cm，
∴ED=AD－AE=2cm
∴
∴
根据勾股定理可得：
故答案为：.
【点睛】
此题考查的是矩形的性质、折叠的性质、勾股定理和锐角三角函数，掌握矩形的性质折叠的性质、用勾股定理和锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键.
16、元
【分析】设商品原价为x元，则等量关系为原价=现价，根据等量关系列出方程即可求解．
【详解】设该商品的原价为x元，根据题意得

解得
故答案为元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程实际应用中的增长率问题，本剧题意列出方程是本题的关键．
17、2或．
【分析】根据题意可得分两种情况讨论：①当∠BPE＝90°时，点B、P、F三点共线，②当∠PEB＝90°时，证明四边形AEPF是正方形，进而可求得BP的长．
【详解】根据E为AB上一个动点，
把△AEF沿着EF折叠，得到△PEF，
若△BPE为直角三角形，
分两种情况讨论：
①当∠BPE＝90°时，如图1，

点B、P、F三点共线，
根据翻折可知：
∵AF＝PF＝3，AB＝4，
∴BF＝5，
∴BP＝BF﹣PF＝5﹣3＝2；
②当∠PEB＝90°时，如图2，

根据翻折可知：
∠FPE＝∠A＝90°，
∠AEP＝90°，
AF＝FP＝3，
∴四边形AEPF是正方形，
∴EP＝3，BE＝AB﹣AE＝4﹣3＝1，
∴BP＝＝＝．
综上所述：BP的长为：2或．
故答案为：2或．
【点睛】
本题主要考查了折叠的性质、正方形的性质一勾股定理的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
18、
【分析】设点A坐标为（x，y），由反比例函数的几何意义得，根据的面积为，即可求出k的值.
【详解】解：设点A的坐标为：（x，y），
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数经过第二、四象限，则，
∴
故答案为：.
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，以及反比例函数的几何意义，解题的关键是熟练掌握反比例函数的几何意义进行解题.

三、解答题(共66分)
19、抛物线的解析式为，顶点M的坐标为；；P点坐标为或
【解析】根据待定系数法，可得函数解析式；根据顶点式解析式，可得顶点坐标；
根据勾股定理及逆定理，可得，根据正切函数，可得答案；
根据相似三角形的判定与性质，可得PM的值，可得M点坐标．
【详解】由抛物线过点，
得，解得，
抛物线的解析式为，顶点M的坐标为；
如图1，连接OM，

，，，
，
，
，，
；
如图2，过C作对称轴，垂足N在对称轴上，取一点E，使，连接CE，．

当时，，解得的，，，．
，，
，
，
∽，
，易知，，
，解得，
P点坐标为或
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线面构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
20、（1）见解析；（2）见解析；（3）BE＝5．
【分析】1）连接OC，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠OCA，得到OC∥AD，根据平行线的性质得到OC⊥PD，根据切线的判定定理证明结论；
（2）根据圆周角定理、三角形的外角的性质证明∠PFC＝∠PCF，根据等腰三角形的判定定理证明；
（3）连接AE，根据正切的定义求出BC，根据勾股定理求出AB，根据等腰直角三角形的性质计算即可．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，又AD⊥PD，
∴OC⊥PD，
∴PC与⊙O相切；
（2）证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
∴，
∴∠ABE＝∠ECB，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，
∵∠BCP+∠OCB＝90°，
∴∠BCP＝∠BAC，
∵∠BAC＝∠BEC，
∴∠BCP＝∠BEC，
∵∠PFC＝∠BEC+∠ABE，∠PCF＝∠ECB+∠BCP，
∴∠PFC＝∠PCF，
∴PC＝PF；
（3）解：连接AE，
在Rt△ACB中，tan∠ABC＝，AC＝8，
∴BC＝6，
由勾股定理得，AB＝，
∵，
∴AE＝BE，
则△AEB为等腰直角三角形
∴BE＝AB＝5．

【点睛】
本题考查的是角平分线的定义、等腰三角形的性质和判定，切线的判定及勾股定理、锐角三角函数．熟练运用这些性质是解题的关键．
21、（1）作图见解析，（1，-4）；（2）作图见解析，(2，2)；（3）(，)
【分析】（1）将点A、B、C分别向下平移4个单位得到对应点，再顺次连接可得；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（3）根据（2）中变换的规律，即可写出变化后点C的对应点C2的坐标．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标是（1，-4），
故答案为：（1，-4）；
（2）如图所示，△A2BC2即为所求，点C2的坐标是（2，2），
故答案为：（2，2）；
（3）若M（a，b）为线段AC上任一点，
则点M的对应点M2的坐标为：（，）．
故答案为：（，）．

【点睛】
此题主要考查了位似变换，正确得出图形变化后边长是解题关键．
22、（1）；（2）P(这2名同学性别相同) =．
【分析】（1）用男生人数2除以总人数4即可得出答案；
（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案.
【详解】解：（1）；
（2）从4人中随机选2人，所有可能出现的结果有：
（男1，男2）、（男1，女1）、（男1，女2）、（男2，男1）、（男2，女1）、（男2，女2女1，男1）、（女1，男2）、（女1，女2）、（女2，男1）、（女2，男2）、（女2，女1），共有12种，它们出现的可能性相同，满足“这2名同学性别相同”（记为事件A）的结果有4种，
所以P(A)= ．
23、（Ⅰ）13m或19m；（Ⅱ）当AB＝16时，S最大，最大值为：1．
【分析】（Ⅰ）根据题意得出长×宽=252列出方程，进一步解方程得出答案即可；
（Ⅱ）设花园的面积为S，根据矩形的面积公式得到S=x（28-x)=- ＋28x=–+196，于是得到结果．
【详解】解：（Ⅰ）∵AB＝xm，则BC＝（32﹣x）m，
∴x（32﹣x）＝252，
解得：x1＝13，x2＝19，
答：x的值为13m或19m；
（Ⅱ）设花园的面积为S，
由题意得：S＝x（32﹣x）＝﹣x2+32x＝﹣（x﹣16）2+1，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＝16时，S最大，最大值为：1．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键．
24、原式=.
【分析】先把分式进行化简，得到最简代数式，然后根据特殊角的三角函数值，求出x的值，把x代入计算，即可得到答案.
【详解】解：原式

；
当时，
原式.
【点睛】
本题考查了特殊值的三角函数值，分式的化简求值，以及分式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行运算
25、x1＝2 x2＝2．
【分析】应用因式分解法解答即可.
【详解】解：x2﹣6x+8＝1
（x﹣2）（x﹣2）＝1，
∴x﹣2＝1或x﹣2＝1，
∴x1＝2 x2＝2．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，解答关键是根据方程特点进行因式分解.
26、（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析．
【解析】试题分析：（1）过点C作直径CD，由于AC=BC，弧AC=弧BC，根据垂径定理的推理得CD垂直平分AB，所以CD将△ABC分成面积相等的两部分；
（2）连结PO并延长交BC于E，过点A、E作弦AD，由于直线l与⊙O相切于点P，根据切线的性质得OP⊥l，而l∥BC，则PE⊥BC，根据垂径定理得BE=CE，所以弦AE将△ABC分成面积相等的两部分．
试题解析：（1）如图1，直径CD为所求；
（2）如图2，弦AD为所求．

考点：1．作图—复杂作图；2．三角形的外接圆与外心；3．切线的性质；4．作图题．