2022年广东省惠州市名校数学九上期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，某一时刻太阳光下，小明测得一棵树落在地面上的影子长为2.8米，落在墙上的影子高为1.2米，同一时刻同一地点身高1.6米他在阳光下的影子长0.4米，则这棵树的高为（　　）米．

A．6.2 B．10 C．11.2 D．12.4
2．已知点P的坐标为（3，-5），则点P关于原点的对称点的坐标可表示为（　　）
A．（3, 5） B．（-3，5） C．（3, -5） D．（-3，-5）
3．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为( )

A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，直线，等腰的直角顶点在上，顶点在上，若，则（　　）

A．31° B．45° C．30° D．59°
5．己知⊙的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离.则直线与⊙的位置关系是
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
6．已知点P在半径为5cm的圆内，则点P到圆心的距离可以是　　
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
7．已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（　　）

A．有最大值 1.5，有最小值﹣2.5 B．有最大值 2，有最小值 1.5
C．有最大值 2，有最小值﹣2.5 D．有最大值 2，无最小值
8．如图，抛物线和直线，当时，的取值范围是（ ）

A． B．或 C．或 D．
9．方程的解的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．1或2
10．如图，直径为10的⊙A山经过点C(0，5)和点0(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为( )

A． B． C． D．
11．已知点、、在函数上，则、、的大小关系是（ ）．（用“>”连结起来）
A． B． C． D．
12．下列几何体中，同一个几何体的主视图与左视图不同的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=6，，那么AC=_____．
14．张老师在讲解复习《圆》的内容时，用投影仪屏幕展示出如下内容：
如图，内接于，直径的长为2，过点的切线交的延长线于点．

张老师让同学们添加条件后，编制一道题目，并按要求完成下列填空．
（1）在屏幕内容中添加条件，则的长为______．
（2）以下是小明、小聪的对话：
小明：我加的条件是，就可以求出的长
小聪：你这样太简单了，我加的是，连结，就可以证明与全等．
参考上面对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（此题目不解答，可以添线、添字母）．______．
15．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为_____．

16．设x1，x2是一元二次方程7x2﹣5=x+8的两个根，则x1+x2的值是____．
17．当时，函数的最大值是8则=_________.
18．二次函数的最大值是________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1和2；乙袋中有3个完全相同的小球，分别标有数字1，2和3，小明从甲袋中随机取出1个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机取出1个小球，记录标有的数字为y，这样确定了点M的坐标(x，y)．
（1）写出点M所有可能的坐标；
（2）求点M在直线上的概率．
20．（8分）在平面直角坐标系中，直线分别与，轴交于，两点，点在线段上，抛物线经过，两点，且与轴交于另一点.
（1）求点的坐标（用只含，的代数式表示）；
（2）当时，若点，均在抛物线上，且，求实数的取值范围；
（3）当时，函数有最小值，求的值.
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的坐标分别为A（﹣3，3），B（﹣5，2），C（﹣1，1）．
（1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为1：2，且A₁B₁C位于点C的异侧，并表示出点A1的坐标．
（2）作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．
（3）在（2）的条件下求出点B经过的路径长（结果保留π）．

22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象经过点．

（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）将直线向上平移个单位长度后与轴交于，与反比例函数图象在第一象限内的交点为，连接，，求点的坐标及的面积.
23．（10分）如图，是直径AB所对的半圆弧，点C在上，且∠CAB =30°，D为AB边上的动点（点D与点B不重合），连接CD，过点D作DE⊥CD交直线AC于点E．

小明根据学习函数的经验，对线段AE，AD长度之间的关系进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）对于点D在AB上的不同位置，画图、测量，得到线段AE，AD长度的几组值，如下表：

位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
位置9

AE/cm
0.00
0.41
0.77
1.00
1.15
1.00
0.00
1.00
4.04
…
AD/cm
0.00
0.50
1.00
1.41
2.00
2.45
3.00
3.21
3.50
…
在AE，AD的长度这两个量中，确定_______的长度是自变量，________的长度是这个自变量的函数；
（2）在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；

（3）结合画出的函数图象，解决问题：当AE=AD时，AD的长度约为________cm(结果精确到0.1)．
24．（10分）如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B，E在反比例函数y＝的图象上，OA＝1，OC＝6，试求出正方形ADEF的边长．

25．（12分）如图，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交于点，交弦于点.已知cm，c m.
（1）求作此残片所在的圆;(不写作法，保留作图痕迹)
（2）求（1）中所作圆的半径.

26．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC，若，且AC=14，求DE的长.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】先根据同一时刻物体的高度与其影长成比例求出从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度，再加上落在墙上的影长即得答案.
【详解】解：设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米，
则，解得：x＝11.2，所以树高＝11.2+1.2＝12.4（米），
故选：D．
【点睛】
本题考查的是投影的知识，解本题的关键是正确理解题意、根据同一时刻物体的高度与其影长成比例求出从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度.
2、B
【分析】由题意根据关于原点对称点的坐标特征即点的横纵坐标都互为相反数即可得出答案．
【详解】解：点P的坐标为（3，-5）关于原点中心对称的点的坐标是（-3，5），
故选：B．
【点睛】
本题考查点关于原点对称的点，掌握关于原点对称点的坐标特征即横纵坐标都互为相反数是解题的关键．
3、B
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AGE+∠AEG=90°，∠BFE+∠FEB=90°，
∵∠GEF=90°，
∴∠GEA+∠FEB=90°，
∴∠AGE=∠FEB，∠AEG=∠EFB，
∴△AEG∽△BFE，
∴，
又∵AE=BE，
∴AE2=AG•BF=2，
∴AE=（舍负），
∴GF2=GE2+EF2=AG2+AE2+BE2+BF2=1+2+2+4=9，
∴GF的长为3，
故选B.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，利用勾股定理即可得解，解题的关键是证明△AEG∽△BFE．
4、A
【分析】过点B作BD//l1，，再由平行线的性质即可得出结论．
【详解】解：过点B作BD//l1，则∠α=∠CBD．

∵，
∴BD//，
∴∠β=∠DBA,
∵∠CBD+∠DBA=45°，
∴∠α+∠β=45°,
∵
∴∠α=45°-∠β=31°.
故选A．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．
5、A
【分析】在判断直线与圆的位置关系时，通常要得到圆心到直线的距离，然后再利用d与r的大小关系进行判断；在直线与圆的问题中,充分利用构造的直角三角形来解决问题，直线与圆的位置关系：①当d＞r时，直线与圆相离；②当d=r时，直线与圆相切；③当d＜r时，直线与圆相交.
【详解】∵的解为x=4或x=-1，
∴r=4，
∵4＜6，即r＜d，
∴直线和⊙O的位置关系是相离.
故选A.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系，一元二次方程的定义及一般形式，掌握直线与圆的位置关系，一元二次方程的定义及一般形式是解题的关键.
6、A
【分析】直接根据点与圆的位置关系进行判断．
【详解】点P在半径为5cm的圆内，
点P到圆心的距离小于5cm，
所以只有选项A符合，选项B、C、D都不符合；
故选A．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
7、C
【详解】由图像可知，当x=1时，y有最大值2;当x=4时，y有最小值-2.5.
故选C.
8、B
【分析】联立两函数解析式求出交点坐标，再根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的的取值范围即可．
【详解】解：联立，
解得，，
两函数图象交点坐标为，，
由图可知，时的取值范围是或．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式，此类题目利用数形结合的思想求解更加简便．
9、C
【解析】根据一元二次方程根的判别式，求出△的值再进行判断即可．
【详解】解：∵x2=0，
∴△=02-4×1×0=0，
∴方程x2=0有两个相等的实数根．
故选C
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式，当△＞0时方程有两个不相等的实数根，△=0时方程有两个相等的实数根，△＜0时方程没有实数根．
10、C
【分析】连接CD，由直径所对的圆周角是直角，可得CD是直径；由同弧所对的圆周角相等可得∠OBC=∠ODC，在Rt△OCD中，由OC和CD的长可求出sin∠ODC.
【详解】设⊙A交x轴于另一点D，连接CD，

∵∠COD=90°，
∴CD为直径，
∵直径为10，
∴CD=10，
∵点C（0，5）和点O（0，0），
∴OC=5，
∴sin∠ODC = ，
∴∠ODC=30°，
∴∠OBC=∠ODC=30°，
∴cos∠OBC=cos30°= ．
故选C.
【点睛】
此题考查了圆周角定理、锐角三角函数的知识.注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.
11、D
【分析】抛物线开口向上，对称轴为x= -1．根据三点横坐标离对称轴的距离远近来判断纵坐标的大小．
【详解】解：由函数可知：
该函数的抛物线开口向上，且对称轴为x=-1．
∵、、在函数上的三个点,
且三点的横坐标距离对称轴的远近为:
、、
∴．
故选: D．
【点睛】
主要考查二次函数图象上点的坐标特征．也可求得的对称点，使三点在对称轴的同一侧．
12、A
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从正面、左侧面、上面看，得到的图形，根据要求判断每个立体图形对应视图是否不同即可．
【详解】解：A．圆的主视图是矩形，左视图是圆，故两个视图不同，正确．
B．正方体的主视图与左视图都是正方形，错误．
C．圆锥的主视图和俯视图都是等腰三角形，错误．
D．球的主视图与左视图都是圆，错误．
故选：A
【点睛】
简单几何体的三视图，此类型题主要看清题目要求，判断的是哪种视图即可．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、2
【解析】如图所示，

在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,cosA=，
∴cosA=，
则AC=AB=×6=2，
故答案为2.
14、3 ，求的长
【分析】(1)连接OC，如图，利用切线的性质得∠OCD=90°，再根据含30°的直角三角形三边的关系得到OD=2，然后计算OA+OD即可；
(2)添加∠DCB=30°，求ACAC的长，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再证明∠A=∠DCB=30°，然后根据含30°的直角三角形三边的关系求AC的长．
【详解】解：(1)连接OC，如图，

∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵∠D=30°，
∴OD=2OC=2，
∴AD=AO+OD=1+2=3；
(2)添加∠DCB=30°，求AC的长，
解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACO+∠OCB=90°，∠OCB+∠DCB=90°，
∴∠ACO=∠DCB，
∵∠ACO=∠A，
∴∠A=∠DCB=30°，
在Rt△ACB中，BC= AB=1，
∴AC= = ．
故答案为3；，求的长.
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，得出垂直关系．
15、60°
【解析】分析：作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB，如图，根据折叠的性质得OD=CD，则OD=OA，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠OAD=30°，接着根据三角形内角和定理可计算出∠AOB=120°，然后根据圆周角定理计算∠APB的度数．
详解：如图作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB．

∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，
∴OD=CD，∴OD=OC=OA，∴∠OAD=30°．
∵OA=OB，∴∠ABO=30°，∴∠AOB=120°，
∴∠APB=∠AOB=60°．
故答案为60°．
点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和折叠的性质，求得∠OAD=30°是解题的关键．
16、
【解析】把方程化为一般形式，利用根与系数的关系直接求解即可．
【详解】把方程7x2-5=x+8化为一般形式可得7x2-x-13=0，
∵x1，x2是一元二次方程7x2-5=x+8的两个根，
∴x1+x2=.
故答案是：.
【点睛】
主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于-、两根之积等于是解题的关键．
17、或
【分析】先求出二次函数的对称轴，根据开口方向分类讨论决定取值，列出关于a的方程，即可求解；
【详解】解：函数，
则对称轴为x=2，对称轴在范围内，
当a＜0时，开口向下，有最大值，最大值在x=2处取得，
即=8，解得a=；
当a＞0时，开口向上，最大值在x=3处取得，
即=8，解得a=；
故答案为：或；
【点睛】
本题主要考查了二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键.
18、1
【分析】题目所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是（5，1），也就是当x＝5时，函数有最大值1．
【详解】解：∵，
∴此函数的顶点坐标是（5，1）．
即当x＝5时，函数有最大值1．
故答案是：1．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值．

三、解答题（共78分）
19、点M坐标总共有九种可能情况：（0,1），（0,2），（0,3），（1,1），（1,2），（1,3），（2,1）2,2），（2,3）．（2）.
【解析】试题分析：（1）通过列表展示所有9种等可能的结果数；
（2）找出满足点落在函数的图象上的结果数，然后根据概率公式求解．
试题解析：(1)列表如下：
y
x
1
2
3
0
(0,1)
(0,2)
(0,3)
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
从表格中可知，点M坐标总共有九种可能情况：（0,1），（0,2），（0,3），（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（2,3）．共有9种等可能的结果数；
（2）当x=0时，y=-0+3=3，
当x=1时，y=-1+3=2，
当x=2时，y=-2+3=1，
由（1）可得点M坐标总共有九种可能情况，点M落在直线上（记为事
件A）有3种情况．

20、（1）；（2），；（3）或.
【分析】（1）在一次函数中求点A,B的坐标，然后将点C,A坐标代入二次函数解析式，求得，令y=0，解方程求点D的坐标；（2）由C点坐标确定m的取值范围，结合抛物线的对称性，结合函数增减性分析n的取值范围；（3）利用顶点纵坐标公式求得函数最小值，然后分情况讨论：当点在点的右侧时或做测时，分别求解.
【详解】解：（1）∵直线分别与，轴交于，两点，
∴，.
∵抛物线过点和点，
∴.
∴.
令，得.
解得，.
∴.
（2）∵点在线段上，
∴.
∵，
∴，.
∴抛物线的对称轴是直线.
在抛物线上取点，使点与点关于直线对称.
由得.
∵点在抛物线上，且，
∴由函数增减性，得，.
（3）∵函数有最小值，
∴.
①当点在点的右侧时，得，解得.
∴，解得，.
②当点在点的左侧时，得，解得.
∴.
解得：，.
综上所述，或.
【点睛】
本题考查二次函数的性质，属于综合性题目，掌握待定系数法解函数解析式，利用数形结合思想解题，注意分类讨论是本题的解题关键.
21、（1）见解析，A1(3，﹣3)；（2）见解析；（3）
【分析】（1）延长BC到B1，使B1C=2BC，延长AC到A1，使A1C=2AC，再顺次连接即可得△A1B1C，再写出A1坐标即可；
（2）分别作出A，B绕C点顺时针旋转90°后的对应点A2，B2，再顺次连接即可得△A2B2C．
（3）点B的运动路径为以C为圆心，圆心角为90°的弧长，利用弧长公式即可求解．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，﹣3）；

（2）如图，△A2B2C为所作；
（3）CB=，
所以点B经过的路径长=π．
【点睛】
本题考查网格作图与弧长计算，熟练掌握位似与旋转作图，以及弧长公式是解题的关键．
22、（1）；；（2）
【分析】（1）将A点的坐标分别代入正比例函数与反比例函数的解析式即可求得答案；
（2）利用直线平移的规律得到直线BC的解析式，再解方程组可求得点C的坐标，利用进行计算可求得结论.
【详解】解：（1）把代入得，解得；
把代入得，
正比例函数的解析式为；反比例函数的解析式为；
（2）直线向上平移的单位得到直线的解析式为，
当时，，则，
解方程组得或，
∵点在第一象限内，
点的坐标为；
连接，
.

【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，只要把这两个函数的关系式联立成方程组求解即可.
23、（1）AD，AE；（2）画图象见解析；（3）2.2，．
【分析】（1）根据函数的定义可得答案；
（2）根据题意作图即可；
（3）满足AE=AD条件，实际上可以转化为正比例函数y=x．
【详解】解：（1）根据题意，D为AB边上的动点，
∴AD的长度是自变量，AE的长度是这个自变量的函数；
∴故答案为：AD，AE．
（2）根据已知数据，作图得：

（3）当AE=AD时，y=x，在（2）中图象作图，并测量两个函数图象交点得：AD=2.2或3.3
故答案为：2.2或3.3
【点睛】
本题是圆的综合题，以几何动点问题为背景，考查了函数思想和数形结合思想．在（3）中将线段的数量转化为函数问题，设计到了转化的数学思想．
24、1．
【分析】根据OA、OC的长度结合矩形的性质即可得出点B的坐标，由点B的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，设正方形ADEF的边长为a，由此即可表示出点E的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：∵OA=1，OC=2，四边形OABC是矩形，
∴点B的坐标为（1，2），
∵反比例函数y=的图象过点B，
∴k=1×2=2．
设正方形ADEF的边长为a（a＞0），
则点E的坐标为（1+a，a），
∵反比例函数y=的图象过点E，
∴a（1+a）=2，
解得：a=1或a=-3（舍去），
∴正方形ADEF的边长为1．
【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及正方形的性质，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出关于a的一元二次方程是解题的关键．
25、（1）作图见解析；（2）（1）作图见解析；（2）cm；
【分析】（1）.由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，因为CD垂直平分AB，故作AC的中垂线交CD延长线于点O，则点O是弧ACB所在圆的圆心；（2）.在Rt△OAD中，由勾股定理可求得半径OA的长即可．
【详解】（1）如图点O即为所求圆的圆心.
（2）连接OA，设OA=xcm，
根据勾股定理得：
x2=62+（x-4）2
解得：x=cm，

故半径为：cm.
【点睛】
本题考查垂径定理，垂直于弦的直径，平分弦且平分这条弦所对的两条弧，熟练掌握垂径定理是解题关键.
26、DE =8.
【分析】先根据角平分线的性质和平行线的性质证得，再根据平行线分线段成比例即可得.
【详解】如图，CD平分

又
，即

故DE的长为8.

【点睛】
本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例，通过等角对等边证出是解题关键.