天津市两学校2022-2023学年数学九上期末统考试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，已知等边的边长为，以为直径的圆交于点，以为圆心，为半径作圆，是上一动点，是的中点，当最大时，的长为（ ）

A． B． C． D．
2．关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．不能确定
3．在△ABC中，I是内心，∠BIC=130°，则∠A的度数是（ ）
A．40° B．50° C．65° D．80°
4．下列计算正确的是（　　）
A．3x﹣2x＝1 B．x2+x5＝x7
C．x2•x4＝x6 D．（xy）4＝xy4
5．如图，为了测量路灯离地面的高度，身高的小明站在距离路灯的底部（点）的点处，测得自己的影子的长为，则路灯的高度是（ ）

A． B． C． D．
6．将二次函数y=2x2-4x+4的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位后所得图象的函数解析式为（ ）
A．y=2(x+1)2+1 B．y=2(x+1)2+3 C．y=2(x-3)2+1 D．y=-2(x-3)2+3
7．如图，中，，，点是的外心．则（ ）

A． B． C． D．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB上的一点，点N是CB上的一点，，当∠CAN与△CMB中的一个角相等时，则BM的值为（　　）

A．3或4 B．或4 C．或6 D．4或6
9．在中，，，，则直角边的长是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子．在点钉在一起．并使它们保持垂直，在测直径时，把点靠在圆周上．读得刻度个单位，个单位，则圆的直径为（ ）

A．12个单位 B．10个单位 C．11个单位 D．13个单位
11．如图，已知的三个顶点均在格点上，则的值为（ ）

A． B． C． D．
12．如图，线段与相交于点，连接，且，要使，应添加一个条件，不能证明的是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知一元二次方程的一个根为1，则__________．
14．在△ABC中，∠C=90°，AC=，∠CAB的平分线交BC于D，且，那么tan∠BAC=_________．

15．设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2 021＝0的两个实数根,则m2＋3m＋n＝______.
16．在中，，点在直线上，，点为边的中点，连接，射线交于点，则的值为________.
17．如图，AB为⊙O的直径，C，D 是⊙O上两点，若∠ABC=50°，则∠D的度数为______．

18．如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y=﹣x2+x+，则该运动员此次掷铅球的成绩是_____ m．

三、解答题（共78分）
19．（8分）关于x的一元二次方程x2+（m+4）x﹣2m﹣12＝0，求证：
（1）方程总有两个实数根；
（2）如果方程的两根相等，求此时方程的根．
20．（8分）如图在完全相同的四张卡片中，分别画出边长相等的正方形和等边三角形，然后放在盒子里搅匀，闭上眼睛任取两张，看纸片上的图形能拼成长方形或拼成菱形或拼成小房子，预测一下能拼成“小房子”的概率有多大．

21．（8分）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=1．
（1）若此方程的一个根为﹣1，求k的值；
（2）若此一元二次方程有实数根，求k的取值范围．
22．（10分）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO=∠BCD．
（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．

23．（10分）解方程：x(x－2)＋x－2＝1．
24．（10分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD＝60°，AB＝，AE⊥BD于点E，求OE的长．

25．（12分）如图，矩形的对角线与相交于点．延长到点，使，连结．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，请直接写出平行四边形的周长 ．

26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，与轴交于点，.

（1）求二次函数的表达式；
（2）过点作平行于轴，交抛物线于点，点为抛物线上的一点（点在上方），作平行于轴交于点，当点在何位置时，四边形的面积最大？并求出最大面积.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析点E在以F为圆心的圆上运动，要使AE最大，则 AE过F,根据等腰三角形的性质和圆周角定理证得F是BC的中点，从而得到EF为△BCD的中位线，根据平行线的性质证得 ,根据勾股定理即可求得结论．
【详解】点D在C上运动时，点E在以F为圆心的圆上运动，要使AE最大，则AE过F,连接CD,
∵△ABC是等边三角形，AB是直径，
∴ ,
∴F是BC的中点，
∴E为BD的中点，
∴EF为△BCD的中位线，
∴ ,
∴ ,
， ，
故 ，
故选B．

【点睛】
本题考查了圆的动点问题，掌握等腰三角形的性质、圆周角定理、中位线定理、平行线的性质和勾股定理是解题的关键．
2、A
【分析】根据根的判别式即可求解判断.
【详解】∵△=b2-4ac=m2+4＞0，故方程有两个不相等的实数根，
故选A.
【点睛】
此题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟知判别式的性质.
3、D
【解析】试题分析：已知∠BIC=130°，则根据三角形内角和定理可知∠IBC+∠ICB=50°，则得到∠ABC+∠ACB=100度，则本题易解．
解：∵∠BIC=130°，
∴∠IBC+∠ICB=50°，
又∵I是内心即I是三角形三个内角平分线的交点，
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∴∠A=80°．
故选D．

考点：三角形内角和定理；角平分线的定义．
4、C
【分析】分别根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方逐一判断即可．
【详解】解：3x﹣2x＝x，故选项A不合题意；
x2与x5不是同类项，故不能合并，故选项B不合题意；
x2•x4＝x6，正确，故选项C符合题意；
，故选项D不合题意．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
5、B
【分析】根据平行得：△ABM∽△ODM，列比例式，代入可求得结论．
【详解】解：由题意得：AB∥OC，
∴△ABM∽△OCM，
∴
∵OA=12，AM=4，AB=1.6，
∴OM=OA+AM=12+4=16，
∴
∴OC=6.4，
则则路灯距离地面6.4米.
故选：B.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是利用物高和影长成正比或相似三角形的对应边成比例性质解决此题．
6、A
【分析】先配方成顶点式，再根据二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”解答即可．
【详解】由“上加下减，左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2-4x+4配方成的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得以新的抛物线的表达式是y=2(x+1)2+1，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查的是函数图象的平移，由y=ax2平移得到y=a（x-h）2+k，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式即可．
7、C
【分析】根据三角形内角和定理求出∠A=70°,根据圆周角定理解答即可.
【详解】解：∵∠ABC= 50°,∠ACB = 60°
∴∠A=70°
∵点O是△ABC的外心，
∴∠BOC= 2∠A= 140°，
故选: C
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理、外心的定义和圆周角定理．
8、D
【分析】分两种情形：当时，，设，，可得，解出值即可；当时，过点作，可得，得出，，则，证明，得出方程求解即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝8，
∴，AB=10
，
设，，
①当时，可得，
，
，
，
．
②当时，如图2中，过点作，可得，

，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
．
综上所述，或1．
故选：D．
【点睛】
本题考相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
9、B
【分析】根据余弦的定义求解．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB= ，
∴BC=10cos40°．
故选：B．
【点睛】
本题考查解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
10、B
【分析根据圆中的有关性质“90°的圆周角所对的弦是直径”．判断EF即为直径，然后根据勾股定理计算即可．
【详解】解：连接EF，

∵OE⊥OF，
∴EF是圆的直径，
．
故选：B．
【点睛】
本题考查圆周角的性质定理，勾股定理．掌握“90°的圆周角所对的弦是直径”定理的应用是解决此题的关键．
11、D
【分析】过B点作BD⊥AC于D，求得AB、AC的长，利用面积法求得BD的长，利用勾股定理求得AD的长，利用锐角三角函数即可求得结果．
【详解】过B点作BD⊥AC于D，如图，

由勾股定理得，
，，
∵，即，
在中，，，，
，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查了解直角三角形以及勾股定理的运用，面积法求高的运用；熟练掌握勾股定理，构造直角三角形是解题的关键．
12、D
【分析】根据三角形全等的判定定理逐项判断即可.
【详解】A、在和中，
则，此项不符题意
B、在和中，
则，此项不符题意
C、在和中，
则，此项不符题意
D、在和中，，但两组相等的对应边的夹角和未必相等，则不能证明，此项符合题意
故选：D.
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理，熟记各定理是解题关键.

二、填空题（每题4分，共24分）
13、-4
【分析】将x=1代入方程求解即可.
【详解】将x=1代入方程得4+a=0，
解得a=-4，
故答案为：-4.
【点睛】
此题考查一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，已知方程的解时将解代入方程求参数即可.
14、
【分析】根据勾股定理求出DC，推出∠DAC=30°，求出∠BAC的度数，即可得出tan∠BAC的值．
【详解】在△DAC中，∠C=90°，
由勾股定理得：DC，
∴DCAD，
∴∠DAC=30°，
∴∠BAC=2×30°=60°，
∴tan∠BAC=tan60°．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了含30度角的直角三角形，锐角三角函数的定义，能求出∠DAC的度数是解答本题的关键．
15、1.
【分析】根据一元二次方程的解结合根与系数的关系即可得出m2+2m=2021、m+n=-2，将其代入m2+3m+n中即可求出结论．
【详解】∵m，n分别为一元二次方程x2+2x-2018=0的两个实数根，
∴m2+2m=2021，m+n=-2，
∴m2+3m+n=m2+2m+（m+n）=1+（-2）=1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解结合根与系数的关系即可得出m2+2m=1、m+n=-2是解题的关键．
16、或
【分析】分两种情况讨论：①当D在线段BC上时，如图1，过D作DH∥CE交AB于H．②当D在线段CB延长线上时，如图2，过B作BH∥CE交AD于H．利用平行线分线段成比例定理解答即可．
【详解】分两种情况讨论：
①当D在线段BC上时，如图1，过D作DH∥CE交AB于H．
∵DH∥CE，
∴．
设BH=x，则HE=3x，
∴BE=4x．
∵E是AB的中点，
∴AE=BE=4x．
∵EM∥HD，
∴．
②当D在线段CB延长线上时，如图2，过B作BH∥CE交AD于H．
∵DC=3DB，
∴BC=2DB．
∵BH∥CE，
∴．
设DH=x，则HM=2x．
∵E是AB的中点，EM∥BH，
∴，
∴AM=MH=2x，
∴．
综上所述：的值为或．

故答案为：或．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理．掌握辅助线的作法是解答本题的关键．
17、40°．
【解析】根据直径所对的圆心角是直角，然后根据直角三角形的两锐角互余求得∠A的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等即可求解．
【详解】∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A=90°-∠ABC=90°-50°=40°．
∴∠D=∠A=40°．
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等，理解定理是关键．
18、1
【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可．
【详解】解：在中，当y=0时，

整理得：x2-8x-20=0，
（x-1）（x+2）=0，
解得x1=1，x2=-2（舍去），
即该运动员此次掷铅球的成绩是1m．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．

三、解答题（共78分）
19、（1）见解析；（1）x1＝x1＝1．
【分析】（1）由△＝（m＋4）1−4（−1m−11）＝（m＋8）1≥0知方程有两个实数根；
（1）如果方程的两根相等，则△＝（m＋8）1＝0，据此求出m的值，代入方程求解可得．
【详解】（1）∵△＝（m+4）1﹣4（﹣1m﹣11）＝m1+16m+64＝（m+8）1≥0，
∴方程总有两个实数根；
（1）如果方程的两根相等，则△＝（m+8）1＝0，
解得m＝﹣8，
此时方程为x1﹣4x+4＝0，
即（x﹣1）1＝0，
解得x1＝x1＝1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax1＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b1−4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
20、．
【分析】画出树状图，由概率公式即可得出答案．
【详解】画树状图如图：

∵所有机会均等的结果有12种，能组成小房子的结果有8种，
∴P（所抽出的两张卡片能拼成“小房子”）＝．
【点睛】
本题考查利用列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；根据树状图得到能组成小房子的情况数是解题关键．
21、（2）；（2）且．
【分析】（2）把x=﹣2代入原方程求k值；
（2）一元二次方程的判别式是非负数，且二次项系数不等于2．
【详解】解：（2）将x=﹣2代入一元二次方程（k﹣2）x2+4x+2=2得，
（k﹣2）﹣4+2=2，
解得k=4；
（2）∵若一元二次方程（k﹣2）x2+4x+2=2有实数根，
∴△=26﹣4（k﹣2）≥2，且k﹣2≠2
解得k≤5且k﹣2≠2，
即k的取值范围是k≤5且k≠2．
22、（1）证明见解析；（2）⊙O的直径为26cm．
【分析】（1）由AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于E，根据垂径定理的即可求得CE＝ED，，然后由圆周角定理与等腰三角形的性质，即可证得：∠ACO＝∠BCD．
（2）设⊙O的半径为Rcm，得到OE=OB-EB=R-8，根据垂径定理得到CE=CD=24=12，利用在RtCEO中，由勾股定理列出方程，故可求解．
【详解】证明：（1）∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且ABCD于E，
∴CE=ED，，
∴BCD=BAC
∵OA=OC，
∴OAC=OCA，
∴ACO=BCD
（2）设⊙O的半径为Rcm，则OE=OB-EB=R-8，
CE=CD24=12
在RtCEO中，由勾股定理可得
OC=OE+CE
R= (R8) +12
解得：R=13，
∴2R=213=26
答：⊙O的直径为26cm．
【点睛】
此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
23、．
【分析】把方程中的x-2看作一个整体，利用因式分解法解此方程．
【详解】解：（x－2） （x+2）=2，
∴x－2=2或x+2=2，
∴x2=2，x2=-2．
24、1
【分析】矩形对角线相等且互相平分，即OA＝OD，根据∠AOD＝60°可得△AOD为等边三角形，即OA＝AD，∵AE⊥BD，∴E为OD的中点，即可求OE的值．
【详解】解：∵对角线相等且互相平分，
∴OA＝OD
∵∠AOD＝60°
∴△AOD为等边三角形，则OA＝AD，
BD＝2DO，AB＝AD，
∴AD＝2，
∵AE⊥BD，∴E为OD的中点
∴OE＝OD＝AD＝1，
答：OE的长度为1．
【点睛】
本题考查了矩形对角线的性质,利用矩形对角线相等是解题关键.
25、（1）见解析；（2）1．
【分析】（1）因为，所以，利用一组对边平行且相等即可证明；
（2）利用矩形的性质得出 ,进而利用求出CD的值，然后利用勾股定理求出AD的值，即可求周长
【详解】（1）∵是矩形
∴

∴四边形是平行四边形；
（2）∵是矩形
∴

∵四边形是平行四边形

∴平行四边形的周长为
【点睛】
本题主要考查平行四边形的判定及性质，矩形的性质，掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键．
26、（1）；（2）点的坐标为时，
【分析】（1）根据题目已知条件，可以由顶点坐标及A点坐标先求出二次函数顶点式，进而转化为一般式即可；
（2）根据题意，先求出直线AB的解析式，再设出点P和D坐标，进而先得出四边形的面积表达式，即可求得面积最大值.
【详解】（1）∵顶点坐标为，
∴设抛物线解析式为，
∵抛物线与轴交于点，
∴，∴，
∴，
∴；
（2）当时，，∴，，
∴，，
设直线的解析式为，∵，，∴，，
∴直线的解析式为.
设，∴，
∴.
∵，∴，∴，
∵，
∴，
∵中，对称轴为，
∴当，即点的坐标为时，.
【点睛】
本题主要考查了二次函数解析式及四边形面积的最值，熟练掌握解析式的求法以及最值的求法是解决本题的关键，在求最值的时候注意将对称轴与自变量的取值范围进行对比，进而判断是在何处取最大值.