山东省德州市武城县2022年数学九上期末综合测试试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如果，那么锐角A的度数是 （ ）
A．60° B．45° C．30° D．20°
2．下列成语表示随机事件的是（　　）
A．水中捞月 B．水滴石穿 C．瓮中捉鳖 D．守株待兔
3．如图，正五边形ABCD内接于⊙O，连接对角线AC，AD，则下列结论：①BC∥AD；②∠BAE=3∠CAD；③△BAC≌△EAD；④AC=2CD．其中判断正确的是（ ）

A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
4．如图，中，，将绕着点旋转至，点的对应点点恰好落在边上．若，，则的长为（ ）

A． B． C． D．
5．我们要遵守交通规则，文明出行，做到“红灯停，绿灯行”，小刚每天从家到学校需经过三个路口，且每个路口都安装了红绿灯，每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家出发去学校，他遇到两次红灯的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的⊙O交x轴正半轴为M，P为圆上一点，坐标为（，1），则cos∠POM=（ ）

A． B． C． D．
7．若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积比是，则△ABC与△DEF对应中线的比为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，把长40，宽30的矩形纸板剪掉2个小正方形和2个小矩形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950，则的值是（ ）

A．3 B．4 C．4.8 D．5
9．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（ ）.
A．； B．； C．； D．.
10．一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图是甲、乙两人同一地点出发后，路程随时间变化的图象．

（1）甲的速度______乙的速度．（大于、等于、小于）
（2）甲乙二人在______时相遇；
（3）路程为150千米时，甲行驶了______小时，乙行驶了______小时．
12．如果在比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离是5.8cm，那么A、B两地的实际距离是_____km．
13．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的面积为20，顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，顶点D在双曲线的图象上，边CD交y轴于点E，若，则k的值为______.

14．如图，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O．若AB＝6，AD＝8，则DG的长为_____．

15．若关于x的方程x2-kx+9=0（k为常数）有两个相等的实数根，则k=_____.
16．如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作平行四边形，使点、在轴上，点在轴上，则平行四边形的面积为______.

17．为庆祝中华人民共和国成立70周年，某校开展以“我和我亲爱的祖国”为主题快闪活动，他们准备从报名参加的3男2女共5名同学中，随机选出2名同学进行领唱，选出的这2名同学刚好是一男一女的概率是：_________．
18．若a，b是一元二次方程的两根,则________.
三、解答题(共66分)
19．（10分）关于x的一元二次方程为（ｍ－1）x2－2ｍx＋ｍ＋1＝0
（1）求出方程的根；
（2）ｍ为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
20．（6分）现有甲、乙、丙三名学生参加学校演讲比赛，并通过抽签确定三人演讲的先后顺序．
（1）求甲第一个演讲的概率；
（2）画树状图或表格，求丙比甲先演讲的概率．
21．（6分）定义：无论函数解析式中自变量的字母系数取何值，函数的图象都会过某一个点，这个点称为定点. 例如，在函数中，当时，无论取何值，函数值，所以这个函数的图象过定点.
求解体验

（1）①关于的一次函数的图象过定点_________.
②关于的二次函数的图象过定点_________和_________.
知识应用
（2）若过原点的两条直线、分别与二次函数交于点和点且，试求直线所过的定点.
拓展应用
（3）若直线与拋物线交于、两点，试在拋物线上找一定点，使，求点的坐标.
22．（8分）解方程：；
23．（8分）如图，已知，是的中点，过点作.求证：与相切.

24．（8分） (1)问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°.
求证：AD·BC=AP·BP．

(2)探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．
(3)应用：请利用(1)(2)获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB=12，AD=BD=10.点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A.设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值．
25．（10分）不透明的袋子中装有1个相同的小球它们除颜色外无其它差别，把它们分别标号：1、2、3、1．
(1)随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，用列表或画树状图的方法求出“两次取的球标号相同”的概率；
(2)随机摸出两个小球，直接写出“两次取出的球标号和为奇数”的概率．
26．（10分）同学张丰用一张长18cm、宽12cm矩形纸片折出一个菱形，他沿矩形的对角线AC折出∠CAE＝∠DAC，∠ACF＝∠ACB的方法得到四边形AECF（如图）．
（1）证明：四边形AECF是菱形；
（2）求菱形AECF的面积．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】解：∵，
∴锐角A的度数是60°，
故选：A．
【点睛】
本题考查特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
2、D
【解析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．
【详解】解：水中捞月是不可能事件，故选项A不符合题意；
B、水滴石穿是必然事件，故选项B不符合题意；
C、瓮中捉鳖是必然事件，故选项C不符合题意；
D、守株待兔是随机事件，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．用到的知识点为：确定事件包括必然事件和不可能事件．必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3、B
【分析】根据圆的正多边形性质及圆周角与弦的关系解题即可．
【详解】解：①
∴BC∥AD，故本选项正确；
②∵BC=CD=DE，
∴∠BAC=∠CAD=∠DAE，
∴∠BAE=3∠CAD，故本选项正确；
③在△BAC和△EAD中，
BA=AE，BC=DE，∠B=∠E，
∴△BAC≌△EAD(SAS)，故本选项正确；
④∵AB+BC>AC，∴2CD>AC，故本选项错误．
故答案为①②③．
【点睛】
此题考查圆的正多边形性质及圆周角与弦的关系，理解定义是关键．
4、A
【分析】先在直角三角形ABC中，求出AB，BC，然后证明△ABD为等边三角形，得出BD=AB=2，再根据CD=BC-BD即可得出结果．
【详解】解：在Rt△ABC中，AC=2，∠B=60°，
∴BC=2AB，BC2=AC2+AB2，∴4AB2=AC2+AB2，
∴AB=2，BC=4，
由旋转得，AD=AB，
∵∠B=60°，∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=2，
∴CD=BC-BD=4-2=2，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定与性质，解本题的关键是综合运用基本性质．
5、B
【分析】画树状图得出所有情况数和遇到两次红灯的情况数，根据概率公式即可得答案．
【详解】根据题意画树状图如下：

共有8种等情况数，其中遇到两次红灯的有3种，
则遇到两次红灯的概率是，
故选：B．
【点睛】
本题考查利用列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；根据树状图得到遇两次红灯的情况数是解题关键．
6、A
【解析】试题分析：作PA⊥x轴于A，
∵点P的坐标为（，1），
∴OA=，PA=1，
由勾股定理得，OP=2，
cos∠POM==，
故选A．

考点：锐角三角函数
7、D
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，再结合相似三角形的对应中线的比等于相似比解答即可．
【详解】∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比是，
∴△ABC与△DEF的相似比为，
∴△ABC与△DEF对应中线的比为，
故选D．
【点睛】
考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
8、D
【分析】观察图形可知阴影部分小长方形的长为，再根据去除阴影部分的面积为950，列一元二次方程求解即可．
【详解】解：由图可得出，

整理，得，
解得，（不合题意，舍去）．

故选：D．
【点睛】
本题考查的知识点是一元二次方程的应用，根据图形找出阴影部分小长方形的长是解此题的关键．
9、A
【分析】可设降价的百分率为，第一次降价后的价格为，第一次降价后的价格为，根据题意列方程求解即可.
【详解】解：设降价的百分率为
根据题意可列方程为
解方程得，（舍）
∴每次降价得百分率为
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的在销售问题中的应用，正确理解题意，找出题中等量关系是解题的关键.
10、B
【分析】将x=2代入方程即可求得k的值，从而得到正确选项．
【详解】解：∵一元二次方程x2-3x+k=0的一个根为x=2，
∴22-3×2+k0，
解得，k=2，
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确一元二次方程的解一定使得原方程成立．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、 (1)、小于；(2)、6；(3)、9、4
【解析】试题分析：根据图像可得：甲的速度小于乙的速度；两人在6时相遇；甲行驶了9小时，乙行驶了4小时.
考点：函数图像的应用
12、58
【解析】设A、B两地的实际距离是x厘米，根据比例尺的性质列出方程，求出x的值，再进行换算即可得出答案．
【详解】设A.B两地的实际距离是x厘米，
∵比例尺为1：1000000，A.B两地的图上距离是5.8厘米，
∴1：1000000=5.8：x，解得：x=5800000，
∵5800000厘米=58千米，
∴A、B两地的实际距离是58千米.
故答案为58.
【点睛】
考查图上距离，实际距离，和比例尺之间的关系，注意单位之间的转换.
13、4
【分析】过D作DF⊥x轴并延长FD，过A作AG⊥DF于点G，利用正方形的性质易证△ADG≌△DCF，得到AG=DF，设D点横坐标为m，则OF=AG=DF=m，易得OE为△CDF的中位线，进而得到OF=OC，然后利用勾股定理建立方程求出，进而求出k.
【详解】如图，过D作DF⊥x轴并延长FD，过A作AG⊥DF于点G，

∵四边形ABCD为正方形，
∴CD=AD，∠ADC=90°
∴∠ADG+∠CDF=90°
又∵∠DCF+∠CDF=90°
∴∠ADG=∠DCF
在△ADG和△DCF中，
∵∠AGD=∠DFC=90°，∠ADG=∠DCF，AD=CD
∴△ADG≌△DCF（AAS）
∴AG=DF
设D点横坐标为m，则OF=AG=DF=m，
∴D点坐标为(m,m)
∵OE∥DF，CE=ED
∴OE为△CDF的中位线，
∴OF=OC
∴CF=2m
在Rt△CDF中，
∴
解得
又∵D点坐标为(m,m)
∴
故答案为：4.
【点睛】
本题考查反比例函数与几何的综合问题，需要熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性质以及勾股定理，解题的关键是作出辅助线，利用全等三角形推出点D的横纵坐标相等.
14、
【解析】根据折叠的性质求出四边形BFDG是菱形，假设DF＝BF＝x，∴AF＝AD﹣DF＝8﹣x，根据在直角△ABF中，AB2+AF2＝BF2，即可求解.
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC
∴FD∥BG，
又∵DG∥BE，
∴四边形BFDG是平行四边形，
∵折叠，∴∠DBC=∠DBF，
故∠ADB =∠DBF
∴DF＝BF，
∴四边形BFDG是菱形；
∵AB＝6，AD＝8，
∴BD＝1．
∴OB＝BD＝2．
假设DF＝BF＝x，∴AF＝AD﹣DF＝8﹣x．
∴在直角△ABF中，AB2+AF2＝BF2，即62+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝，
即DG＝BF＝，
故答案为：
【点睛】
此题主要考查矩形的折叠性质，解题的关键是熟知菱形的判定与性质及勾股定理的应用.
15、±1
【分析】根据方程x2-kx+9=0有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b2-4ac=0，即k2-4×1×9=0，然后解方程即可．
【详解】∵方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即k2-4×1×9=0，解得k=±1．
故答案为±1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0的根的根判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
16、6
【分析】作AH⊥OB于H，根据平行四边形的性质得AD∥OB，则，再根据反比例函数(k)系数的几何意义得到=6，即可求得答案．
【详解】作AH⊥轴于H，如图，

∵AD∥OB，
∴AD⊥轴，
∴四边形AHOD为矩形，
∵AD∥OB，
∴，
∵点A是反比例函数的图象上的一点，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了反比例函数(k)系数的几何意义：从反比例函数(k)图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．
17、
【分析】先画出树状图求出所有可能出现的结果数，再找出选出的2名同学刚好是一男一女的结果数，然后利用概率公式求解即可．
【详解】解：设报名的3名男生分别为A、B、C，2名女生分别为M、N，则所有可能出现的结果如图所示：

由图可知，共有20种等可能的结果，其中选出的2名同学刚好是一男一女的结果有12种，
所以选出的2名同学刚好是一男一女的概率=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了求两次事件的概率，属于常考题型，熟练掌握画树状图或列表的方法是解题的关键．
18、
【分析】将通分变形为，然后利用根与系数的关系即可求解.
【详解】∵a、b是一元二次方程的两根
∴，
∴
故答案为：.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握，是解题的关键.

三、解答题(共66分)
19、（1）∴．
（2）ｍ=2或3 ．
【解析】（1）利用一元二次方程求根根式解方程．
（2）利用（1）中x的值来确定m的值．
【详解】解：（1）根据题意得ｍ≠1，
△＝（–2ｍ）2－4（ｍ－1）（ｍ＋1）＝4 ，
∴．
（2）由（1）知，
∵方程的两个根都是正整数，∴是正整数．
∴ｍ－1=1或2. ．∴ｍ=2或3 ．
考点：公式法解一元二次方程，一元二次方程的解．
20、（1）；（2）画图见解析；
【分析】（1）从3个人中选一个，得甲第一个演讲的概率是
（2）列树状图即可求得答案.
【详解】（1）甲第一个演讲的概率是；
（2）树状图如下：

共有6种等可能情况，其中丙比甲先演讲的有3种，
∴P（丙比甲先演讲）=.
【点睛】
此题考查事件的概率，在确定事件的概率时通常选用树状图或列表法解答.
21、（1）①；②；（2）直线上的定点为；（3）点为
【分析】（1）①由可得y=k(x+3),当x=﹣3时，y=0,故过定点（﹣3,0），即可得出答案.
②由，当x=0或x=1时，可得y＝2020，即可得出答案.
（2）由题意可得，直线AB的函数式 ，根据相似三角形的判定可得，进而根据相似三角形的性质可得，代入即可得出直线AB的函数式，当x=0时，y=﹣2，进而得出答案.
（3）由、可得直线的解析式为，又由直线，可得c+d和cd的值，最后根据相似三角形的性质以及判定，列出方程，即可得出E的坐标.
【详解】解：（1）①；②.
提示：①，当时，，故过定点.
②，当或1时，，
故过定点.
（2）设直线的解析式为，将点的坐标代入并解得直线的解析式为.
如图，分别过点作轴的垂线于点，

∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，解得，
故直线的解析式为.
当时，，故直线上的定点为.
（3）∵点的坐标分别为，，
同（2）可得直线的解析式为，
∵，
∴.

设点，如图，过点作直线轴，过点作直线的垂线与直线分别交于点.

同（2）可得，，
∴，
即，
化简得，
即，
当时，上式恒成立，
故定点为.
【点睛】
本题主要考察二次函数的综合运用，熟练掌握并灵活运用一次函数、相似三角形的判定以及性质是解题的关键.
22、1+、1-
【详解】
X=1+或者x=1-
23、详见解析.
【分析】证法一：连接，，，，连接交于点，利用线段垂直平分线的性质和垂径定理的推论证明垂直平分，然后利用垂径定理和平行线的性质求得，从而使问题得证；证法二：连接，，连接交于点，利用垂径定理的推论得到，，然后利用平行线的性质求得，从而使问题得证；证法三：过点作于点，延长交于点，利用垂径定理的推论得到是的中点，然后判断点与点是同一个点，然后然后利用平行线的性质求得，从而使问题得证.
【详解】证明：证法一：连接，，，，连接交于点.
∵，∴点在的垂直平分线上.
∵是的中点，∴，∴，
∴点在的垂直平分线上，
∴垂直平分，∴，
∵，∴，∴，
∵点为半径的外端点，
∴与相切.

证法二：连接，，连接交于点.
∵是的中点，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵点为半径的外端点，
∴与相切.

证法三：过点作于点，延长交于点，
∴，，∴是的中点，
∵点是的中点，∴点与点是同一个点.
∵，∴，∴，
∵点为半径的外端点
∴与相切.

【点睛】
本题考查切线的判定及垂径定理的推论，掌握相关定理灵活应用解题是本题的解题关键.
24、（1）见解析； (2)结论AD·BC=AP·BP仍成立.理由见解析；（3）t的值为2秒或10秒.
【分析】（1）由∠DPC＝∠A＝∠B＝90°可得∠ADP＝∠BPC，即可证得△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）由∠DPC＝∠A＝∠B＝θ可得∠ADP＝∠BPC，即可证得△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE＝BE＝6，根据勾股定理可得DE＝8，由题意可得DC＝DE＝8，则有BC＝10−8＝2，易证∠DPC＝∠A＝∠B，根据AD·BC=AP·BP，即可求出t的值．
【详解】（1）证明：∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，
∴∠ADP=∠BPC，
∴△ADP∽△BPC，
∴，
∴AD·BC=AP·BP；
(2)结论AD·BC=AP·BP仍成立
理由：∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，且∠BPD=∠A+∠ADP，
∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP，
∵∠DPC=∠A=θ，
∴∠BPC=∠ADP，
又∵∠A=∠B=θ，
∴△ADP∽△BPC，
∴，
∴AD·BC=AP·BP；
（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD=BD=10，AB=12，.
∴AE=BE=6，
∴，
∵以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，
∴DC=DE=8，
∴BC=10-8=2，
∵AD=BD，
∴∠A=∠B，
又∵∠DPC=∠A，
∴∠DPC=∠A=∠B，
由(1)(2)的经验得AD·BC=AP·BP，
又∵AP=t，BP=12-t，
∴，
解得：，，
∴t的值为2秒或10秒.

【点睛】
本题是对K型相似模型的探究和应用，考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、等角的余角相等、三角形外角的性质、解一元二次方程等知识以及运用已有经验解决问题的能力，渗透了特殊到一般的思想．
25、 (1)； (2)．
【解析】（1）画树状图展示所有16种等可能的结果数，找出两次取的球标号相同的结果数，然后根据概率公式求解
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次取出的球标号和为奇数的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】(1)画树状图为：

共有16种等可能的结果数，其中两次取的球标号相同的结果数为1，
所以“两次取的球标号相同”的概率==；
(2)画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中两次取出的球标号和为奇数的结果数为8，
所以“两次取出的球标号和为奇数”的概率==．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
26、（1）详见解析；（2）1．
【分析】（1）先证明四边形AECF是平行四边形，再证明AF＝CE即可．
（2）在RT△ABE中利用勾股定理求出BE、AE，再根据S菱形AECF＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S△DFC求出面积即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠FAC＝∠ACE，
∵∠CAE＝∠DAC，∠ACF＝∠ACB，
∴∠EAC＝∠ACF，
∴AE∥CF，∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠FAC＝∠FCA，
∴AF＝CF，
∴四边形AECF是菱形．
（2）解：∵四边形AECF是菱形，
∴AE＝EC＝CF＝AF，设菱形的边长为a，
在RT△ABE中，∵∠B＝90°，AB＝12，AE＝a，BE＝18﹣a，
∴a2＝122+（18﹣a）2，
∴a＝13，
∴BE＝DF＝5，AF＝EC＝13，
∴S菱形AECF＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S△DFC＝216﹣30﹣30＝1cm2．

【点睛】
本题考查菱形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解决问题的关键，学会转化的思想，把问题转化为方程解决属于中考常考题型．