2023届北京陈经纶中学数学九上期末考试试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图的中，，且为上一点．今打算在上找一点，在上找一点，使得与全等，以下是甲、乙两人的作法：
（甲）连接，作的中垂线分别交、于点、点，则、两点即为所求
（乙）过作与平行的直线交于点，过作与平行的直线交于点，则、两点即为所求
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（　　）

A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
2．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2019＝0的一个解，则1+a+b的值是（　　）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
3．如图，点A，B的坐标分别为（0，8），（10，0），动点C，D分别在OA，OB上且CD＝8，以CD为直径作⊙P交AB于点E，F．动点C从点O向终点A的运动过程中，线段EF长的变化情况为（　　）

A．一直不变 B．一直变大
C．先变小再变大 D．先变大再变小
4．在△ABC与△DEF中，，，如果∠B=50°，那么∠E的度数是（ ）．
A．50°； B．60°；
C．70°； D．80°．
5．起重机的滑轮装置如图所示，已知滑轮半径是10cm，当物体向上提升3πcm时，滑轮的一条半径OA绕轴心旋转的角度为（ ）

A． B．
C． D．
6．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A．x2﹣x（x+3）＝0 B．ax2+bx+c＝0
C．x2﹣2x﹣3＝0 D．x2﹣2y﹣1＝0
7．若关于x的一元一次不等式组的解集是xa，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．0 B．1 C．4 D．6
8．下列说法中不正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是菱形 B．对角线垂直的平行四边形是菱形
C．菱形的对角线互相垂直且相等 D．菱形的邻边相等
9．若用圆心角为120°，半径为9的扇形围成一个圆锥侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面直径是（　　）

A．3 B．6
C．9 D．12
10．下列式子中表示是的反比例函数的是( )
A． B． C． D．
11．在小孔成像问题中，如图所示，若为O到AB的距离是18 cm，O到CD的距离是6 cm，则像CD的长是物体AB长的（ ）

A． B． C．2倍 D．3倍
12．如图，已知A、B是反比例函数上的两点，BC∥x轴，交y轴于C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C，过运动路线上任意一点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，设四边形OMPN的面积为S，P点运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，矩形ABCD绕点A旋转90°，得矩形，若三点在同一直线上，则的值为_______________

14．如图，已知中，，，，将绕点顺时针旋转得到，点、分别为、的中点，若点刚好落在边上，则______.

15．如图，以点O为位似中心，将四边形ABCD按1：2放大得到四边形A′B′C′D′，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比是_____．

16．五角星是我们生活中常见的一种图形，如图五角星中，点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，已知黄金比为，且AB＝2，则图中五边形CDEFG的周长为________．

17．在单词（数学）中任意选择-一个字母，选中字母“”的概率为______．
18．一元二次方程的解是__．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，直线分别交轴于A、C，点P是该直线与反比例函数在第一象限内的一个交点，PB⊥轴于B，且S△ABP=1．
（1）求证：△AOC∽△ABP；
（2）求点P的坐标；
（3）设点R与点P在同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥轴于T，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标．

20．（8分）解方程：x2﹣6x﹣40＝0
21．（8分）计算：2cos45°﹣tan60°+sin30°﹣tan45°
22．（10分）（1）解方程：
（2）已知点P（a+b，-1）与点Q（-5，a-b）关于原点对称，求a，b的值．
23．（10分）已知，为⊙的直径，过点的弦∥半径，若．求的度数．

24．（10分）如图，平行四边形ABCD的顶点A在y轴上，点B、C在x轴上；OA、OB长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB，BC＝6；

（1）写出点D的坐标　 　；
（2）若点E为x轴上一点，且S△AOE＝，
①求点E的坐标；
②判断△AOE与△AOD是否相似并说明理由；
（3）若点M是坐标系内一点，在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）某商场销售一种电子产品，进价为元/件.根据以往经验:当销售单价为元时，每天的销售量是件；销售单价每上涨元，每天的销售量就减少件.
（1）销售该电子产品时每天的销售量(件)与销售单价(元)之间的函数关系式为______；
（2）商场决定每销售件该产品，就捐赠元给希望工程，每天扣除捐赠后可获得最大利润为元，求的值．
26．如图，海面上一艘船由西向东航行，在处测得正东方向上一座灯塔的最高点的仰角为，再向东继续航行到达处，测得该灯塔的最高点的仰角为．根据测得的数据，计算这座灯塔的高度（结果取整数）．参考数据：，，．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】如图1，根据线段垂直平分线的性质得到，，则根据“”可判断，则可对甲进行判断；
如图2，根据平行四边形的判定方法先证明四边形为平行四边形，则根据平行四边形的性质得到，，则根据“”可判断，则可对乙进行判断．
【详解】解：如图1，垂直平分，
，，
而，
，所以甲正确；
如图2，，，
∴四边形为平行四边形，
，，
而，
，所以乙正确．
故选：A．

【点睛】
本题考查作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质和三角形全等的判定．
2、D
【分析】根据x=-1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2019＝0的一个解，可以得到a+b的值，从而可以求得所求式子的值．
【详解】解：∵x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2019＝0的一个解，
∴a+b﹣2019＝0，
∴a+b＝2019，
∴1+a+b＝1+2019＝2020，
故选：D．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的值．
3、D
【解析】如图，连接OP，PF，作PH⊥AB于H．点P的运动轨迹是以O为圆心、OP为半径的⊙O，易知EF＝2FH＝2，观察图形可知PH的值由大变小再变大，推出EF的值由小变大再变小．
【详解】如图，连接OP，PF，作PH⊥AB于H．
∵CD＝8，∠COD＝90°，
∴OP＝CD＝4，
∴点P的运动轨迹是以O为圆心OP为半径的⊙O，
∵PH⊥EF，
∴EH＝FH，
∴EF＝2FH＝2，
观察图形可知PH的值由大变小再变大，
∴EF的值由小变大再变小，
故选：D．

【点睛】
此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是熟知勾股定理及直角坐标系的特点.
4、C
【分析】根据已知可以确定；根据对应角相等的性质即可求得的大小，即可解题．
【详解】解：∵，，
∴
与是对应角，与是对应角，
故．
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定及性质，本题中得出和是对应角是解题的关键．
5、A
【分析】设半径OA绕轴心旋转的角度为n°，根据弧长公式列出方程即可求出结论．
【详解】解：设半径OA绕轴心旋转的角度为n°
根据题意可得
解得n=54
即半径OA绕轴心旋转的角度为54°
故选A．
【点睛】
此题考查的是根据弧长，求圆心角的度数，掌握弧长公式是解决此题的关键．
6、C
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：A、x2﹣x（x+3）＝0，化简后为﹣3x＝0，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；
B、ax2+bx+c＝0，当a＝0时，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；
C、x2﹣2x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，故此选项符合题意；
D、x2﹣2y﹣1＝0含有2个未知数，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
7、B
【解析】先解关于x的一元一次不等式组 ，再根据其解集是x≤a，得a小于5；再解分式方程，根据其有非负整数解，同时考虑增根的情况，得出a的值，再求和即可.
【详解】解：由不等式组，解得：
∵解集是x≤a，
∴a<5；
由关于的分式方程 得得2y-a+y-4=y1

又∵非负整数解，
∴a≥-3，且a=-3，a=-1（舍，此时分式方程为增根），a=1，a=3它们的和为1.
故选：B.
【点睛】
本题综合考查了含参一元一次不等式，含参分式方程的问题，需要考虑的因素较多，属于易错题.
8、C
【分析】根据菱形的判定与性质即可得出结论.
【详解】解：A．四边相等的四边形是菱形；正确；
B．对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；
C．菱形的对角线互相垂直且相等；不正确；
D．菱形的邻边相等；正确；
故选C．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质以及平行四边形的性质；熟记菱形的性质和判定方法是解题的关键．
9、B
【详解】设这个圆锥的底面半径为r，
∵扇形的弧长==1π，
∴2πr=1π，
∴2r=1，即圆锥的底面直径为1．
故选B．
10、D
【解析】根据反比例函数的定义逐项分析即可.
【详解】A. 是一次函数，故不符合题意；
B. 二次函数，故不符合题意；
C. 不是反比例函数，故不符合题意；
D. 是反比例函数，符合题意；
故选D.
【点睛】
本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数.
11、A
【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，根据题意得到△AOB∽△COD，根据相似三角形的对应高的比等于相似比计算即可．
【详解】
作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，
由题意得,AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴= =，
∴像CD的长是物体AB长的.
故答案选：A.
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的应用.
12、A
【详解】解：①点P在AB上运动时，此时四边形OMPN的面积S=K，保持不变，故排除B、D；
②点P在BC上运动时，设路线O→A→B→C的总路程为l，点P的速度为a，则S=OC×CP=OC×（l﹣at），因为l，OC，a均是常数，所以S与t成一次函数关系，故排除C．
故选A．
考点：动点问题的函数图象．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】连接，根据旋转的性质得到，根据相似三角形的性质得，即，即可得到结论．
【详解】解：连接，

∵矩形ABCD绕点A旋转90°，得矩形，
∴=BC=AD，，，
∵三点在同一直线上，
∴
∴．
即．
解得或（舍去）
所以．
故答案为：
【点睛】
本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
14、
【分析】根据旋转性质及直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出CD=CE=5,再根据勾股定理求DE长，的值即为等腰△CDE底角的正弦值，根据等腰三角形三线合一构建直角三角形求解.
【详解】如图，过D点作DM⊥BC，垂足为M，过C作CN⊥DE，垂足为N，
在Rt△ACB中，AC=8，BC=6，由勾股定理得，AB=10，
∵D为AB的中点，
∴CD= ,
由旋转可得，∠MCN=90°,MN=10，
∵E为MN的中点，
∴CE=,
∵DM⊥BC,DC=DB,
∴CM=BM=,
∴EM=CE-CM=5-3=2，
∵DM=,
∴由勾股定理得，DE=，
∵CD=CE=5，CN⊥DE,
∴DN=EN= ,
∴由勾股定理得，CN=,
∴sin∠DEC= .

故答案为：.
【点睛】
本题考查旋转性质，直角三角形的性质和等腰三角形的性质，能够用等腰三角形三线合一的性质构建直角三角形解决问题是解答此题的关键.
15、1：1．
【解析】根据位似变换的性质定义得到四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，根据相似多边形的性质计算即可．
【详解】解：以点O为位似中心，将四边形ABCD按1：2放大得到四边形A′B′C′D′，
则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，相似比为1：2，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比是1：1，
故答案为：1：1．
【点睛】
本题考查的是位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．
16、
【分析】根据点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点可得AC=BD=AB，BC=AB，再根据CD=BD-BC求出CD的长度，然后乘以5即可求解．
【详解】∵点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，
∴AC=BD=AB=，BC=AB，
∴CD=BD﹣BC=()﹣()=2﹣4，
∴五边形CDEFG的周长=5（2﹣4）=10﹣1．
故答案为：10﹣1．
【点睛】
本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，则这个点叫这条线段的黄金分割点．
17、
【分析】由题意可知总共有11个字母，求出字母的个数，利用概率公式进行求解即可．
【详解】解：共有个字母，其中有个
所以选中字母“”的概率为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=.
18、x1＝1，x2＝﹣1．
【分析】先移项，在两边开方即可得出答案．
【详解】∵
∴=9，
∴x=±1，
即x1＝1，x2＝﹣1，
故答案为x1＝1，x2＝﹣1．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握该方法是本题解题的关键.

三、解答题（共78分）
19、（1）详见解析；（2）P为（2，3）；（3）R（）或（3，0）
【分析】（1）由一对公共角相等，一对直角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证；
（2）先求出点A、C的坐标，设出A（x，0），C（0，y）代入直线的解析式可知；由△AOC∽△ABP，利用线段比求出BP，AB的值从而可求出点P的坐标即可；
（3）把P坐标代入求出反比例函数，设R点坐标为（），根据△BRT与△AOC相似分两种情况，利用线段比建立方程，求出a的值，即可确定出R坐标．
【详解】解：（1）∵∠CAO=∠PAB，∠AOC=∠ABP=10°，
∴△AOC∽△ABP；
（2）设A（x，0），C（0，y）由题意得：
，解得：，
∴A（-4，0），C（0，2），即AO=4，OC=2，
又∵S△ABP=1，
∴AB•BP=18，
又∵PB⊥x轴，
∴OC∥PB，
∴△AOC∽△ABP，
∴，即，
∴2BP=AB，
∴2BP2=18，
∴BP2=1，
∴BP=3，
∴AB=6，
∴P点坐标为（2，3）；
（3）设反比例函数为，则，即，
可设R点为（），则RT=，TB=
①要△BRT∽△ACO，则只要，
∴，解得：，
∴；
∴点R的坐标为：（，）；
②若△BRT∽△CAO，则只要，
∴，解得：，
∴，
∴点R的坐标为：（3，2）；
综合上述可知，点R为：（）或（3，2）.
【点睛】
此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，一次函数与反比例函数的交点，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
20、x1＝10，x2＝﹣1．
【分析】用因式分解法即可求解.
【详解】解：x2﹣6x﹣10＝0，
（x﹣10）（x+1）＝0，
∴x﹣10＝0或x+1＝0，
∴x1＝10，x2＝﹣1．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是掌握一元二次方程的解法，有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
21、-
【分析】将各特殊角的三角函数值代入即可得出答案．
【详解】解：原式=2×﹣+﹣×1
=-
【点睛】
此题考查特殊角的三角函数值，属于基础题，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是关键．
22、（1）；（2）．
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得；
（2）先根据关于原点对称的点坐标变换规律可得一个关于a、b二元一次方程组，再利用加减消元法解方程组即可得．
【详解】（1），
，
或，
或，
即；
（2）关于原点对称的点坐标变换规律：横、纵坐标均互为相反数，
则，
解得．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程、关于原点对称的点坐标变换规律、解二元一次方程组，熟练掌握方程（组）的解法和关于原点对称的点坐标变换规律是解题关键．
23、∠C=30°
【分析】根据平行线的性质求出∠AOD，根据圆周角定理解答．
【详解】解：∵OA∥DE，
∴∠AOD=∠D=60°，
由圆周角定理得，∠C= ∠AOD=30°
【点睛】
本题考查的是圆周角定理和平行线的性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
24、（1）（6，4）；（2）①点E坐标或；②△AOE与△AOD相似，理由见解析；（3）存在，F1（﹣3，0）；F2（3，8）；；
【分析】（1）求出方程x2﹣7x+12＝0的两个根，OA＝4，OB＝3，可求点A坐标，即可求点D坐标；
（2）①设点E（x，0），由三角形面积公式可求解；
②由两组对边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，可证△AOE∽△DAO；
（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．
【详解】解：（1）∵OA、OB长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，
∴OA＝4，OB＝3，
∴点B（﹣3，0），点A（0，4），且AD∥BC，AD＝BC＝6，
∴点D（6，4）
故答案为：（6，4）；
（2）①设点E（x，0），
∵，
∴
∴
∴点E坐标或
②△AOE与△AOD相似，
理由如下：在△AOE与△DAO中，，，
∴．且∠DAO＝∠AOE＝90°，
∴△AOE∽△DAO；
（3）存在，
∵OA＝4，OB＝3，BC＝6，
∴，OB＝OC＝3，且OA⊥BO，
∴AB＝AC＝5，且AO⊥BO，
∴AO平分∠BAC，
①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF＝AC＝5，
所以点F与B重合，
即F（﹣3，0），
②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，
点F（3，8）．
③AC是对角线时，做AC垂直平分线L，AC解析式为，直线L过（，2），且k值为（平面内互相垂直的两条直线k值乘积为﹣1），
L解析式为y＝x+，联立直线L与直线AB求交点，
∴F（﹣，﹣），
④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，

根据等积法求，勾股定理得出，，做A关于N的对称点即为F，，过F做y轴垂线，垂足为G，，
∴F（﹣，）．
综上所述：F1（﹣3，0）；F2（3，8）；；．
【点睛】
本题是相似形综合题，考查了解一元二次方程，相似三角形的性质与判定，待定系数法求函数解析式，综合性较强，（3）求点F要根据AC与AF是邻边与对角线的情况进行讨论，不要漏解．
25、（1）；（2）a=1．
【分析】(1)利用“实际销售量=原销售量-10×上涨的钱数”可得；
(2) 根据单件利润减去捐赠数为最后单件利润，再根据销售利润等于单件利润乘以销售量即可求解．
【详解】(1) 由题意得，
∴函数关系式为：
(2)设每天扣除捐赠后可获得利润为w元，
依题意得：

∵-10＜0，且抛物线的对称轴为直线，
∴当y的最大值是1440，
∴，
化简得：，
解得：(不合题意，舍去)， ．
答：的值为1．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，根据销量与售价之间的关系得出函数关系式是解题关键．
26、这座灯塔的高度约为45m.
【分析】在Rt△ADC和Rt△BDC中，根据三角函数AD、BD就可以用CD表示出来，再根据就得到一个关于DC的方程，解方程即可．
【详解】解：如图，根据题意，，，，．
∵在中，，
∴．
∵在中，，
∴．
又，
∴．
∴．
答：这座灯塔的高度约为45m．

【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-----方向角的问题，列出关于CD的方程是解答本题的关键，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．