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构造函数法证明不等式的可靠方法
1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。
2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。
一、构造函数
【例1】 已知函数，求证：当时，恒有
分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数
，从其导数入手即可证明。
【解】
∴当时，，即在上为增函数
当时，，即在上为减函数
故函数的单调递增区间为，单调递减区间
于是函数在上的最大值为，因此，当时，，即∴ （右面得证），
现证左面，令，
当 ，
即在上为减函数，在上为增函数，
故函数在上的最小值为，
∴当时，，即
∴，综上可知，当
(2009年全国联赛二试)求证不等式：
，，2，…这里需要先证一个不等式

变式
1. 证明：对任意的正整数n，不等式 都成立.
分析： 从所证结构出发，只需令，则问题转化为：当时，恒有成立，现构造函数，求导即可达到证明。
2：证明当

3：已知m、n都是正整数，且证明：

二.利用函数
例1.已知函数．
（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；
（2）当时，试比较与的大小；
（3）求证：（）．
解：（1）当时，，定义域是，
， 令，得或． …2分
当或时，，当时，，
函数在、上单调递增，在上单调递减． ……………4分
的极大值是，极小值是．
当时，； 当时，，
当仅有一个零点时，的取值范围是或．……………5分
（2）当时，，定义域为．
令，
，
在上是增函数． …………………………………7分
①当时，，即；
②当时，，即；
③当时，，即． …………………………………9分
（3）（法一）根据（2）的结论，当时，，即．
令，则有， ． ……………12分
，
． ……………………………………14分
(法二)当时，．
，，即时命题成立． ………………………………10分
设当时，命题成立，即 ．
时，．
根据（2）的结论，当时，，即．
令，则有，
则有，即时命题也成立．……………13分
1 2 3
4 5 6 n-1 n

…
因此，由数学归纳法可知不等式成立． ………………………………14分
（法三）如图，根据定积分的定义，
得．……11分

，

． ………………………………12分
，
又，，
．
． …………………………………14分

例2.已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
（1）求实数的值；
（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；
（3）当时，证明
（1）解：因为，所以．…………………………………………1分
因为函数的图像在点处的切线斜率为3，
所以，即．
所以．
（2）解：由（1）知，，
所以对任意恒成立，即对任意恒成立．………………………3分
令，
则，…………………………………………………………………………………4分
令，
则，
所以函数在上单调递增．…………………………………………………………………5分
因为，
所以方程在上存在唯一实根，且满足．
当，即，当，即，………………6分
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以．……………………………7分
所以．
故整数的最大值是3．…………………………………………………………………………………8分
（3）证明1：由（2）知，是上的增函数，……………………………………9分
所以当时，．……………………………………………………10分
即．
整理，得．……………………………………………11分
因为， 所以．……………………………………………12分
即．
即．…………………………………………………………………………13分
所以．………………………………………………………………………………14分
证明2：构造函数，………………………………………9分
则．………………………………………………………………10分
因为，所以．
所以函数在上单调递增．………………………………………………………………11分
因为， 所以．
所以．……………12分
即．
即．
即．…………………………………………………………………………13分
所以．………………………………………………………………………………14分

变式训练
1.设函数，函数（其中，e是自然对数的底数）．
（Ⅰ）当时，求函数的极值；
（Ⅱ）若在上恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设，求证：（其中e是自然对数的底数）．
解 （Ⅰ），函数，，当时，；当时，，故该函数在上单调递增，在上单调递减．∴函数在处取得极大值． 4分
（Ⅱ）由题在上恒成立，∵，，∴，
若，则，若，则恒成立，则．
不等式恒成立等价于在上恒成立， 6分
令，则，
又令，则，∵，．
①当时，，则在上单调递减，∴，
∴在上单减，∴，即在上恒成立； 8分
②当时，．
ⅰ）若，即时，，则在上单调递减，∴，∴在上单调递减，∴，此时在上恒成立； 9分
ⅱ）若，即时，若时，，则在上单调递增∴，∴在上也单调递增，∴，即，不满足条件． 综上，不等式在上恒成立时，实数a的取值范围是． 11分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，则，当时，，令，则，∴，∴，∴， 12分
又由（Ⅰ）得，即，当x＞0时，，∴，
，综上得，． 14分

三.利用数列
例1.已知函数的定义域为R, 且对于任意R,存在正实数,使得
都成立.
(1) 若,求的取值范围；
(2) 当时，数列满足，.
① 证明：；
② 令，证明：.
(1) 证明：对任意R，有

. …… 2分
由,即.
当时,得.
且，
∴. …… 4分
∴要使对任意R都成立,只要.
当时, 恒成立.
∴的取值范围是. …… 5分
(2) 证明：①∵，,
故当时，
. …… 6分
∴
…… 7分
. …… 8分
∵,
∴当时,不等式也成立. …… 9分
②∵,
∴

.
…… 11分
∴

. ……

给定整数，设正实数满足，记
．
2.求证： ．
(2014年全国高中数学联赛). 由知，对，有．
注意到当时，有，于是对，有

，
故

．

四、主元法构造函数
例．（全国）已知函数
(1) 求函数的最大值；
(2) 设,证明 ：.
分析：对于（II）绝大部分的学生都会望而生畏.学生的盲点也主要就在对所给函数用不上.如果能挖掘一下所给函数与所证不等式间的联系，想一想大小关系又与函数的单调性密切相关，由此就可过渡到根据所要证的不等式构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，借助单调性比较函数值的大小，以期达到证明不等式的目的.证明如下：
证明：对求导,则.
在中以b为主变元构造函数,
设,则.
当时，,因此在内为减函数.
当时,,因此在上为增函数.

从而当时, 有极小值.
因为所以,即
又设.则.
当时,.因此在上为减函数.
因为所以,即.

【思维挑战】
1、设函数
（Ⅰ）求函数的极值点；
（Ⅱ）当p＞0时，若对任意的x＞0，恒有，求p的取值范围；
（Ⅲ）证明：
【答案】 解：（1），
…………2分
当 上无极值点 …………3分
当p>0时，令的变化情况如下表：
x
(0，)

+
0
－

↗
极大值
↘
…………4分
从上表可以看出：当p>0 时，有唯一的极大值点 …………5分
（Ⅱ）当p>0时在处取得极大值，此极大值也是最大值，…………7分
要使恒成立，只需，…………8分 ∴
∴p的取值范围为[1，+∞ …………10分
（Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知，
∴，…………11分
∴ …………12分
∴
…………13分
…………14分

…………15分
∴结论成立

2.已知函数。
（1）求函数的单调区间；
（2）若≤0恒成立，试确定实数的取值范围；
（3）证明：＜（，且＞1）。
【答案】（理科）解：（1）＞1，
1º当时＞0，在递增。
2º当＞0时，在递增，递减。
（2）当时，＞0（＞1）
不可能恒成立。
当＞0，由（1）可知。
由
恒成立时，。
（3）构造函数（＞1）
＜0，在递减
＜，即＜0
＜
当＞1,时＜
＜.
3.设函数,（Ⅰ）求的单调区间；(Ⅱ)求证：；
（Ⅲ）证明：
【答案】解：（Ⅰ）由已知,由，得，，。
在上为减函数，在为增函数。………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当时，。
对任意，有即。
即………………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，当时，
则，

又

左式………………………14分

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