微分方程自测题提示与答案.doc

六、自测练习题提示与解答
1. 原方程即为也即为
分离变量： 两边积分：

应填：
2. 原方程即为这是 的伯努利方程．方程两边同除以得：
令则原方程变为即为
应填：
3. 原方程即为 也即为其中则有

应填：
4. 特征方程为：即为特征根为对应的齐次方程的通解为 原方程的自由项为为特征方程的单根，故可设
将及代入原方程并比较系数可得原方程的一个特解为原方程的通解为
应填：
5.本题为可化为齐次的方程．令则原方程变为
由方程组解得将
代入得再令则方程变为
分离变量：
也即有两边积分：
将代入得将代入此式得：
原方程通解为
应填：（此答案与教材答案是一致的）（本题超大纲，不作也可．）
6．（1）令则原方程变为分离变量：两边积分：原方程的通解为：即为
（2）令则原方程变为分离变量：两边积分：
原方程通解为：即为
（3）原方程即为：也即
方程两边同除以（即积分因子）得: 此式两边积分得:
所以原方程通解为:
（4）令则原方程变为 分离变量：两边积分：
即有原方程通解：
（5）原方程即为：也即为：两边积分：
将初始条件（注意与教材所给条件不同）代入得所以
分离变量：两边积分：
将初始条件代入得 ：所以特解为：
（6）设原方程变为
即有
原方程的通解为
（7）特征方程为特征根为齐次方程的通解为
自由项为其中不是特征根，故可设将代入原方程并比较系数可得
故原方程得通解为
（8）特征方程为特征根为
齐次方程的通解为自由项为
是特征根，故可设将
代入原方程并比较系数可得故原方程的通解为

即为（求特解太繁琐,只要会设不求也可）
7.先求为此将代入所给方程有：即有
原方程为则

将初始条件代入上式可得所以满足初始条件的特解为
8．（1）
记为的任一原函数，则由得
所以
（2）证：证毕.
9．当时，此时
将初始条件代入得则有
当时，此时
由于处是连续的，所以即有：
补充函数值可得到上连续函数．
10．依题意知是对应的齐次方程的解，又由于它们线性无关，所以对应的齐次方程的通解为原方程的通解为
设所求方程为 ．．．．．．（1）其中为待定函数．
将代入（1）得 ．．．．．．（2）
将代入（1）得 ．．．．．．（3）
将代入（1）得 ．．．．．．（4）
将（2）分别代入（3）与（4）可得：解得
将求得的代入（1）可得
所求微分方程为
11．为确定的值，将代入所给方程得恒等式：
比较系数可得： 解之得所给方程为
特征方程为特征根为对应的齐次方程通解为自由项为是特征方程的单根，故可设特解为
将代入方程，并比较系数得则方程通解为
12.若把看成因变量，把看成自变量,则有所给方程变为：即为也即为
特征方程为特征根为对应的齐次方程通解为

自由项为不是特征根，故可设将代入方程
比较系数可得则方程通解为
13.（1）．所给等式两边对x求导数得：即有分离变量：
两边积分：把初始条件代入得即
也即
（2）．等式．．．．．．（1）中令则有：即有：
．．．．．．（2）将（1）（2）两式联立得：
从中解得此式两边积分得:
即有:
14．令当时，当时，且则有
上式两边对x求导数得：
即有也即有
即
15. 令则有：即有
再令则有：
即有：
此式两边同除以得：
令对上式两边取极限得：
即有：也即有解此一阶线性非齐次方程得：
把代入得
所以
16. 令当时，当时，且则有
此式两边对x求导数得:
即有:
此式两边再对x求导数得: 即有
特征方程为特征根为齐次方程通解为
自由项为是二重特征根,故可设将代入方程并比较系数可得则方程的通解为将初始条件代入通解可得则
17．依题意有：
曲线积分与路径无关,所以有
将初始条件代入得所以
18.由于要使为全微分,则有即有也即有
特征方程为特征根为齐次方程通解为…(1)
自由项为为特征根,
故可设: 将代入方程(1),并比较系数可得所以将初始条件
代入可得则
所以

19.方程两边对x求导数得：
．．．．．（1）
（1）式中令得（2）
（2）两边再对y求导数得：即有：
也即有两边积分：也即
将初始条件代入得所以
20．由直角坐标与极坐标的关系知：
所以有：

同理：

也即有：此偏微分方程可视为常微分方程：为降阶令方程变为：
分离变量：两边积分：即有：也即有：
两边再积分得：
21.由于
因此两边求导数得：
即为
由原方程可知代入上式可得
故
22.特征方程为：特征根为：
方程的通解为：
要使时与是等价无穷小，首先应使
则有

由（1）（2）（3）解得方程的一个特解为：
23.依题意可得：此式两边对x求导数有：
即所以
将初始条件代入上式可得所求函数为
24.依题意可得：即
上式两边对t求导数得：为解题方便将上式可改写为这是一个齐次方程．即令则有方程变为当时分离变量：两边积分：
将代入得通解：将初始条件代入上式得
所以满足初始条件的特解为：
25. 依题意可得：此式两边对q求导数得：
即分离变量：
两边积分：将初始条件代入得
故所求曲线L的方程为即亦即直线
26． 设t时刻，液面的高度为z，依题意知，此时液面的面积为：
从而有：液面高度为z时，液体的体积为：
上式两边对z求导数得：即也即
解此微分方程得：由得故所求曲线方程为
27. 设桥墩是平面曲线y = f(x) 绕x轴（纵轴）旋转而成的旋转体.依题意有:
即有
上式两边对x求导数得：即有
分离变量：，两边积分：，通解为：
将初始条件y (h) = a 代入通解得: 所求曲线方程为
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